基于图像平移的指对函数公切线问题课堂微设计——从一道导数压轴题讲起

广东省佛山市顺德区郑裕彤中学(528300) 刘颖娈

1 问题的起源

2022年5月底,笔者所带的2022 届高三学生参加了广东省佛山市顺德区的仿真冲刺考试, 其中一道导数压轴题(节选)及其参考答案如下:

引例1已知函数, 其中x ＞0,a ∈R.当a= 2 时,设x0是f(x)的一个零点,过点A(x0,ln(x0+1))作曲线y=ln(x+1)的切线l,试证明直线l也是y=ex+1的切线.

解法当a= 2 时, 不难证明f(x) 在定义域上单调递增且有唯一零点, 设该零点为x0, 所以f(x0) =即由y=ln(x+1)得到,由y=ex+1得到y′=ex+1.所以过点A(x0,ln(x0+1))作y=ln(x+1)的切线l的方程为

假设曲线y= ex+1在点B(x1,y1)处的切线与l的斜率相等,所以,即

所以点B(x1,y1)也在切线l上,即l也是曲线y= ex+1的切线.

以上解法的思路是先求曲线y=f(x)在点A处的切线方程l(用x0表示),再通过假设进行等量代换,将x0换成x1,从而证明点B也在直线l上.毫无疑问,这种解法是完整且严谨的,但如果直接按照这种思路给学生讲解,学生将错过这道题目中包含的丰富内涵.

事实上,这是一道以同底数指数函数和对数函数的公切线为背景的题目.把这道题目与2019年全国ⅠⅠ卷20 题放在一起看:

引例2已知函数

(1)讨论函数f(x)的单调性,并证明函数f(x)有且仅有两个零点;

(2)设x0是f(x)的一个零点,证明: 曲线y=f(x)在点(x0,lnx0)处的切线也是y=ex的切线.

不难发现,引例2 的核心是求解曲线y= ex和y= lnx的公切线问题,而引例1 不过是在引例2 的基础上进行了图像平移,因此相应的切点、切线方程自然也是平移可得.为了能够让学生更好地理解公切线的定义,熟练掌握公切线的求法, 并且学会利用图像变换的思想处理较复杂的导数问题,笔者在试卷讲评课上重新设计了这道题的讲评环节.

2 课堂微设计及实录

2.1 题目再现,对比思考

例1已知函数其中x ＞0.设x0是f(x) 的一个零点, 过点A(x0,ln(x0+1)) 作曲线y=ln(x+1)的切线l,试证明直线l也是y=ex+1的切线.

例2已知函数设x0是f(x)的一个零点,证明: 曲线y=f(x)在点(x0,lnx0)处的切线也是y=ex的切线.

师: 请同学们观察这两道题目,寻找它们之间的相同点和不同点.

生1: 相同点是两个题目都是求解公切线,且都需证明切点刚好是函数f(x)的一个零点.

师追问: 是哪两个曲线的公切线? 两题之间的曲线有什么关系?

学生很快反应: 例1 是求曲线y=ln(x+1)和y=ex+1的公切线,例2 是求曲线y= lnx和y= ex的公切线,这两组函数图像是左右平移关系.

师追问: 图像发生左右平移,那么它们的公切线如何变化? 切点又如何变化?

生2: 公切线和切点也同时左右平移相同的量即可.

设计意图通过对两个题目条件的比较,让学生发现问题的本质——平移关系,这对学生来说并不困难,但正像是打开了一个新的世界,成功激发了学生的学习兴趣与探索欲望.这个环节主要培养了学生直观观察和表达,比较和发现问题的能力.

2.2 探究曲线y =ln x 和y =ex 的公切线

师: 因此,我们只要研究好曲线y= lnx和y= ex的公切线,然后进行左右平移即可获得例1 的结论.下面请同学们进行求解.

学生动笔求解: 设l为曲线y= lnx和y= ex的公切线, 点A(x1,ex1) 为y= ex上的切点, 点B(x2,lnx2)为y= lnx上的切点.所以y= ex在A处的切线方程为:y= ex1x -ex1x1+ ex1;y= lnx在B处的切线方程为:根据公切线的定义,有方程组:由第一个方程可得x1=-lnx2, 再代入第二个方程中, 若消去x2, 得到若消去x1,得到.因此有x1是方程的根,x2是方程的根.例2 证毕.

师: 我们可以称直线l为关于e 的指对公切线.下一个问题是,这样的公切线有多少条?

师: 请同学们进行探究.

师点评: 这两位同学的做法都是先作差构造函数,然后综合运用单调性、零点存在性定理以及特殊值估算等方法判断函数在定义域内的零点个数,有异曲同工之妙.

学生3 补充: 还可以通过画图寻找交点的方式判断根的个数.通过图像可以发现曲线y= ex和, 曲线y= lnx和都分别有两个交点, 所以方程和都有两个根.

图1 曲线y=ex 和 的交点

图2 曲线y=ln x 和 的交点

师点评: 这位同学利用图像找交点,直接明了,减少了运算量,在小题中应该作为首选方法.

师总结: 到此为止, 我们已经解决了曲线y= lnx和y= ex的公切线有关切点和切线条数的问题,请同学们将刚才的探究结果进行小结.

学生总结.

结论1已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx,则存在两条不同的直线l为f(x)和g(x)的指对公切线.设f(x)的切点为(x1,ex1),g(x)的切点为(x2,lnx2),则x1=-lnx2,且x1是方程的根,x2是方程的根.

设计意图曲线y= lnx和y= ex的公切线探究是本微设计的重点, 也是所有变式的起点.探究过程分为两步:①求解指对公切线方程; ②探究同一条切线上两个切点之间的关系; ③讨论公切线条数.通过整个探究过程,学生重温了公切线的求解过程,利用等量代换等方式获得切点横坐标的特征以及它们之间的关系式,主要巩固了学生的基础技能以及运算能力.而公切线条数的讨论,既可以转化成函数零点个数的谈论,也可以直观地使用图像获得结论,体现了转化与化归、数形结合等数学思想,对提升学生的综合运用能力有很好效果.

2.3 左右平移对公切线的影响

师: 我们已经解决了例2,下面请同学们探究一下,当曲线y=lnx和y=ex均向左平移1 个单位时,刚才的结论该如何变化?

学生齐答: 切点和切线方程均向左平移1 个单位.

追问: 此时的两个切点的横坐标满足什么关系式?

学生在纸上简单运算后回答: 设f(x) 的切点为(x1,ex1+1),g(x) 的切点为(x2,ln(x2+ 1)), 则x1+ 1 =-ln(x2+ 1), 其中x1是方程的根,x2是方程的根.

学生4: 这不就是例1 的结论吗?

其他同学纷纷点头.

师: 请同学们课后完成考卷中例1 的订正.下面我们继续推广,更一般地,若左右平移|k|个单位,你能得出什么结论?

学生组内讨论后,总结:

结论2已知函数f(x) = ex+k,g(x) = ln(x+k),则存在两条不同的直线l为f(x)和g(x)的指对公切线.设f(x)的切点为x1,g(x)的切点为x2,则x1=-ln(x2+k)-k,其中x1是方程的根,x2是方程ln(x+k)=的根.

学生5 补充:

结论3如果上下平移, 也可以得到一个新的结论: 已知函数f(x) = ex+m,g(x) = lnx+m, 则存在两条不同的直线l为f(x)和g(x)的指对公切线.设f(x)的切点为x1,g(x) 的切点为x2, 则x1=-lnx2, 其中x1是方程的根,x2是方程的根.

师: 非常好,看来你们已经找到了推广的钥匙,欢迎同学们在课后探索更多的结论!

设计意图教师只做简单地引导,学生通过简单的平移变换和运算就能将2.2 中的结论1 进行推广,真正体验了一把数学的研究与推广,也发现了其实很多看起来复杂的题目不过是基础模型的简单变形,大大地点燃了探究的热情.

2.4 进一步的推广

例3已知函数,且t ＞0, 问:是否存在直线l为f(x)和g(x)的指对公切线?

师: 请同学们进一步探究.

演算到此很多学生都停笔了: 老师,这个方程组代换太麻烦了,算不下去.

师: 是的,如果按照常规思路,这个方程组的运算比之前的要复杂一点.那么我们能不能换一个角度先分析一下这两个函数和我们刚才研究的内容有何关联?

学生观察并思考.

学生七嘴八舌地回答, 有的说一定存在, 有的说如果f(x)和g(x)相交则没有公切线.

师: 我们不妨利用GeoGebra 软件做个演示看看.(利用GeoGebra 演示不同底数下两条曲线的形状).

图3

函数f(x) =ax和g(x) = logax的公切线,从左到右依次为:

师: 从图形变化中我们可以直观感觉到a的取值范围对公切线条数的影响.刚才这位同学的猜想是正确的,当然要严格的证明有一定的难度,老师把证明过程放在课后材料中,有兴趣的同学可以自行阅读研究.另外,我们不能忽视还有a ＜1 的情况,有能力的同学可以模仿材料中的做法进行探究.

设计意图继平移变换之后,对y= ex和y= lnx的图像进行伸缩变换.该变换的本质是对底数作一般化的推广,但无论是对a的分类讨论,还是后面的函数构造、等量代换运算都不简单,所以在教学设计上采取了分层式教学——在课堂上,利用现代画图工具,直观形象地展示了在变化下两条同底函数曲线的位置关系,从而获得公切线条数的基本判断,而严格的证明过程,放在课后补充材料,由学有余力的学生自学探究.这样的安排,既突出了重点,也减轻了难点对学生的负担.

2.5 课堂小结

师: 本节课我们以同底指对函数的公切线问题为主线,重点研究了曲线y= lnx和y= ex的公切线存在性、数量、两个切点坐标关系等问题,并以此为起点进行变形(主要是平移变换),获得了更一般性的结论.最后,我们还直观感知了一般的y=logax和y=ax的交点个数以及公切线条数.

2.6 课后来自学生的思考

下课后,有学生提出问题:y= logax和y=ax互为反函数,图像关于直线y=x对称,所以它们的交点和公切线都体现了数学的对称美与统一美.如果换一组同样关于直线y=x对称的直线呢? 例如:y=x2和y2=x,是否也可以得到的一些漂亮的结论呢?

师: 这个想法非常好,不仅是y=x2和y2=x,还可以是y=x2+k和y2=x-k,y= (kx)2和(ky)2=x等等的变形,你可以模仿我们这节课的研究思路作新的探究.

2.7 课后反馈训练

基础夯实题设,y=f(x)在处的切线平行于y=10x+1.

①求f(x)的单调区间;

②设直线l为g(x) = lnx图像上任一点A(x0,y0)处的切线,在区间(1,+∞)内是否存在x0使得直线l与曲线h(x)=ex也相切,若存在,x0有几个?

能力提升题(2018年高考天津卷第20 题) 已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a ＞1.

①求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间;

②若曲线y=f(x) 在点(x1,f(x1)) 处的切线与曲线y=g(x) 在点(x2,f(x2)) 处的切线平行, 证明:

③证明: 当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.

2.8 课外拓展阅读

参考文献[1]第233-236 页和参考文献[2]第6-9 页.

3 教学反思

3.1 加深学生对数学本质的理解

《普通高中数学课程标准(2017 版)》中指出:“数学应注重数学本质,通法通性,淡化解题技巧”.本微设计从一道导数压轴题出发,以指对函数的公切线为核心研究对象,注重通法,剖析实质,不断地变换视角,加强内容间的内在联系,让学生在动态的探究中把握事物的本质,化繁为简,进而激发学生学习的积极性,养成一般性思考问题的习惯,并在持续的探究中深化学习,提升数学思维与素养.

3.2 问题驱动,引导探究

导数是高中数学重要的内容,作为与导数的几何意义相关,函数图像的切线问题是历年高考的必考点.本教学设计以两个非常相似的题目为起点,在教师的启发下,学生很容易就发现两者之间的关系, 从而激发学生探寻本质的兴趣.通过层层深入的问题设计,教师帮助学生建立起完整的探究路线,同时在遇到较抽象问题时使用计算机辅助教学,帮助学生直观感知变化的规律,从而猜想出更一般性的结论.具体到课堂操作,老师引导学生思考问题,表达要规范、准确和到位,要让学生先说清楚解决问题的思路,然后在纸上演算细化过程,最终形成结论并以数学符号表达出来.

3.3 借助可视化工具,提升教学有效性

数学可视化是将抽象的数学学习对象用可看见的表征形式清楚直白地呈现出来,使得学生对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认知和理解.这节课研究的对象是同底指对数函数的公切线,当底数为e 时,学生较容易画出图像,求解公切线也很顺利,但当底数一般化后,尤其是涉及到两条曲线是否有交点的讨论时,学生不容易想象和推导出底数的变化范围,考虑到学生的数学能力水平,以及该推导过程并非该节课的重点,这里借助了GeoGebra 软件画出函数图像和公切线,学生可以清晰地看到底数变化对两条曲线位置关系的影响,从而归纳猜想公切线条数与底数之间的关系,提高课堂效率.

3.4 突出“微”设计,照顾层次需要

所谓的微设计, 是将常规课堂教学与微课结合在一起, 重点突出, 难点分层.高三后期的课堂分分秒秒都是宝贵的, 要精准选材, 基础巩固, 重点突出, 敢于舍去“偏”、“难”、“怪”,力求将每一道题目的讲解做成有系统、有连结、有上升的微设计.如本设计重点是解决的y= ex和y= lnx的公切线问题,对于大部分学生来说是必须要掌握的;而一般的曲线y=ax和y=log2x的公切线问题则是难点,需分层处理,基础薄弱点的同学通过数学软件的演示可以直观地感知结论,基础较好的同学则可以在课后利用教师补充的材料进行探究论证.在课后训练的布置中也采取相应的分层处理,既夯实了基础性,也兼具挑战性.

3.5 预留空白,插上“想象”的翅膀

在研究y=ax和y=log2x的公切线问题时,通过画图软件的展示,学生能直观感受到曲线、直线在变化中的动态美, 同时也不难发现在变化中一直保持不变的对称性——两个互为反函数的函数图像关于直线y=x对称.由此很自然地联想到,对于任意互为反函数的两个函数的图像,其公切线是否也有类似的结论? 教师在课堂上没有针对该问题展开, 但通过点拨, 让有兴趣的同学自主探究, 既开阔了视野,更提升了本节课学习的效果.