从运算意义出发有效开展“有余数的除法”单元复习教学的方法分析

作者简介：陈昆（1985～），男，汉族，贵州毕节人，贵州省毕节市金沙县安底镇花鸡小学，研究方向：小学数学教育。

摘 要：数学是一门兼具抽象性和逻辑性的课程，且处处体现着运算的意义。运算作为一种数学性行为，其意义体现于对各种数据的处理和对问题的应用解决上。其是数学学科知识计算最基础的法则，其包含加法、减法、乘法以及除法的计算法则，其中“有余数的除法”是四则运算中的重要知识点。在单元复习中，为了给学生在“有余数的除法”单元中查缺补漏，需要重新回顾“有余数的除法”的概念，再次探寻除法的推算记录过程，从而把除法与加法、减法、乘法联结为一个运算整体，以提高学生的数学核心素养。

关键词：运算意义；有余数的除法；单元复习；四则运算

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2023）10-0069-04

数学学科是学生个体进入学校系统教育的核心学科之一，从义务教育阶段开始，就成为许多家长和学生心中的重难点。学生和家长会首先把数学视为畏惧的对象，珍视、慎重，主要原因在于数学学科是具有严密的逻辑和抽象的思维模式的学科。义务教育阶段的学生心理认知还处于由直观感知向抽象感知过渡的阶段，这相当于把未能感知的事物提前放在眼前，对学生来说无异于攀陡坡，这需要教师和家长细心的引导才能使学生有效地掌握数学知识。运算法则和运算意义是数学学科中需要学生具體掌握的知识板块之一，同时也是发展学生数学核心素养的重要组成部分。在运算法则的整个内容中，学生从加法、减法再到乘法最后对除法的运算逐步掌握，称得上是完成了四则运算的整个算法整体学习。“有余数的除法”单元作为四则运算知识点的最后部分，要承担起总结归纳的责任，联结其他三种运算法则，形成数学学科基础的运算逻辑。在这个理念上，从运算意义出发，以精准的数学问题抛砖引玉，引出同学们对“有余数的除法”的原理回顾，引导学生一步步记录除法推演过程，最后联系加法、减法以及除法的运算，体会预算的意义。由此，才能进入习题组的练习，培养熟练的运算技能。另外，要激发学生的思维，拓展学生的眼界，以运算法则为基础，展开更多的数学应用实践。

一、 原理回顾，运算意义与有余数的除法

世界著名的心理学家皮亚杰曾明确地表示，小学生的年龄大多处于6～12岁，正是对世界充满新鲜感的年龄，有趣的事物会成为学生的关注点。在这个基础上，学生的探索心理很强，但是探索的能力有限，需要数学教师细心地引导，去帮助学生理解数学的重点、难点以及抽象的知识原理。对数学科目来说，课堂中的实践教学具有紧密联系性是比较关键的，教师的教学活动要环环相扣，才能顺利引导学生由浅入深、循序渐进地掌握知识结构，单元复习课也是如此。单元复习并不是机械地把之前上过的知识简单复述，这是无意义的，而是要有归纳、有总结并且还要有思考的一系列学习行为，与初次接受式的学习相比，多了很多学生主动性地参与，才能确认学生对知识的掌握程度，那么复习的第一步首先是回顾运算原理，体会运算的意义。可以把这个部分分为以下步骤：一是考验学生对问题和原理的反应能力；二是了解除法推演过程；三是补全运算意义的整体概念，引导学生完整地把握数学运算板块。

（一）抛出典型问题，回顾算式原理

教书育人是教师的天职，培育学生的学习情感、促进学生对数学知识的理性精神的全面掌握是教师的基本责任，学生会畏惧数学，把数学视为学习大敌，原因是没有在推算过程中体会到数学带来的乐趣，所以，教师要在教学活动开展中注重对数学原理或者公式推演过程的引导，化险为夷，化繁为简。数学本就是有趣的学科，教师要引导学生在推演过程中，感受数学的魅力，自然爱上数学，数学就会变为简单的学科。经过老师的引导和趣味润滑，枯燥的运算学习可以给学生带来不一般的体验。“有余数的除法”是人教版数学二年级下册的知识，对它的相关思考在一年级的“百以内数的认识”“一百以内的加法和减法”里面已出现，教师可以通过一个包含多种计算方法的题目让学生讨论。比如：有31颗草莓，10颗一盘，可以装几盘呢？让学生讨论有几种计算方法。当学生集思广益，一盘盘减出来，以及用除法除下来的两种算法。然后教师根据学生的描述以课件或者板书的形式，画出被分装的过程、数字符号依次相减的过程，在这个过程中引出“合并”与“去掉”两个基础的数量关系，以这两个数量关系概念延伸出乘法和除法的计算形式，也就是“相同加数连加”和“相同减数连减”的概念表达，由这个部分，鼓励学生复习一年级的加法和减法的含义，从而以连减的方式去展开有余数除法的运算复习。

（二）探索除法过程

学生具体掌握公式原理的推算过程和推理原则很重要，这意味着学生全面了解了数学公式的形成原因，而不是死记硬背去记住原理法则，死记硬背对学生来说，只会形成学习障碍，积累学习盲区，最后彻底厌弃对数学科目的学习。在上一个部分，教师引导学生利用连续相减同样的数量，理解除法视角，在连续相减的过程中，体现了减法运算法则的展演过程，那么同理所得，有余数除法是否也可以采用类似方法记录运算的过程呢？教师即在上一部分的相同数字符号连续相减的推算过程下面，继续记录除法运算过程，以除法运算规则体现数量关系从相同减数连续去掉的“平均分”的概念本质。这样一来，从第一部分的画图平分，到数字符号的相同减数连续相减，最后是除法的平均概念，循序渐进，使学生体会除法并非是凭空出现，而是概念的叠加。

（三）穿针引线，理解运算意义

数学课程安排数学加法、减法、乘法以及除法的运算是从一年级开始逐渐加深的，目的在于使学生能理解数量关系和运算意义，也就是运用相应的数学法则处理现有的数据，是一种应用原理的实践过程。前面两个部分所展现的是运算法则的螺旋上升式的结构，使学生能够以更加直观的视角去自主地把减法和除法有机地联系在一起。数学本身并非深奥难懂的学科，生活处处都是数学文化和数学原理，但是为了使数学成为一门系统的学科供人类学习，编订者和数学专家们会把数学原理合理地、科学地建构成一个体系，这是一个数学抽象化的过程，教师的存在就是把数学化了的抽象概念直观化或者具体化。这一环节需要教师引导学生在上述两个部分所留下的推演记录中，圈画出每个数据所表达的意义，向学生展示四则运算的直观化的过程，引导学生理解运算法则处理现实数据的运算意义。

把这三个部分合成一个板块，可以称之为历史原理的回顾，这是单元复习教学不可缺少的部分，是整个教学过程的切入部分，只有在所有学生对有余数除法的运算法则具有共同理解的程度上，才能进行下一步的习题练习，完成学生对除法运算的教学目标。任何知识的学习都是建立在理解和认知的层面上，死记硬背是无法真正培养一个有数学思维的人才的。

二、 以习题熟能生巧，夯实有余数除法的运算基础

在义务教育阶段的数学教学中，基础原理概念教学是基础性的也是非常重要的部分，学生的认知还在发展过程中，同时也缺乏知识归纳的经验和能力。教师在每一次教学开始时，要做到承上启下，回顾相应的知识概念，确保在场学习的学生对过去的知识有共同的认知，在相同的知识理念上达成标准的共识，这样使学生在后续的学习活动中能够跟得上节奏，与此同时，对基本的概念原理内容的深入理解，大多需要习题的辅助，数学教师一般可以通过典型例题考查学生的原理法则的掌握程度。在有余数除法的单元学习中，学生对习题的处理和计算，能体现出学生对该单元内容的掌握和理解情况。这一板块，需要通过包含了加法、减法、乘法以及除法四种算法的题组，强化学生对四则运算的整体结构概念的理解，这一板块主要从例题计算、感悟运算意义以及实际运用三个方面来练习除法运算，从而去发现不同算法之间的不同和联系。

（一）运用有规律的习题题组，提升学生除法运算的熟练度

这一环节是熟能生巧部分，主要是运用相同的数字以不同的运算方式组成一个有规律的题组，让学生更具计算法则，去感受同一个题组内，相同的数字经过不同的算术符号的连接产生不同的结果。这个习题题组的布置也要具有典型性和科学性，由浅入深，要求学生根据题目的可行性，进行相应的算术推演。

第一组算式：

（1）9+2=（2）9-2=

（3）9×2=（4）9÷2=

第二组算式：

（1）90+5=（2）90-5=

（3）90×5=（4）9×9+9=

给学生留下时间去计算这两组算术题，并且核对结果，要求学生仔细比对第一组的（1）和（2）习题之间的相同和不同。由此可以得出，四道题目是用相同的数字以不同的算术符号方式组成的习题组合，其中，最容易模糊的点就是减法符号“-”和除法符号“÷”之间容易被粗心大意的学生混淆，然后产生错误的判断和计算。接着，教师引导学生以观察第一组（1）和（2）两个习题的经验去观察同一个组里面，寻找（3）和（4）之间的关系，由此得知，可以总结出比较清晰的关系式：“被除数÷除数=商……余数”“除数×商+余数=被除数”，在此过程中，教师要明确说明每个部分的含义，加深学生对有余数除法的运算理解和记忆。这一过程是为学生把现有的知识搭建数学逻辑思维体系的过程，避免学生孤立地掌握知识点，培养学生知识之间相辅相成相互联系的数学观念。

（二）自主列式计算，感悟数量运算意义

现实例题并非是以简单的数字符号展现给学生供学生去计算，题目设计者通常会以文字含义的多元性去描述数学问题，增加数学题目的计算难度，所以，在四则运算这一部分中，列式计算也是一项重要的学习目标，列式计算是对四则运算进行的文字描述，这里面涉及考查学生是否理解运算符号的内涵以及运算部分之间的联系，以上个部分的习题组为例，转化成列式计算的题目：

第一组：（1）9和2相加的结果是多少？（2）在 9中去掉2的结果是多少？（3）9个2总共是多少？（4）9里面总共有多少个2？

第二组：（1）把90平均分成5分，每份里面是多少？还余下多少呢？（2）90里面可以分成几个5？还能余下几个（3）被除数是90，除数是5，商是多少？余下多少呢？（4）9个9总共是多少？与90相比还差多少？

给学生计算的时间，在核对答案之后，要求学生思考第二组习题之间的关系，发现第二组里面（2）和（3）的表达方式虽然不同，但是列式是相同的。由此可以归纳总结出，一个算式可以有不同的文字表达出来，在此，提醒学生端正做题态度，观察每一个字词的含义，把握好句子的整体意义。因为列式计算可以培养学生的数学符号与文字符号之间的转化思维，使学生解决应用题时，出现了“倍数”“比”等词汇，多考量算式和题目的含义与多义性，比较不同列式之间决定性词汇是哪些，这些词汇可能会出现在什么位置。这个可以通过让学生对同一个算式编写列式，锻炼学生对列式计算的熟练度，培养学生的数学思维。

（三）解决现实问题，理解运算关系

数学课程的设置意义在于，使学生能形成数学思维，去解决生活中的实际问题。上面已提到列式计算是对四则运算的文字描述，其实换句话来说，列式计算是实际问题的简化形式，第一组例题是9和2的数量关系，但是在现实生活中，被标示9数量单位会有各种不同，不会像书本习题那样简单的关系，所以在教学活动开展到这个阶段，教师要结合更多的实际问题，去勾连简化了的习题。比如，教师可以根据学生熟悉的生活场景，为题目增添一些真实性，从而使学生更加具体轻松地理解运算关系。教师可以先做一个示范，把第一组的习题（1）改编成实际问题：“一个碗里有9个草莓，2个小朋友如何平分呢？”然后邀请学生把关系式写出来，并且鼓励学生把剩下的题目都改编成实际应用题，提示每个数量单位的统一和合理性，并挑选出改编得好的题目板书在黑板上，供全班同学参考。

数学课程可以培养学生的数学思维，以理性的思维去参照生活实际，教师应该注重培养学生举一反三、触类旁通的能力，在“有余数的除法”单元复习中，教师对习题的设置和筛选可以为学生理解運算意义提供保障，典型例题可以为学生提供合适的参照，但是同时侧面要求学生达到“以此类推”的能力，才能真正达到数学课程中分析问题、解决问题的教学目标。

三、 引导建构除法运算模型，拓展数学视野

在新课改背景下，要求教师在教学活动中注重学生的数学核心素养的培养，在掌握基本的数学知识概念基础之上，持续培养学生的数学文化和塑造应有的数学思维，提升学生的数学素养。关于“有余数的除法”单元复习教学中，除了对学生在这一部分的知识点上查缺补漏之外，还需要塑造应有的数学思维，能够理性地观察这个世界，用学到的数学知识解决现实问题，教师可以通过引导学生初步建立简单的数学模型，鼓励学生解决实际问题。与此同时，对数学绘本的续写可以锻炼学生的数学创新思维，拓展学生的数学思维和视野。

（一）引导学生建立简单的数学模型，培养建模思维

义务教育阶段要求学生初步形成基础的建模思维，在“有余数的除法”单元中，要掌握的不仅仅是除法运算，还有余数的知识部分，是将“除法”“余数”看作四则运算有机结构中的一部分。培养学生的数学模型意识，首先，要让学生对数学模型有初步的感知。将有余数除法算式视为数学模型中的一种，其中，未知被除数在余数和除数不变的情况下，会因为商的变化而受到影响，这是“有余数的除法”蕴含的本质和数学魅力，也是数学世界的趣味所在。教师可以先提供一个简单的、具有典型性的“有余数的除法”算式模型，推动学生数学模型思维的形成，从而去形成理性的解决问题的方式手段，这是建模的初级阶段——感知。其次，教师可以通过两个以上的简单数学模型，促使学生发现有余数除法的规律，比如通过增加未知数来提升模型例题中被除数的求解难度，从而使学生去感知模型思维，理解基本的数量关系的变化。

（二）应用创新，续写绘本故事，拓展数学视野

“有余数的除法”单元复习教学的最后阶段，教学的内容应该是从基础的概念回顾、习题的计算，到思维发散的阶段，关于本单元的知识点复习已接近收尾的阶段，这个时候，教学活动设计应该有效利用课后作业的板块，要求学生以创新思维去续写数学绘本故事，这种实际运用不再是按照老师的思路去回答范围内的答案，而是自己创造数学问题故事，要求续写的绘本故事要从运算意义出发，含有符合数学规范的“余数问题”。

数学教学不是简单地对教学内容的照本宣科，基础知识的教授，远没有达到可以随意应用于生活实际的程度。教育安排数学教学，并不仅仅要求学生掌握死知识，而是期望培育出具有数学思维的人才，所以建模思维和创新思维是需要教师加以重视和引导的教学内容。

四、 结语

在数学教学活动中，“有余数的除法”作为運算法则的一种，含有趣味的运算意义，同时也是数学学习中重要且基础的数学结构。单元复习过程中，要体现出学生的梳理、总结、归纳等主动性的参与，把新学的知识内容与已有的知识搭建成自己的知识体系框架，与此同时，形成一个有机的结构体，呈现出随时接纳吸收新知识的开放状态，从而更好地体会数学知识的意义和内涵。

参考文献：

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［3］朱红伟，陈惠芳.聚焦概念意义，促进思维进阶——《有余数的除法》教学与评析［J］.教育视界，2022（11）：53-57.