等腰三角形常见解题误区

2023-05-05安娜

文／安娜

等腰三角形是特殊的三角形，它有很多特有的性质。在解决与等腰三角形有关的问题时，我们常会遇到需要分类讨论的情况，现归纳几类，希望对大家的学习有所帮助。

一、遇腰和底边（顶角和底角）

例1已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则三角形的周长为________。

【错解】三边长分别为3、3、5，周长为11。

【分析】对于长为3 的边长，要分腰和底两种情况讨论，同时注意验证三角形的三边关系：两边之和大于第三边。

【正解】当腰长是3 时，三边长为3、3、5，周长为11；当底长是3时，三边长为5、5、3，周长为13。综上，周长为11或13。

类似的，在遇到求等腰三角形中角的相关问题时，如果没有说明已知角是顶角还是底角，我们也需要分类讨论。

例2已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长。

【错解】如图1，设AD=x，则AC=AB=2x，AB+AD=12，BC+CD=15，即3x=12，x=4。又BC+x=15，所以BC=11，即三角形的底边长为11cm。

【分析】等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，即AB+AD和BC+CD，那么AB+AD的长度应该分12cm 和15cm 两种情况讨论。

【正解】如图1，当AB+AD=12，BC+CD=15时，3x=12，x=4，∴BC=11；当AB+AD=15，BC+CD=12 时，3x=15，x=5，∴BC=7。综上所述，三角形的底边长为11cm或7cm。

图1

例3等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

【错解】顶角的度数为45°。

【分析】等腰三角形分锐角三角形和钝角三角形两种情况。

【正解】当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内，此时顶角的度数为45°；当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在三角形外，此时顶角的度数为135°。综上所述，等腰三角形顶角的度数为45°或135°。