一堂高三数列与方程的探究课

上海市民立中学(200040) 孙利明

1 背景

数列题中经常要用方程思想求值,利用方程思想能起到化繁为简、化难为易的作用.以“数列与方程的问题探究”为题开设了一堂探究性学习课,目标是在教师的引导下,让学生能自主的探究问题、解决问题.

2 过程

2.1 提出问题

数列{an}各项均为实数,对任意n ∈ N∗满足an+3=an,且行列式=c为定值,则下列选项中不可能的是( )

A.a1=1,c=1 B.a1=2,c=2

C.a1=−1,c=4 D.a1=2,c=0

这是我校组织的一次考试中的一个选择题,本题也是2020年1月上海春考选择题压轴题第16题,从测试得情况看,学生得分率低.大多数选对得同学也是蒙对了答案,对本题的解答没有思路.

2.2 问题探究

探究1师:本题中的条件an+3=an想告诉我们什么?

生:周期为3的数列.

生:anan+3−an+1an+2=c,因为an+3=an,所以−an+1an+2=c,也就是知道了数列连续3项的关系.

师:我们只要知道了这个数列每一项,就可以去代上面的关系式了.这个周期为3的数列应该怎样表示呢?

生:因为选项中知道了a1的值,可以把第二项和第三项用字母x和y设出来,比如A选项可以设周期为3的数列{an}为1,x,y,1,x,y,1,x,y,….

师:接下来同学们就将1,x,y,1,x,y,1,x,y,…代入−an+1an+2=c看一下吧.

师:上面的方程组如果有实数解,那么a1=1,c=1就是有可能的;上面的方程组如果无实数解,那么a1=1,c=1就是不可能的.

探究2师:这样的方程组我们应该如何求解呢?

生:这个方程组有两个未知数,两个未知数借助其中两个方程就能解出来,第三个方程有什么用呢?

生:只需借助其中两个方程将x和y求解出来,再验证它是否满足第三个方程.

师:说的非常好.请同学们求解上面的方程组.

探究3师:请同学们用同样的方法探究B选项.

生:设数列{an}为2,x,y,2,x,y,2,x,y,…,求解方程组

师:同学们还有其他验证方程组无解的方法吗?

生:②−③得:(x−y)(x+y+2)=0即x−y=0或x+y+2=0,解方程组和得或经检验它们不满足方程4−xy=2,因此方程组无解.

师:同学们可以从多个角度研究方程组是无解的,真棒!

探究4师:一般情况的下的结论如何研究呢?设数列{an}为a1,x,y,a1,x,y,a1,x,y,…,请同学们探究a1与c(a1,c∈R)满足怎样的条件时关于x与y(x,y∈R)的方程组是有解的.

生(师):

①−②得,(x−y)(x+y+a1)=0即x−y=0或x+y+a1=0.

2.3 更广的探究

师:你们能自己提一些问题,并作适当的研究吗?

生:能否推广到复数集?

2.4 小结

生:要多角度思考问题和解决数学问题.

生:研究数学问题要善于观察,要学会推广、类比、归纳和拓展.

3 反思

本节课采用了启发式和问题探究相结合的教学方法.教学中,从提出问题→启发引导→探究解答→推广结论→更广探究,始终让学生主动参与,亲身实践,独立思考与探究,使学生真正成为研究者和发现者.本节探究课学生学习了利用方程思想解决数列问题,找到了一般情况下的结论,体会了由特殊到一般的科学研究方法,感受了数学结论的奇妙和完美.这样的探究课能提高学生数学学习的兴趣和解决问题的能力,在最短的时间内让学生学习到更多的知识,有效提高高三数学复习的效率.

探究课“探什么”.在数学概念教学时开展探究性学习,引导学生探究概念的生成、理解和应用;在揭示数学基本思想和方法的题目上开展探究性学习,引导学生掌握和运用通性通发;在容易出错的题目上开展探究性学习,引导学生进行自主的思考、归纳和总结;本节课围绕2020年上海春考选择题压轴题的解决展开探究,探究过程中学生加深了利用方程思想解决数列问题的意识.

探究课“怎样探”.在高中数学中有很多题目不只有一种解法,教师可以引导学生利用一题多解开展探究性学习;在高中数学中有很多很好的结论,教师可以引导学生利用由特殊到一般、由具体到抽象的方法开展探究性学习;此外,借助计算器、实物操作和感知也是探究问题的有效途径.

在平时的课堂教学中,教师的“灌输”应该少一点,学生的主动探究应该多一点,学生的交流应该多一点,学生的小组讨论应该多一点,只有这样,学生的思维才能一直处于活跃的状态,学生对问题的理解才能更加深刻,学生的思维能力才能得到真正的提高.