对欧姆定律的表述和适用条件的讨论

段石峰

摘   要：欧姆定律是电学中的基本实验定律之一，但在教学中存在一些普遍性的认知偏差。欧姆定律的表述为“电流与电压成正比”，而表述为“电流与电阻成反比”是有条件的；教学中存在“循环验证”和“逻辑颠倒”的问题；明确区分欧姆定律和电阻的定义式，欧姆定律的适用条件是金属导体和电解液等线性元件，而不是纯电阻元件。从不同角度探讨欧姆定律的表述和适用条件，以期澄清认识上的迷惑。

关键词：欧姆定律；逻辑关系；线性元件；纯电阻元件；电解液

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）4-0052-4

在我国物理课程的“螺旋式上升”结构中，欧姆定律是横贯初中、高中和大学的重要内容，但各阶段的要求不同。大学阶段从学科逻辑出发，在内容上要求完整系统、严谨深入。而中学阶段基于课程标准的要求，考虑学生的认知能力和心理逻辑，导致物理教材对欧姆定律的表述存在普遍性偏差，教学中对该定律的内容和适用条件存在理解上的偏差甚至错误。本文对这些问题进行讨论，试图拨开云雾见天日，澄清其中的迷惑，对欧姆定律的表述和适用条件正本清源。

1    欧姆定律的表述

在人教版高中物理选修3－1教材中，在初中的基础上用演示实验进一步探究导体中的电流I与导体两端的电压U的关系，通过图像法处理数据得到电流与电压的正比关系，由斜率反映导体对电流的阻碍作用，由此定义电阻R。紧接着有了电阻的概念，将定义式变形得到欧姆定律的表达式I，并将其表述为：导体中的电流跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比［1］。

在赵凯华和陈熙谋编著的《电磁学》教材中，直接指出导体两端的电压是导体中形成电流的必要条件，加在导体两端的电压不同，通过该导体的电流也不同。精确的实验表明，在恒定条件下，通过一段导体的电流和导体两端的电压成正比，即I∝U，这个结论叫作欧姆定律。写成等式为I或U=IR（I与U互为因果），式中的比例系数由导体的性质决定，叫作导体的电阻［2］。

对比大学物理《电磁学》教材，高中物理教材对欧姆定律的表述存在两个问题。

1．1    “电流与电阻成反比”是有条件的

欧姆定律的表述中只有“电流与电压成正比”，而“电流与电阻成反比”的表述是有条件的。众所周知，物理规律揭示了有关物理概念之间的必然联系，而物理量是定量化的物理概念，它们有的是常量，有的是变量。物理规律中的正反比关系反映的是变量与变量之间的函数关系，而欧姆定律的研究对象是一段电阻不变的导体，一个变量（电流）怎么会与一个常量（电阻）成反比呢？一段导体中的电流与它的电阻没有函数关系，更没有成反比的关系。如果这段导体的电阻在变化，那么它的电流和电压之间的关系是不确定的。对于电阻不同的导体，可以分别对它们应用欧姆定律，得到关于电流与电压的不同的正比关系式；如果不同导体的电压相同，那么它们的电流与电阻是反比关系，这显然是多次应用欧姆定律得出的结论，而不是欧姆定律本身。

类似的，在大多数教材中对牛顿第二定律的表述也存在普遍性问题。物理定律是变量与变量之间的函数关系，中间可能会有一些系数（常量）。在牛顿第二定律F=ma中包含三个物理量，其中加速度a和作用力F是两个变量，且“a与F成正比”，而物体的质量m在非相对论情形下是不变的。因此，在非相对论情形下做变速运动的物体，它的加速度与质量没有函数关系，何来“a与m成反比”的结论？在相对论情形下，一个物体的质量m与其速度v之间的关系为m（式中m0是物体静止时的质量，c是光速），做变速运动的物体的质量是一个变量，但其加速度与它的质量之间不是反比关系。对于多个物体，当它们受到的作用力F相等时，它们的加速度a与其质量m成反比。显然，这是多次应用牛顿第二定律于多个物体后所得出的结论，而不是牛顿第二定律本身。

牛顿在《自然哲学之数学原理》中的“定律Ⅱ”指出：“运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。”［3］牛顿的说法不是很确切，经欧拉改进后的表述为“动量的变化率与力成正比”。尽管如此，在他们的表述中都没有“加速度与质量成反比”的内容。

1．2    “循环验证”和“逻辑颠倒”

欧姆定律的教学过程存在“循环验证”的弊端，而且欧姆定律和电阻的定义的逻辑关系颠倒。高中物理教材的实验中所用的电流表和电压表，都是在磁电式电流计的基础上，利用欧姆定律设计和改装的，用它们来测量电流和电压自然会得出“电流与电压成正比”的关系，这显然存在“循环验证”的问题［4］。事实上，在欧姆的时代，电学测量的主要手段是用验电器测量电荷，他创造性地将奥斯特发现的电流的磁效应和库仑扭秤结合制作了“电流扭秤”，用小磁针的偏转角来量度电流的大小，用不同的温差电源提供电压，实验装置如图1所示。

按照科学史实，欧姆在得出电流与电压成正比的基础上，揭示出比例系数反映导体对电流的阻碍作用，进而定义了电阻。显然，欧姆定律不是由电阻的定义式“变形”得到的，反而电阻是通过欧姆定律来定义的，欧姆定律在先，电阻的定义在后，两者的逻辑关系不能颠倒［5］。

2    欧姆定律的适用条件

在大学和高中物理教材中对欧姆定律的适用条件有类似的表述：“实验表明，欧姆定律不仅适用于金属导体，而且對电解液（酸、碱、盐的水溶液）也适用。欧姆定律成立时，伏安特性I－U图像是一条过原点的直线，这类元件叫作线性元件，如图2所示。对于气态导体（如日光灯中的汞蒸气）和半导体元件，欧姆定律不成立，其伏安特性不是直线，而是不同形状的曲线，这类元件叫作非线性元件。”［1-2］这里的表述非常准确、清楚，欧姆定律适用于金属导体和电解液等“电流与电压成正比”的线性元件，这类元件的电阻叫作线性电阻或欧姆电阻。然而，实际教学中很多师生持不同的观点，对此存在诸多误解和困惑。

2．1    欧姆定律适用于纯电阻元件吗？

在“描绘小灯泡的伏安特性曲线”实验中，当电压变化范围较大时，得到的伏安特性图像是曲线，即小灯泡是非线性元件；而小灯泡的灯丝是金属导体，工作时将电能全部转化为内能（发光是一种炽热状态，热辐射来源于内能），由能量守恒定律和焦耳定律可推导出，小灯泡在任意状态下满足U=IR。由此得出，欧姆定律的适用条件不是线性元件，而是纯电阻元件［6］。在这个例子中，教材中的表述似乎是矛盾的，小灯泡既是金属导体，又是非线性元件，欧姆定律到底成不成立？

首先，高中物理教材在讲解金属导体是线性元件时，前面有一句前提条件：“在温度没有显著变化时”。在这种情况下，纯金属的电阻R与温度t之间近似满足线性关系R=R0（1+αt），式中R0表示温度为0 ℃时的电阻，大多数纯金属的α值很小，近似为0.004/℃。实验测得小灯泡在电压较小（温度几乎不变）的一个阶段，伏安特性曲线是明显呈线性的，如图3所示［7］。教材中的练习第4题也说“一个小灯泡，当它两端的电压在3 V以下时，电阻大致等于14 Ω不变……”。如果将小灯泡处在恒温条件下，实验测得其伏安特性是一条过原点的直线，这说明小灯泡是否为“线性元件”与测量环境有关［8］，它的电阻变化是由于环境的温度变化引起的。

其次，小灯泡在任意状态下满足U=IR，并不能说明欧姆定律成立。大学物理教材在舉例晶体二极管的伏安特性后指出：“对于非线性元件，欧姆定律虽不适用，但仍可以定义其电阻为R，只不过它不再是常量，而是与元件上的电压或电流（即工作条件）有关的变量。”［2］显然，无论是线性元件还是非线性元件，只要能定义其电阻为R，就必然满足U=IR，但这是将电阻的定义式变形得出的结论，与欧姆定律的物理含义不同，适用条件也不同。欧姆定律的实质是电流与电压的正比关系，而不仅仅是电流、电压和电阻三者之间的数量关系。

人教版教材在推导焦耳定律表达式时提到：“……由欧姆定律U=IR，可以得到……”。虽然电热元件的电阻可认为几乎不变，满足欧姆定律，但这种说法容易误导师生，以为只要是纯电阻元件都满足欧姆定律。因此，建议教材将此处改为“……由电阻定义式R，可以得到……”。

2．2    欧姆定律适用于电动机吗？

电动机的线圈是金属导体，当它不转动时，电阻可认为不变，满足欧姆定律；当它转动起来时，它的伏安特性曲线就是非线性了，由能量守恒定律可知，其电压U、电流I和线圈电阻R不满足U=IR，当然也不满足欧姆定律。由于电动机转动时内部存在反电动势U0［9］，因而满足U=IR+U0。如果还要将描述为电动机对电流的阻碍作用，即=R+R0（式中R0表示反电动势U0对电流起阻碍作用的等效电阻），是包括线圈电阻R和反电动势U0在内的整个电动机对电流的阻碍作用。对于非线性元件，无法用一个电阻来描述它阻碍电流的性质，而要用整条伏安特性曲线来描述。

2．3    欧姆定律适用于电解液吗？

教材中明确给出欧姆定律适用于电解液，而电解液导电时会形成电解槽，电解槽是不满足欧姆定律的典型例子，这种“矛盾”着实让人费解。事实上，电解液在两极板之外靠正负离子导电，跟金属靠自由电子导电并无本质区别，也存在无规则碰撞，将电能转化为内能。而在两极板处，正负离子得失电子发生化学反应，附近存在反电动势，对电流造成不同于碰撞所带来的阻碍作用。在这个过程中，生成新的化学物质，同时将电能转化为化学能。实验表明，在电解液内部没有发生电解反应，满足欧姆定律，这是针对“仅导电不电解”的情况；而在两极板处发生了电解反应，伏安特性不是过原点的直线，“欧姆定律不适用于电解槽”则是强调发生了电解反应的情况［10］。

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书物理选修3-1［M］．北京：人民教育出版社，2010：46－47．

［2］赵凯华，陈熙谋．电磁学（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2011：160－163．

［3］牛顿.自然哲学之数学原理［M］．王克迪，译．北京：北京大学出版社，2006：8．

［4］教育部师范教育司．高中物理专题分析：电路和电磁场［M］．北京：人民教育出版社，1999：44－57．

［5］周浩，周阳波．电阻定义的追本溯源——从科学史和微观解释谈欧姆定律的适用条件［J］．物理教师，2022，43（5）：63－65．

［6］邓新云．浅议欧姆定律的适用条件［J］．中学物理教学参考，2020，49（7）：46－48．

［7］方银良．欧姆定律适用条件的讨论［J］．物理教师，2014，35（10）：60－61．

［8］胡瀚玮，张洪明．实验探究小灯泡在恒温下的伏安特性曲线［J］．物理教学，2018，40（5）：44－45．

［9］王鹏，杨培军．非纯电阻电路中欧姆定律为什么不成立［J］．物理教师，2015，36（10）：69－71．

［10］王贤乾，许贤国．实验探究欧姆定律对电解液及电解槽适用情况［J］．物理教学，2021，43（4）：21－23．

（栏目编辑    蒋小平）