一维简单随机游动的最爱下穿点

郝晨旭 胡泽春 马婷 宋仁明

摘要：随机游动是一类重要马氏过程，有广泛应用.对于一维简单对称随机游动 （S n） ，点 x 在时间 n 被称为最爱下穿点，如果在时刻 n 没有其它点的下穿次数比点 x 的下穿次数大.本文研究了最爱下穿点集的个数，证明如下的命题以概率1成立：4个及4个以上的最爱下穿点只能出现有限次，3个最爱下穿点则会出现无穷多次.此外，本文还提出了一些相关的开问题.

关键词：随机游动； 最爱点； 最爱边； 最爱下穿点； 局部时

中图分类号：O211.5   文献标识码：A   DOI：10.19907/j.0490-6756.2023.051002

收稿日期：  2022-10-23

基金项目：   国家自然科学基金（12171335， 12101429， 12071011， 11931004， 11871184）； 西蒙斯基金（429343）； 四川大学理科发展专项项目（2020SCUNL201）

作者简介：   郝晨旭（1995-）， 男， 博士研究生， 主要研究方向為随机游动.E-mail： 476924193@qq.com

通讯作者：  马婷.E-mail： matingting2008@scu.edu.cn

Favorite down-crossing sites of one-dimensional simple random walk

HAO Chen-Xu 1， HU Ze-Chun 1， MA Ting 1， SONG Ren-Ming 2

（1.Schoolof Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China;

2.Department of Mathematics， University of Illinois， Urbana IL 61801， USA）

Random walk is a very important Markov process and has important applications in many fields.For a one-dimensional simple symmetric random walk   S n  ， a site  x  is called a favorite down-crossing site at time  n  if its down-crossing local time at time  n  achieves the maximum among all sites.In this paper， we study the cardinality of the favorite down-crossing site set， and show that with probability 1 there are only finitely many times at which there are at least four favorite down-crossing sites and three favorite down-crossing sites occurs infinitely often.Some related open questions are introduced as well.

Random walk; Favorite site; Favorite edge; Favorite down-crossing site; Local time

1 引 言

令 （S n），n∈  N 为一维简单对称随机游动， S 0=0 .参照文献［1］的记号，点 x 到时刻 n 为止的上穿次数和下穿次数分别定义如下：

ξ U（x，n） #{0

ξ D（x，n） #{0

在本文中，我们以 #D 表示集合 D 的基数.点 x 在时刻 n 的局部时 ξ（x，n） ，边 x 在时刻 n 的局部时 L（x，n） 分别定义如下：

ξ（x，n） ξ U（x，n）+ξ D（x，n），

L（x，n） ξ U（x，n）+ξ D（x-1，n），

其中边 x 表示点 x-1 与点 x 之间的边.若 ξ（x，n）=   max    y∈ Ζ    ξ（y，n）， 则称点 x 为 n 时刻的最爱点.记  K（n）  为随机游动 n 时刻的最爱点集.我们称   K（n）    n≥1  为一维简单对称随机游动的最爱点过程.若 #K（n）=k ，则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱点.若 L（x，n）=  max    y∈ Ζ    L（y，n）， 则称边 x 为 n 时刻的最爱边.记 E（n） 为随机游动 n 时刻的最爱边集.我们称   E（n）    n≥1  为一维简单对称随机游动的最爱边过程.若 #E（n）=k ，则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱边.若 ξ D（x，n）=  max    y∈ Ζ    ξ D（y，n）， 则称点 x 为 n 时刻的最爱下穿点.记 K D（n） 为随机游动 n 时刻的最爱下穿点集.我们称   K D（n）    n≥1   为一维简单对称随机游动的最爱下穿点过程.若 #K D（n）=k ，则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱下穿点.

在文献［2，定理1.1］中， 我们证明了3个最爱边以概率1出现无穷多次，补充了文献［1］的结果（在文献［1］中，作者证明了4个及4个以上的最爱边以概率1只能出现有限次）， 否定了文献［1，注1， 368页］中提到的猜测.在文献［2，定理 1.1］的证明中，我们用最爱下穿点过程的暂留性得到了最爱边过程的暂留性.实际上，从文献［2］中我们能看出最爱下穿点与最爱边存在着密切联系，这是本篇论文的写作动机之一.实际上，我们研究了最爱下穿点集的个数，获得了如下主要结果：

定理1.1    对于一维简单对称随机游动，以概率1成立：4个及4个以上的最爱下穿点只能出现有限次， 3个最爱下穿点会出现无穷多次.

对于一维简单对称随机游动最爱点个数的相关问题， 已有许多研究（参考综述文献［3］）. 这个问题最早由 Erds和Révész在上个世纪八十年代提出并开始研究， 参见文献［4-7］. Tóth在文献［8］中证明：4个及4个以上的最爱点以概率1只能出现有限次.Ding和Shen在文献［9］中证明：3个最爱点会以概率1出现无穷多次.

除了最爱点的个数问题， 还有一系列论文研究了最爱点的渐近行为、高维简单随机游动的最爱点问题及其它过程（如布朗运动、对称稳定过程、莱维过程及随机环境中的随机游动等）的最爱点问题，参见综述文献［3］及其参考文献.

在文献［2，命题 2.4］中， 我们得到了如下结果：

命题1.2     x∈E（n），则x∈K D（n）.

根据命题1.2和文献［5，定理 1.1］可知，证明定理1.1只需证明4个以及4个以上的最爱下穿点以概率1只能出现有限次.

令 x∈E（n） ， 定义

f（r） #{n≥1：S n∈K D（n）， S n=S  n-1 -1，

#K D（n）=r}.

其含义为满足条件“在该时刻产生一个新的最爱下穿点，同时还有 r-1 个其它最爱下穿点”的时刻的数目.根据定义可知  f（r）≥f（r+1） .于是，若要完成定理1.1的证明， 只需证明以下定理.

定理1.3     E（f（4））<+∞.

我们的证明是受文献［8］和［1］的启发.论文的后续结构如下.在第二节中，我们给出一些准备工作.在第三节中，我们给出定理1.3的证明.在最后一节中我们给出一些注记并引入几个开问题.在整篇文章中，我们用字母 C 表示某个正常数， 不同位置其值可能发生变化.

2 预备知识

定义逆局部时如下：

T U（x，k）  min {n≥1：ξ U（x，n）=k}，

T D（x，k）  min {n≥1：ξ D（x，n）=k} .

f（4） 可等价写为 f（4）=∑  x∈ Ζ   d（x）， 其中

d（x） ∑ ∞  n=1  1  {S   n-1 =x+1，S  n=x，x∈K  D（x），#K  D（x）=4} =

∑ ∞  n=1  ∑ ∞  k=1  1   {T  D（x，k）=n，x∈K  D（x），#K  D（x）=4} =

∑ ∞  n=1  1   {x∈K  D（T  D（x，k）），#K  D（T  D（x，k））=4} .

由此可得

E（f（4））=∑  +∞   x=1  E（d（-x））+∑  +∞   x=0  E（d（x））  （1）

其中

E（d（x））=∑ ∞  k=1   Ρ （x∈K  D（T  D（x，k）），

#K  D（T  D（x，k））=4）.

2.1 分支过程和Ray-Knight表示

在本文的余下部分，我们假定 Y n 为子女数服从几何分布的临界分支过程， Z n，R n 为两个带有不同移民方式的临界分支过程， 它们的具体定义如下： 令    X  （m）   n，i     m，n，i  为独立同分布随机变量序列，服从均值为1的几何分布，即对于任意 k≥0，  Ρ X  （m）   n，i =k =1/2  k+1   .递归定义

Y   n+1 =∑  Y  n   i=1  X   （1）   n，i ，Z   n+1 =∑  Z  n+1   i=1  X   （2）   n，i ，R   n+1 =

1+∑  R  n   i=1  X  （3）    n，i   （2）

则 Y n，Z n 和 R n 是以 N 为状态空间的马氏链，一步转移概率分别为

Ρ Y  n+1 =j|Y n=i =π（i，j）

δ 0（j）， i=0， 2  -i-j  （i+j-1）！ （i-1）！j！ ， i>0    （3）

Ρ Z  n+1 =j|Z n=i =ρ（i，j） π（i+1，j）  （4）

及

Ρ R  n+1 =j|R n=i =ρ *（i，j） π（i，j-1）  （5）

在某些特定的停时时刻，为在空间变量中描述   S n    n≥0  的局部时过程，上述定义的三个随机过程 Y n，Z n 和 R n 将是非常有用的工具.令 x 为一个固定的整数，我们有下列两种情形：

情形1     x≤-1 .定义如下三个过程：

（1）   R  （h）  n    0≤n≤-x-1  是一步转移概率为 ρ *（i，j） ，初值是 R  （h）  0=h 的马氏链;

（2）   Y  （h-1）  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π（i，j） ，初值是 Y  （h-1）  0=h-1 的马氏链;

（3）   Y  ′（h）  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π（i，j） ，初值是 Y  ′（h）  0=R  （h）   -x-1  的马氏链.

把上述三个过程按照如下方式拼接在一起，得到一个新的过程：

Δ  （h）  x（y）  Y  ′（h）   y+1 ， R  （h）   y-x ， Y  （h-1）   x-y ，    -1≤y<+∞， x≤y≤-1， -∞

根据 Ray-Knight定理  ［10］ 可知

ξ D（y，T D（x，h）），y∈ Ζ      d =   Δ  （h）  x（y），y∈ Ζ    （7）

其中   d =   表示“同分布”.

情形2     x≥0 .定义如下三个过程：

（1）   Z  （h-1）  n    0≤n≤x  是一步转移概率为 ρ（i，j） ，初值是 Z  （h-1）  0=h-1 的马氏链;

（2）   Y  （h）  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π（i，j） ，初值是 Y  （h）  0=h 的马氏链;

（3）   Y  ′（h-1）  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π（i，j） ，初值是 Y  ′（h-1）  0=Z  （h-1）  x 的马氏链.

对于此种情形，我们按如下方式把上述三个过程拼接在一起：

Γ   （h）  x（y）  Y  ′（h-1）   -y ， y<0，

Z  （h-1）   x-y ， 0≤y≤x-1 Y  （h）   y-x ， y≥x ，  （8）

由文献［10，定理1.1］可知

ξ D（y，T D（x，h）），y∈ Ζ   d =    Γ   （h）  x（y），y∈ Ζ    （9）

注1    （i） 在情形1中， 如果 x=-1 ， 则（6）式可化简为

Δ  （h）  x（y）  Y  ′（h）   y+1 ， Y  （h-1）   x-y ，    -1≤y<+∞， -∞

其中 Y  ′（h）  0=h ;

（ii） 在情形2中，如果 x=0 ， 则（8）式可化简为

Γ   （h）  x（y）  Y  ′（h-1）   -y ， y≤-1，

Y  （h）   y-x ， y>0，

其中 Y  ′（h-1）  0=h-1 ;

（iii） 为节省空间， 在后面的相应的证明中我们不再对以上两种特殊情况进行单独说明.

注意到情形1中 Y n 的初值是 h-1 ， R n 的初值是 h ，而情形2中 Y n 的初值是 h ， Z n 的初值是 h-1 ，为书写方便下文将省略除 Y n 以外其他过程 R n ， Z n ， Y′ n 的上角标，也会用条件概率去表示相应过程的初值.

2.2 用Ray-Knight定理表示 E（d（x））

令 R n ， Z n ， Y′ n 和 Y n 为上一小节中定义的分支过程.对于 h∈ Ν  ，定义如下几个停时：

σ h  min {n≥1：Y n≥h}，σ′ h  min {n≥1：Y′ n≥h}，

τ h  min {n≥1：Z n≥h}，τ′ h  min {n≥1：R n≥h}  （10）

情形1     x≤-1，h≥1，p≥0 且都是整数.定义

A  h，p  {  max    1≤n<∞  Y  （h-1）  n≤h，

#{1≤n<∞：Y  （h-1）  n=h}=p}   （11）

A′  h，p     max    1≤n<∞  Y′ n≤h，#{1≤n<∞：Y′ n=h}=p   （12）

B  x，h，p  {  max    1≤n<-x-1  R n≤h，#{1≤n≤-x-1：

R n=h}=p}  （13）

注意到事件 A′  h，p  依赖于 x ， 因为  Y′ n  的初值依赖于 x .下文中我们将用条件概率来指明初始状态.

由式（7）可知

Ε d（x） =∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  ∑ h  l=0  Ρ（A   h，p |Y 0=h-1）·

Ρ B   x，h，q ∩{R   -x-1 =l}|R 0=h ·

Ρ（A′   h，r |Y′ 0=l）  （14）

为书写方便，我们把“ -x ”替换为“ x ”.根据上式可得

∑ ∞  x=1  Ε d（-x） ≤∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  Ρ（A   h，p |Y 0=h-1）·

∑ ∞  x=1  Ρ B   -x，h，q |R 0=h  （  sup    l∈［0，h］  Ρ（A′   h，r |

Y′ 0=l））  （15）

情形2     x≥0，h≥1，p≥0 且都是整数.定义

C  h，p     max    1≤n<∞  Y  （h）  n≤h，#{1≤n<∞：Y  （h）  n=h}=p    （16）

C′  h，p     max    1≤n<∞  Y′ n≤h，#{1≤n<∞：Y′ n=h}=p   （17）

D  x，h，p     max    1≤n

注意到事件 C′  h，p  依赖于 x ， 因为 Y′ n 的初值依赖于 x .下文中我们将用条件概率标明初始状态.

由（9）式可得

Ε d（x） =∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  ∑ h  l=0  Ρ（C   h，p |Y 0=h）·

Ρ D   x，h，q ∩{Z  x=l}|Z 0=h-1 ·

Ρ（C′   h，r |Y′ 0=l）  （19）

于是

∑ ∞  x=0  Ε d（x） ≤∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  Ρ（C   h，p |Y 0=h）·

∑ ∞  x=1  Ρ D   x，h，q |Z 0=h-1  ·

sup    l∈［0，h］  Ρ（C′   h，r |Y′ 0=l）   （20）

2.3 一些引理

为了在下一节中给出定理1.3的证明，我们需要如下的数个引理.

引理2.1    存在一个常数 C<∞ ，使得对任意 0≤k≤h 有

Ρ σ h=∞|Y 0=k ≤ h-k h +Ch  - 1 2  .

根据两个过程   Y n    n≥0  和   Y′ n    n≥0  的定义及上述引理，可得如下引理.

引理2.2    存在一个常数 C<∞ ，使得对任意 0≤k≤h 有

Ρ σ′ h=∞|Y′ 0=k ≤ h-k h +Ch  - 1 2  .

引理2.3     ［8］  存在一个常数 C<∞ ，使得对任意 0≤k≤h 有 Ε τ h|Z 0=k ≤（h-k）+Ch   1 2  .

类似文献［8］可得关于 τ′ h 的如下结果.

引理2.4    存在常数 C<∞ 使得对任意整数  h≥1  ，如下不等式成立：

Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch   1 2    （21）

证明  容易验证   R n-n    n≥0  是一个鞅.根据Doob停止定理可得

Ε τ′  h|R 0=h =Ε R  τ′  h |R 0=h -h=

-h+∑ ∞  u=h  Ρ R   τ′  h ≥u|R 0=h   （22）

我们断言

Ρ R   τ′  h ≥u|R 0=h ≤ ∑ ∞  w=u  ρ *（h，w） ∑ ∞  v=h  ρ *（h，v）   （23）

注意到对 1≤h≤u 有

Ρ R  τ′  h =u|R 0=h =

∑  h-1   l=1  Ρ R  τ′ h =u，R   τ′  h-1 =l|R 0=h =

∑  h-1   l=1  Ρ R   τ′  h-1 =l|R 0=h Ρ（R  τ′  h =

u|R   τ′  h-1 =l， R 0=h）=

∑  h-1   l=1  Ρ R   τ′  h-1 =l|R 0=h · ρ *（l，u） ∑ ∞  v=h  ρ *（l，v）    （24）

根据（3）式和（5）式可知对 0≤l

ρ *（l+1，v） ρ *（l，v） = π（l+1，v-1） π（l，v-1） = l+v-1 2l <

l+v 2l = π（l+1，v） π（l，v） = ρ *（l+1，v+1） ρ *（l，v+1） .

由此可得， 对任意 0≤l

ρ *（l+1，v）·ρ *（l，w）<ρ *（l，v）·ρ *（l+1，w），

ρ *（l，v）= 2l l+v-1 ρ *（l+1，v）≤ρ *（l+1，v），

这意味着对任意 0≤l

∑ ∞  v=h  ρ *（l+1，v）·∑ ∞  w=u  ρ *（l，w）<

∑ ∞  v=h  ρ *（l，v）·∑ ∞  w=u  ρ *（l+1，w）.

根据（24）式可得

Ρ R   τ′  h ≥u|R 0=h ≤  max    l′∈［0，h］   ∑ ∞  w=u  ρ *（l′，w） ∑ ∞  v=h  ρ *（l′，v） ≤

∑ ∞  w=u  ρ *（h，w） ∑ ∞  v=h  ρ *（h，v） .

故（23）式成立.

根据（23）式和一些计算，我们得到

Ρ R  τ′  h ≥u|R 0=h ≤ ∑ ∞  u=h  ∑ ∞  w=u  ρ *（h，w） ∑ ∞  v=h  ρ *（h，v） =

∑ ∞  v=h  ρ *（h，v）v ∑ ∞  w=h  ρ *（h，w） ≤h+C h  1/2 .

此式与（22）式一起即可推得（21）式.证毕.

对   Z n    n≥0  ，我们有如下结果：

引理2.5     ［1］  对任意 ε>0 ，存在常数 C（ε）<∞ 使得对任意整数 h>0 有

Ρ Z  τ h =h|Z 0=h ≤C（ε）h  - 1 2 +ε .

对  （R n）   n≥0  ，仿照文献［1，引理 3.1（ii）］，可得如下结果：

引理2.6    对任意 ε>0 ， 存在常数 C（ε）<∞ 使得对任意整数 h>0 有

Ρ R  τ′ h =h|R 0=h ≤C（ε）h  - 1 2 +ε   （25）

证明  我们把证明分为三步.

第一步.假定    1 2 ≤α≤ 1， h-h α≤z≤h， k≤ h .  我们有

ρ *（z，h+k） ρ *（z，h） = π（z，h+k-1） π（z，h-1） =

2  -k  （h+z-1）（h+z）…（h+z+k-2） h（h+1）…（h+k-1） ≥

2  -k   （h+z-1）  k  （h+k-1）  k ≥2  -k   （2h-h α-1）  k  （h+ h -1）  k ≥

（1-2h  α-1 ） k，

其中在最后一个不等式中我们利用了以下等价关系：

1 2 · 2h-h α-1 h+ h -1 ≥1-2h  α-1

3h α-2 h  +4 h  α- 1 2  -h  α-1  +1≥0.

于是，当 h 充分大使得 1-2h  α-1 ∈（0，1） 时，我们有

Ρ R 0≥h|R  -1 =z  Ρ R 0=h|R  -1 =z  =∑ ∞  k=0   ρ *（z，h+k） ρ *（z，h） ≥

∑  ［ h ］   k=0   ρ *（z，h+k） ρ *（z，h） ≥∑  ［ h ］   k=0   （1-2h   α-1 ）   k=

1- （1-2h   α-1 ）     h   2h   α-1  ≥ 1- （1-2h   α-1 ）     h -1  2h   α-1    （26）

注意到

（1-2h  α-1 ）    h -1 ≤  1-2h  - 1 2       h -1   h→∞    e   -2 < 1 2    （27）

可知存在 h 0>0 使得对任意 h>h 0 ，有

Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤4h  α-1   （28）

这里我们用到了如下不等式：

Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤

Ρ R 1=h|R 0=z  Ρ R 1≥h|R 0=z  .

这个不等式可用条件概率的定义进行验证.

第二步.对任意 u≥0 ， 定义

θ′ u  inf {n≥0：R n≤u}.

如引理2.3中所述，   R n-n    n≥0  是鞅.对于 0≤u≤h ，利用Doob停止定理可得

Ε R  τ′ h |R 0=h -Ε τ′ h|R 0=h =

Ε R  τ′ h∧θ′ u |R 0=h -Ε τ′ h∧θ′ u|R 0=h   （29）

根据（29）式和引理2.4可得

Ε  R  τ′ h -R  θ′ u  1  {θ′ u≤τ′ h} |R 0=h ≤

Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch   1 2    （30）

根据  R  τ′ h ≥h，R  θ′ u ≤u 和（30）式可得

Ρ θ′ u≥τ′ h|R 0=h ≤ Ch   1 2   h-u   （31）

特别地，对于 β∈  1 2 ，1  ，有

Ρ θ′  h-h β ≤τ′ h|R 0=h ≤Ch   1 2 -β   （32）

第三步.给定 ε>0 ，选取整数 N 满足 N> 1 2ε  .对于 i=0，1，…，N ，定义  u i h-h   N+i 2N    和

Δ 0 ［u 0，h］，Δ i ［u i，u  i-1 ），i=1，2，…，N.

则

Ρ R   τ′  h =h|R 0=h =

∑ N  i=0  Ρ {R   τ′  h =h}∩{R   τ′  h-1 ∈Δ i}|R 0=h   （33）

（i） 对 i∈{1，…，N} ，根据强马氏性，（28）式和（32）式，我们得到

Ρ {R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ∈Δ i}|R 0=h =

Ρ（{R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ∈Δ i}∩{θ′  u  i-1  ≤

τ′ h}|R 0=h）≤Ρ θ′  u  i-1  ≤τ′ h|R 0=h ·

sup    z∈Δ i  Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤

ch  - N+i-1 2N + 1 2  ·h  - N-i 2N  =Ch  - 1 2 + 1 2N  ≤Ch  - 1 2 +ε   （34）

（ii）  对于 i=0 ，  Ρ（{R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ≥u 0}|R 0= h） 可直接被控制.取 z∈［h- h ，h］. 则对所有 k∈［0， h ］ 有

ρ *（z，h+k） ρ *（z，h） ≥ （1-2h  - 1 2  ）  k≥

（1-2h  - 1 2  ）    h  ≥C.

对 k 求和可得

Ρ R 1≥h|R 0=z  Ρ R 1=h|R 0=z  ≥C h .

于是

Ρ R 1=h|R 0=z  Ρ R 1≥h|R 0=z  ≥ C  h  .

再由强马氏性可得

Ρ {R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ∈［h-h   1 2  ，h）}|R 0=h ≤

Ρ R  τ′ h-1 ∈［h-h   1 2  ，h）|R 0=h ·

sup    z∈［h-h   1 2  ，h）  Ρ R 1=h|R 0=z，R 1≥h ≤

sup    z∈［h-h  1/2 ，h）  Ρ R 1=h|R 0=z，R 1≥h ≤Ch  - 1 2    （35）

最后， 结合式（33）～（35）可得引理.证毕.

对于初值为 h-1 的过程   Z n    n≥0  ，仿照上述证明，我们有如下结果：

引理2.7    对任意 ε>0 ，存在常数 C<∞ 使得对任意整数 h>0 有

Ρ Z  τ h =h|Z 0=h-1 ≤C（ε）h  - 1 2 +ε .

引理2.8     ［1］  对于任意 ε>0 ，存在一个常数  C（ε）<∞  ，使得对任意整数 h>0 有

Ρ ［σ h<∞］∩［Y  σ h =h］|Y 0=h ≤

C（ε）h  - 1 2 +ε .

由  Y n ，n≥0 和  Y′ n ，n≥0 的定义及上述引理，可得

引理2.9    对任意 ε>0 ， 存在常数 C（ε）<∞ ，使得对任意整数 h>0 有

Ρ ［σ′ h<∞］∩［Y  σ′ h =h］|Y′ 0=h ≤

C（ε）h  - 1 2 +ε .

考虑初值为 h-1 的过程   Y n    n≥0  ，与引理2.8的证明类似，可得

引理2.10    对任意 ε>0 ， 存在常数 C（ε）<∞ ，使得对任意整数 h>0 有

Ρ ［σ h<∞］∩［Y  σ h =h］|Y 0=h-1 ≤

C（ε）h  - 1 2 +ε .

3 定理1.3的证明

为给出定理1.3的证明，我们需要以下两个引理，其证明放在本节末尾.

引理3.1    对任意 ε>0 ，存在一个有限常数  C<∞  ，满足：

（i） 对任意整数 p≥0，   P A  h，p |Y 0=h-1 ≤ （Ch  - 1 2 +ε ）  p·h  - 1 2  ;

（ii） 对任意整数 p≥0，

∑ ∞  x=1  P B   -x，h，p |R 0=h ≤ （Ch   - 1 2 +ε ）   p·h   1 2  ;

（iii） 对任意整数 p≥0，0≤l≤h 和  x≤-1，    P A′  h，p |Y′ 0=l  ≤ （Ch  - 1 2 +ε ）  p.

引理3.2    对任意 ε>0 ，存在一个有限常数  C<∞  ，满足：

（i） 对任意整数 p≥0 ，  P C  h，p |Y 0=h ≤ （Ch  - 1 2 +ε ）  p·h  - 1 2  ;

（ii） 对任意整数 p≥0 ，

∑ ∞  x=1  P D   x，h，p |Z 0=h-1 ≤ （Ch   - 1 2 +ε ）   p·h   1 2  ;

（iii） 对任意整数 p≥1，0≤l≤h 和 x≥0 ，   P C′  h，p |Y′ 0=l  ≤C （h  - 1 2 +ε ）  p.

根据（1）式，为证明定理1.3，我们只需证明

∑ ∞  x=1  Ε d（-x） +∑ ∞  x=0  Ε d（x） <∞  （36）

由引理3.1，我们可以界定下式

∑  p+q+r=3  P A   h，p |Y 0=h-1 ·    ∑ ∞  x=1  P B   -x，h，q |R 0=h  ·

sup    l∈［0，h］  Ρ（A′   h，r |Y′ 0=l）   （37）

若 r=0，p+q=3 ，则（37）式由下式控制

C （h  - 1 2 +ε ）  p·h  - 1 2  · （h  - 1 2 +ε ）  q·h   1 2  =Ch  - 3 2 +3ε .

若 r>0，p+q+r=3 ，则（37）式由下式控制

C （h  - 1 2 +ε ）  p·h  - 1 2  · （h  - 1 2 +ε ）  q·h   1 2  · （h  - 1 2 +ε ）  r=

Ch  - 3 2 +3ε .

再根据（15）式可得

∑ ∞  x=1  Ε d（-x） <∞  （38）

由引理3.2，我们可以界定下式：

∑  p+q+r=3  P C   h，p |Y 0=h ·    ∑ ∞  x=0  P D   x，h，q |Z 0=h-1  ·

sup    l∈［0，h］  Ρ（C′   h，r |Y′ 0=l）   （39）

若 r=0，p+q=3 ，则（39）式由下式控制：

C （h  - 1 2 +ε ）   p+q =Ch  - 3 2 +3ε .

若 r>0，p+q+r=3 ，则（39）式由下式控制：

C （h  - 1 2 +ε ）   p+q · （h  - 1 2 +ε ）  r=Ch  - 3 2 +3ε .

再根据（20）式可得

∑ ∞  x=0  Ε d（x） <∞  （40）

最后，根据（38）式和（40）即可得到（36）式.证毕.

引理3.1的证明  （i） 对于 p=0 ， 根据（11）式和引理2.1可得

P A  h，0 |Y 0=h-1 =P（σ h=∞|Y 0=h-1）≤

Ch  - 1 2  .

由此可知，在这种情形下（i）成立.根据（11）式和引理2.1，我们也有

P A  h，0 |Y 0=h =P σ h=∞|Y 0=h ≤Ch  - 1 2    （41）

对于 p≥1 ，利用  Y n  的强马氏性、引理2.8、引理2.10和（41）式，我们得到

P A  h，0 |Y 0=h-1 =P（{σ h<∞}∩

{Y  σ h =h}|Y 0=h-1）·P（A  h，p-1 |Y 0=h）

=…=

P {σ h<∞}∩{Y  σ h =h}|Y 0=h-1 ·

P    σ   h <∞ ∩  Y    σ   h  =h | Y   0 =h    p-1 ·

P  A   h，0   Y   0 =h）SymbolcB@

C h   - 1 2 +ε     p  h   - 1 2   ，

即（i）成立.

（ii） 对于 p=0 ，由（13）式和引理2.4可得

∑ ∞  x=1  P B   -x，h，0 |R 0=h =

∑ ∞  x=1  P τ′  h≥x|R 0=h =   Ε τ′  h|R 0=h ≤Ch   1 2    （42）

对于 p≥1 ，由 （R n） 的强马氏性可得

∑ ∞  x=1  P B   -x，h，p |R 0=h =

P R   τ′  h =h|R 0=h ·

∑ ∞  x=1  P B   -x，h，p-1 |R 0=h  =…=

P   R    τ ′   h  =h| R   0 =h     p ·

∑ ∞ x=1 P  B    -x，h，0 | R   0 =h  .

则由（42）式和引理2.6可得

∑ ∞  x=1  P B   -x，h，p |R 0=h ≤  Ch   - 1 2 +ε    p·h   1 2  .

（iii） 根据 A′  h，0  的定义、（12）式及引理2.2可得

P A′  h，0 |Y′ 0=h =P σ′ h=∞|Y′ 0=h ≤Ch  - 1 2    （43）

对 p≥1 ， 由  Y′ n  的强马氏性可得

P A′  h，p |Y′ 0=l =

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P A′  h，p-1 |Y′ 0=h =…=

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P  A ′  h，0   Y ′  0 =h）≤

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P  A ′  h，0   Y ′  0 =h）.

再根据引理2.9和（43）式可得

P A′  h，p |Y′ 0=l ≤  Ch  - 1 2 +ε    p.

证毕.

引理3.2的证明  （i） 对 p=0 ， 由（16）式和引理2.1可得

P C  h，0 |Y 0=h =P σ h=∞|Y 0=h

对 p≥1 ，由  Y n  的强马氏性可得

P C  h，p |Y 0=h =

P {σ h<∞}∩{Y  σ h =h}|Y 0=h ·

P C  h，p-1 |Y 0=h =…=

P    σ   h <∞ ∩  Y    σ   h  =h | Y   0 =h    p ·

P  C   h，0   Y   0 =h） .

由（44）式和引理2.8可得（i）.

（ii） 对于 p=0 ， 由引理2.3可得

∑ ∞  x=1  P D   x，h，0 |Z 0=h-1 =   ∑ ∞  x=1  P τ  h≥x|Z 0=h-1 =

Ε τ  h|Z 0=h-1

因此，（ii）式成立.同时，根据引理2.3，我们有

∑ ∞  x=1  P D   x，h，0 |Z 0=h =

∑ ∞  x=1  P τ  h≥x|Z 0=h =

Ε τ  h|Z 0=h

对于 p≥1 ，由  Z n  的强马氏性可得

∑ ∞  x=1  P D   x，h，p |Z 0=h-1 =

P Z   τ  h =h|Z 0=h-1 ·

∑ ∞  x=1  P D   x，h，p-1 |Z 0=h  =…=

P Z  τ h =h|Z 0=h-1 ·

P   Z     τ    h  =h| Z   0 =h     p-1 ·

∑ ∞ x=1 P  D    x，h，0 | Z   0 =h  .

接着，由引理2.5、引理2.7及（45）式可得

∑ ∞  x=1  P D   x，h，p |Z 0=h-1 ≤  Ch   - 1 2 +ε     p·h   1 2  ，

即（ii）成立.

（iii） 根据 C′  h，0  的定义式（17）及引理2.2，可得

P C′  h，0 |Y′ 0=h =P σ′ h=∞|Y′ 0=h ≤Ch  - 1 2    （46）

对于 p≥1 ，由  Y′ n  的强马氏性可得

P C′  h，p |Y′ 0=l =

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P C′  h，p-1 |Y′ 0=h =…=

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P   C ′   h，0   Y ′  0 =h）≤

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P   C ′   h，0   Y ′  0 =h） .

接着，由引理2.8和（46）式知

P C′  h，p |Y′ 0=l ≤C  h  - 1 2 +ε    p.

证毕.

4 注和开问题

注2    类似于最爱下穿点过程，我们可以定义最爱上穿点过程.由一维简单对称随机游动的对称性，我们可以得到最爱上穿点相对于定理1.1的类似结果.

注3    定义

ξ *（x，n）  max {ξ U（x，n），ξ D（x，n）}.

我们称点 x 为 n 时刻的最爱单边点，若其满足  ξ *（x，n） =  sup    y∈ Ζ    ξ *（y，n）.   n 时刻的最爱单边点集记为 K *（n） .  K *（n） ，n≥1  称为一维简单对称随机游动的最爱单边点过程.

相对于  K D（n） ， K（n）  和  E（n）  这三个过程，过程  K *（n）  的研究似乎更为困难.对于一维简单对称随机游动，我们提出如下问题：

问题4.1    4个及4个以上的最爱单边点是否会以概率1最多出现有限次？

问题4.2    3个最爱单边点是否会以概率1出现无穷多次？

问题4.3    最爱单边点过程是暂留的吗？ 如果是，那么它的逃离速率是多少？

参考文献：

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［8］  Tóth B.No more than three favorite sites for simple random walk ［J］.Ann Probab， 2001， 29： 484.

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