基于Hirota方法探求非零边界条件下MNLS/DNLS方程的孤子解

周国全 雒润嘉 齐蓥

摘 要 Hirota双线性导数变换处理非线性偏微分方程，是一种比反散射变换更为方便的直接方法。本文展示了Hirota双线性导数变换法应用于求解非线性可积方程的一般手续，以非零驻波边界条件下修正的非线性薛定谔（MNLS）方程为例，探求其孤子解;再通过简单的参数归零法直接得到导数非线性薛定谔（DNLS）方程在非零常数边界条件下的相应孤子解，亮/暗孤子解随时间和空间变量的演化也通过图像加以演示， 所得孤子解与反散射方法得到的结果一致相符。

关键词 孤子;非线性方程;修正的非线性薛定谔方程;导数非线性薛定谔方程;Hirota方法;Hirota双

自然界存在两类稳定的波动状态，一类稳定波动存在于线性且无色散的均匀媒质中，因为非线性效应和色散效应都会破坏波的稳定性。但是，当传波媒质的非线性效应与色散效应达到一种精致而稳定的平衡并相互抵消的时候，媒质中又会产生一种孤立、稳定的局域波动，称为孤立波（solitary wave），即第二类稳定传播的波动现象[1]。描述这类孤立、稳定且局域的波动现象在时空中的演化过程的偏微分方程，称为可积非线性微分方程。可积非线性方程既有非线性项，又有色散项，可以改写成一对关于时空变量的线性演化方程（所谓Lax pair）的可积条件[1]，也称为相容性条件（compatibility condition），或者零曲率条件（zero-curvature condition）。一些稳定的孤立波之所以被称为孤子（soliton），是因为它们的传播呈现一种经典的准粒子运动状态，其相互间的碰撞过程类似于弹性粒子之間的碰撞。孤子种类很多，诸如亮/暗孤子、呼吸子、高阶孤子、流氓波（rogue wave），并且各具不同的物理背景，比如光纤中传播的光孤子，等离子体中传播的阿尔芬孤波，QCD的规范量子场微分方程的真空瞬子（instanton），等等。本文专注于讨论非线性光纤光学中的光孤子理论。