基于Drucker-Prager屈服准则及加卸载判据的圆形隧道围岩-支护作用机制探讨

2023-04-29叶泰龙喻勇

西南科技大学学报 2023年1期

叶泰龙喻勇

摘要：隧道围岩-支护相互作用机制是隧道力学中的基础理论，为了准确描述围岩与支护结构对隧道应力变形的影响，假定围岩本构模型为理想弹塑性模型，采用适用于岩土材料的Drucker-Prager屈服准则，考虑加卸载判据，证明了圆形隧道的开挖过程是一个加载过程，支护过程是卸载过程。通过大型有限元仿真软件Abaqus计算了平面应变情况下圆形隧道开挖与支护过程的弹塑性解。数值分析结果与理论公式结果相吻合，表明开挖的过程是解除内压、增大压差的加载过程，支护过程为施加内压、减小压差的卸载过程。支护后的围岩应力增量和位移增量符合弹性规律，且支护过后的应力等于开挖后的应力减去弹性应力。支护过程的卸载效应使得开挖过程产生的塑性区变成了残余变形区。研究结果可为工程应用提供参考。

关键词：圆形隧道Drucker-Prager屈服准则加卸载判据围岩-支护相互作用数值模拟

中图分类号：U451.2文献标志码：A文章编号：1671-8755（2023）01-0061-06

Abstract：Theinteractionmechanismoftunnelsurroundingrockandsupportisthefundamentaltheoryoftunnelmechanics.Inordertoaccuratelydescribetheinfluenceofsurroundingrockandsupportstructureontunnelstressanddeformation，thesurroundingrockconstitutivemodelwasassumedtobeanidealelastic-plasticmodel.UsingtheDrucker-Prageryieldcriterionforgeotechnicalmaterialsandconsideringtheloadingandunloadingcriteria，itisprovedthattheexcavationprocessofthecirculartunnelisaloadingprocess，andthesupportprocessisanunloadingprocess.Theelastic-plasticsolutionoftheexcavationandsupportprocessofcirculartunnelunderplanestrainwascalculatedbythelargefiniteelementsimulationsoftwareAbaqus.Thenumericalanalysisresultsareconsistentwiththoseoftheoreticalanalysis，indicatingthattheexcavationprocessistheloadingprocesswithreleasingtheinternalpressureandincreasingthepressuredifference，andthesupportprocessistheunloadingprocesswithapplyingtheinternalpressureandreducingthepressuredifference.Thestressincrementanddisplacementincrementofthesurroundingrockaftersupportconformtotheelasticitylaw，andthestressesaftersupportareequaltothoseatexcavationstageminuselasticcounterparts.Theunloadingeffectinthesupportprocessmakestheplasticzonegeneratedintheexcavationprocessbecometheresidualdeformationzone.Theresearchresultscanprovidereferenceforengineeringapplications.

Keywords：Circulartunnel;Drucker-Prageryieldcriterion;Loadingandunloadingcriterion;Surroundingrock-supportinteraction;Numericalsimulation

隧道圍岩与支护相互作用一直是隧道力学中的热门问题，隧道的开挖会引起洞周围岩应力与位移的重新分布，高地应力情况下会产生塑性变形区，影响着隧道安全与稳定及施工支护措施。

对于围岩-支护相互作用机制的研究，1950-1960年代盛行的卡斯特奈公式［1］用来描述隧道塑性区应力的分布规律和围岩塑性区半径。该公式只适用于屈服准则为摩尔-库仑准则的平面应变问题，且公式中支护力与原岩应力同时作用在围岩上的做法与工程实际不符。文献［2-3］基于Levy-Mises本构关系，研究了D-P屈服准则和Hoke-Brown屈服准则下的轴对称圆形隧道的理想弹塑性解，但研究仅仅考虑了开挖阶段，没有涉及到支护部分；文献［4］基于围岩与支护相互作用的两阶段分析法，提出了一种预测理想弹塑性围岩下虚拟支护力的数值方法；文献［5］研究了弹塑性变形条件下围岩-支护作用的全过程解析，并提出了开挖空间效应和虚拟支护力的概念，但是没有考虑到开挖与支护的加卸载判断。由于塑性力学行为与加载路径有关，原岩应力和支护力同时加载与依次加载所产生的结果并不相同，文献［6］以满足摩尔-库仑准则或Mises准则的理想弹塑性材料为例，考虑塑性力学的加卸载准则，判断了隧道开挖与支护阶段的加卸载情况，讨论了卡氏公式的适用范围，并提出了一种对于隧道开挖支护作用的新认识。但由于Mises准则更适用于金属材料，摩尔-库仑准则没有考虑中间主应力的影响，两者不能较好地反映岩土材料的应力位移特性。本文在文献［6］的基础上，考虑到隧道围岩为岩土材料，基于Drucker-Prager屈服准则（以下简称D-P准则），结合塑性力学的加卸载判据来研究隧道开挖与支护的加卸载情况。利用大型有限元仿真软件Abaqus模拟了平面应变情况下圆形隧道开挖与支护过程的弹塑性计算过程，并分析了此过程对应力、位移分布的影响，结果对实际工程有一定参考价值。

1圆形隧道的弹塑性分析

1.1基本假设及力学模型的建立

为研究方便，假定隧道为圆形隧道，埋深较大，轴向无限长；地下隧道在岩体内处在一种均匀的初始应力场中；岩体为理想弹塑性体，其中在弹性阶段，围岩满足古典线弹性理论的全部假定，即：连续、完全弹性、均匀、各向同性、小变形，且为平面应变状态。

圆形隧道的力学模型如图1所示。当隧道处在还未开挖的初始阶段，岩体在无穷远处受到地应力场p2的作用，如图1（a）所示，其等效力学作用为在已开挖的围岩洞周处施加大小相同的内压力p1，如图1（b）所示。隧道开挖过后的力学模型如图1（c）所示，此时以解除内压力p1来模拟开挖的过程。支护阶段的力学模型如图1（d）所示，在开挖后的状态下再施加一个合适的内压力p1来模拟支护力。

1.2圆形隧道在弹性阶段的解

1.3屈服准则

在屈服准则的选取上，由于摩尔-库仑准则在主应力空间的屈服面为不规则的六角锥形，在π平面上为不等角六边形，不能很好地计算塑性应变增量，给数值模拟计算带来了一定的困难，且摩尔-库仑准则不能反映中间主应力σ2对屈服和破坏的影响，为此，这里采用更合理的D-P屈服准则［12］，其在π平面上为圆形，在主应力空间的屈服面为光滑圆锥，表述简单且数值计算效率高，考虑了中间主应力的影响，在实际有限元软件中获得比较广泛的应用，具体形式如下：

由式（20）可知，施加支护力会导致隧道围岩的卸载。根据塑性力学理论，在产生塑性变形后卸除载荷，材料的应力应变和位移变化服从弹性规律，围岩最终的应力、变形为卸载后的残余应力和残余变形。

2算例与分析

为了验证本文基于D-P屈服准则和加卸载判据研究的正确性，下面计算高地应力场条件下的塑性区的产生条件和分布、应力分布及围岩位移等，并与理论解进行对比研究。

因为圆形隧道模型存在对称性，故采取四分之一圆来进行模拟。这里采用大型有限元分析软件Abaqus进行模拟计算。隧道内径a=5m，由于在数值计算中不能令隧道的外径为无限大，且实践表明在b10a与b=∞时，隧道应力的结果差距可以忽略不计。为方便计算，这里取b=50m。外压即地应力p2=30MPa，围岩的弹性模量E=12.5GPa，泊松比v=0.25，黏聚力c=6MPa，内摩擦角φ=25°。D-P模型与摩尔-库仑模型的参数并不相等，但两个模型的参数可以相互转换。根据Abaqus软件中D-P塑性本构模型公式［13-14］：

F=q-ptanβ-d（21）

换算后有如下关系：

tanβ=6sinφ3-sinφ（22）

d=6ccosφ3-sinφ（23）

计算可得对应于摩擦角φ的β值的大小为44.5°，d的大小为12.5MPa。

当隧道在纵向的尺寸比横截面尺寸大得多且不考虑开挖面（掌子面）的影响时，平面应变的假定被认为是可以采用的。

有限元模型图如图2所示。考虑到隧道内壁附近的压力变化较大，将网格密度径向按等比关系共划分成了9000个4结点双线性平面应变四边形单元。其中BD边界固定横向位移，AC边界固定纵向位移。在CD边界上施加30MPa的原岩应力，并在AB边界上同时也施加30MPa的应力用来模拟隧道未开挖时的静水应力场。

计算过程分为3步：

第一步：对未开挖的隧道模型进行弹塑性计算，此步骤得到了一个均匀的应力场，没有产生塑性区；

第二步：开挖模拟。保持其他条件不变，将AB上的应力减小至0，继续进行弹塑性计算。此步骤模拟隧道开挖的过程，因而AB上的应力被解除；

第三步：支护模拟。保持其他条件不变，在第二步的计算基础上，在AB边上施加8MPa的支护应力，继续进行弹塑性计算。

以上计算为模拟隧道开挖与支护的弹塑性计算方案，为了说明卸载是弹性过程，单独进行了一个弹性方案的计算，即在图2模型中使AB边的内压为8MPa，DC边的外压为0进行弹性计算。

2.1数值计算结果分析

这里提取AC边界的应力位移计算结果来进行研究分析。根据Abaqus数值分析软件的默认规定，径向应力σr可以表示为S11，环向应力σθ可以表示为S22，从数值计算结果提取数据分析，支护前后的应力分布如图3所示。从图3可以发现，切向应力曲线存在一个转折点，这个转折点右侧的曲线分布规律与弹性状态下的隧道应力分布相似，可以判定该点为弹性区域和塑性区域的分界点。还可以通过文献提供的塑性区半径公式：

Rp=R0［（1-3α）（1+3αkp0）］1-3α6α（24）

进行验证。通过公式计算得到的塑性区半径为5.74m，而数值计算得到该点处对应半径为5.80m，两者非常相近，这既验证了转折点为弹性区和塑性区的分界点，又表明了该公式适用于开挖阶段的力学研究分析。

从图3可以看出，隧道围岩在开挖后与支护后两个阶段的应力分布规律是相似的，径向應力的绝对值大小相对支护前有所增加，而环向应力的绝对值大小相对支护前有所减小。换而言之，支护后的环向应力与径向应力的绝对值的差在减小，这说明了在支护之后沿半径各点的应力圆在缩小，即应力圆的半径减小，圆心位置不变。这时，应力圆显然不会与D-P屈服准则所形成的屈服曲线重合或者相交，而是位于屈服曲线的内部，进一步说明围岩应力状态此时处于弹性状态。

支护前后环向应力、径向应力及位移的变化可以由它们自身的增量来表示。从图4、图5可以看出，应力、位移增量沿半径的分布规律与隧道围岩在弹性条件下只受内压p1得到的应力、位移分布规律几乎完全一致，表明支护阶段支护力的施加符合弹性状态下的规律，支护过程是一个弹性过程，说明支护过程是一个卸载过程。

同样地，隧道围岩的位移增量沿半径的分布规律与弹性状态下只受内压p1情形下的围岩位移分布规律几乎完全一致。

对D-P屈服準则下结合加卸载判据的圆形隧道围岩-支护相互作用机制的研究结果可以解释为：隧道的地应力是一直大于其支护力的，地应力的影响要比支护结构的支护力大得多，考虑两者大小之差显得格外重要。仅考虑围岩洞壁的话，解除支护力相当于卸载，但是对于整个岩体来说，压差增大的过程是加载的过程，压差减小则是卸载的过程。所以，这里的考虑对象应该是整个岩体。开挖阶段解除内压的过程是增大了压差，产生了一个加载的效应，岩体状态由弹性转变为塑性状态，形成了塑性区。而支护阶段施加支护力是使隧道增加了一个内压，减小了两者的压差，使岩体产生了一个卸载效应，进而使得塑性区成为了残余变形区。

通过加卸载判据和数值分析计算的验证，表明了隧道围岩-支护相互作用机制为：隧道开挖支护的整个过程为先开挖后支护，开挖支护不是同时进行的，开挖的过程是解除内压、增大压差的加载过程，支护过程为施加内压、减小压差的卸载过程。

2.2数值计算结果与理论解对比分析

由上一节可以得到，支护后的围岩应力等于支护前的弹性区和塑性区应力减去一个弹性应力。根据文献［2］基于D-P屈服准则得到的圆形隧道的弹塑性解，可以得到支护前（即开挖后）塑性区应力公式和弹性区应力公式：

式中：R0为隧洞半径；r为隧洞径向上的一点；p0为地应力；α，k为岩石力学常数。

根据上节结论表述，支护后的围岩应力大小会等于开挖后的围岩应力大小减去只受内压时的弹性区应力大小，这体现了围岩作用机制的内外压差效应，验证结果如图6所示。

从图6可以看出，有限元模拟结果在支护后的围岩应力-半径曲线分布与理论公式计算得到的围岩应力大小分布几乎一致，再次验证了数值结果的正确性又证明了隧道围岩与支护相互作用的内外压差效应是确实存在的。考虑加卸载判据可以为分析与研究隧洞围岩的开挖与支护及更多实际工程提供理论依据。

3结论

关于圆形隧道围岩-支护作用机制，通过理论分析和数值模拟计算，得到以下结论：（1）基于Drucker-Prager屈服准则，考虑加卸载判据，理想弹塑性圆形隧道的开挖是一个加载过程，支护是一个卸载过程。（2）通过Abaqus数值分析和理论公式对比可以验证隧道的支护过程是一个卸载过程，它不产生塑性区，在这个阶段的应力增量、位移增量符合弹性受力规律，且它会使得开挖形成的塑性区转变成为残余应力变形区域。（3）相较于摩尔-库仑模型，考虑了中间主应力影响的Drucker-Prager屈服准则得到的应力理论解与数值解之间的差距更小，更符合岩土材料的特性。（4）开挖后的应力大小减去只受内压情况下的弹性应力大小和支护后的围岩应力大小一致，开挖后的围岩位移大小减去弹性状态下的位移等于支护后的围岩位移大小，体现了围岩内外压差效应的正确性，进一步验证了支护对于围岩来说是一个卸载过程。

参考文献

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