基于计数单位表达一致性的单元整体教学

钱怡 张克旭

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出：“为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联。”小学阶段的整数运算到三年级上册“万以内加减法（二）”单元就收官了，虽然四年级还要认识大数但并不涉及计算。学生在十以内加减法、二十以内加减法、百以内加减法的计算中，已经隐约感受到整数运算是依据一条主线进行的，但是这条主线到底是什么？这条主线对小数、分数运算学习有何帮助？学生其实并不清楚，需要教师以计数单位表达一致性进行单元整体教学。由此，我们结合这一思路，共同打磨了一节展示课，在教学中取得了不错的效果。

一、大单元视域下重新定义单元学习

（一）对比各个版本教材，完善单元目标

我们在重新定义单元学习前，对比北师大版、人教版和苏教版三个版本的教材。三个版本的教材都借助情境，来帮助学生理解和掌握万以内加减法的算理和算法。学生从一年级就开始接触加减法算理，到三年级，学生对具体情境中加减法算理的理解和表达，已经从无序走向有序，从不规范走向规范。再对比三个版本教材单元目标的制定（见表1），均缺少从计数单位表达一致性角度对整数加减算法的梳理和提炼。

（二）建立评价框架，把握学情

有经验的教师知道本单元的学习难点是进位加法和退位减法，但具体是连续进退位困难大一些还是一次进退位困难大一些？在计算哪些数进退位出错频率更高？则需要做进一步的调查，对此我们制定了笔算万以内加减法掌握水平的表现性评价表（见表2），结合评价表设计预学单来分析所教班级学生具体错误点。

在对学生错误分析时，我们得到以下统计数据（如表3）。

如表3所示，大部分学生的加法运算能达到水平3，错误主要集中在计算错误或者需要进位时没有进位，但连续退位计算的正确率就比较低。一方面，学生对20以内进位加法或退位减法计算不熟练，很容易导致万以内退位减法计算错误；另一方面，万以内连续减与百以内减不同，十位不够减还要继续向百位借“1”，虽然与个位不够减向十位借“1”相似，但大部分学生无法自觉迁移方法。

可见，学生的知识基础完全可以同时学习加减法，在突出计数单位表达一致性的同时解决问题。

（三）调整单元课时，设计学习目标

有了这样的思考，我们把课时进行如下调整（如表4）。

设计“万以内加减法编题”这节课前，我们制定以下学习目标。

1.通过解决填数问题，使学生正确学会笔算万以内加减法，发现都是相同计数單位的加减，感受到计数单位表达的一致性，培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.在选择与算式匹配的问题中，使学生发现同一个算式可以解决表达不同，但结构一致的问题，培养学生用数学眼光发现、思考、表达现实世界的能力。

3.在与同伴协同合作学习中，学会合作、沟通。

二、基于计数单位表达一致性的学习路径设计

为了突出计数单位表达一致性的特点，我们从百以内加减法笔算开始回顾。在按要求“构造”万以内加减法算式中，理解相同数位上的数之间大小关系，与是否进退位之间的关系，从而体会到不同表达方式具有结构一致性的特点。

（一）回顾笔算加减法算法

出示下面四道题，请学生列竖式计算。

54+32 54-32 54+39 54-39

学生独立完成后，教师提问：“在笔算这些竖式题时，有哪些需要注意或者提醒同学的？”

结合学生的回答，教师把写有笔算方法的板贴依次呈现：1.相同数位对齐；2.从个位算起，哪一位满十就向前一位进“1”；3.哪一位不够减就向前一位借“1”作十。再选择54+39和54-39，请学生完整表达运算过程。

本教学环节借助笔算百以内加减法中不进位加法、进位加法、不退位减法、退位减法，在回顾笔算方法的过程中渗透计数单位表达一致性，为万以内加减法笔算做铺垫，培养学生的数学思维和数学表达能力。

（二）借助学习单建立一致性

师：同学们，利用这些两位数加减两位数算式，我们还能玩一个加减法编题游戏！

课件出示，把54变成了542，让学生完成学习单的任务一（如图1）。

学生独立完成后，与同桌交流验证，教师在学生反馈后，问学生：“为什么可以填这些数？”“与之前百以内加减法有什么相同点和不同点？”

学生通过交流补充，发现填入的数字与该数位另一个已知数之间具有满十、不满十、够减、不够减的关系。

教师再次出示学习单的任务二（如图2）：愿意挑战一下更难一点的题目吗？

学生独立编题后在反馈时出现了不同情况，有的学生只填出一种或两种答案，有的学生填出了很多答案，有的学生虽然填出很多答案但有错误，有的学生填出很多答案且都是正确的。

正当学生争论不下时，教师引导学生用检验的方法验证猜想，于是先出示“542+309、542+398、542-309、542-398”让学生独立列竖式，另请四个学生进行板演。

在核对完学生板书运算步骤和答案后，教师追问：“不符合的这两道题可以改成哪些数字？”

有了笔算经验后，学生很快能发现所填数的范围。并且在教师的追问中，也发现笔算万以内加减法与百以内加减法有相同的运算方法，只不过要特别小心连续进位时不要忘记进位，连续退位时遇到十位不够减时，要向百位退“1”。

学习单上两个开放性任务，能展现出学生差异化的思维水平，在学生互相交流、教师不断引导和追问中，学生从计数单位表达一致性的运算向每个计数单位上数字之间的相互关系去思考，进入深度学习的状态中，这样的设计有利于改正学生预学单出现的错误，也有助于揭示数学本质。

（三）学以致用，沟通算法算理

师：刚才我们计算了542-328，如果要你编出用这个算式计算的问题，你想到了哪些？

教师请学生介绍自己编的问题，再出示图3，让学生把能用“542-328”解决的问题与算式连起来。

师：为什么微波炉和游客人数这两个问题不能选？

结合学生的表达出示线段图，通过线段图的演示发现这两道题都是用“542+328”来解决问题。

师（小结）：本节课我们学习了万以内数的加减法，你觉得有哪些需要提醒同学的，我们是怎么学习的？如果给你这样一个算式“15745+872219”，你觉得笔算的时候要注意什么？

本节课虽然以计数单位表达一致性重点解决万以内加减法的笔算，但在课后还与算理结合，让学生选择合适的问题，把算法与之前学过的数量关系、问题结构联系起来，体会到算法和算理也具有一致性。在分析问题时，为了方便学生理解，教师还细心准备了线段图，以多元表征的方式促进学生对问题解决过程的理解，形成图与式的对应关系。

本节课给我们最大的感受就是一致性的多元性，开始引入的百以内加减法笔算是以计数单位表达一致性，重启了学生整数加减法算法的已有知识、经验，与万以内加减法笔算进行联系；第二个任务按要求“造”出符合要求的万以内加减法，以相同数位上数字大小关系的一致性确定所填数的范围，从只能填一两个数字扩展到填出所有符合要求的数字；最后根据算式选问题的环节，以算法与算理一致性的视角，让学生感受到同样的减法算式可以表达不同情境、不同数量关系的问题，但问题的基本结构是相同的。

在这样一次次猜想、验证、运用再猜想循环过程中，学生不断将旧知识运用到新知识的学习中，在丰富情感意识体验的同时提升了思维能力，不仅浸润于深度学习中，还在学习中不断接受挑战，发展核心素养。

（作者单位：浙江省杭州市余杭区未来科技城海曙小学）