随机变量的概率及其分布创新题赏析

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

数学创新题日新月异,层出不穷。那么随机变量及其分布创新题有哪些呢? 下面我们来赏析几例!

一、数学文化类

例11654 年,法国贵族德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡,在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛,约定胜者可以喝杯酒,当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒。此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负,那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费,梅雷由于接到命令需要觐见国王,没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆。请利用数学知识做出合理假设,猜测最后付酒资的最有可能是( )。

A.肖恩 B.尤瑟纳尔

C.酒吧伙计 D.酒吧老板

先胜四场比赛结束,就是比赛采用七局四胜制,设决出胜负的场数为X,于是得:

所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔。选B。

点评:本例的创新之处在于题目引入新颖的情况,以历史故事作为题引,可谓引人入胜,考查的是独立重复事件的概率计算。

二、逻辑推理类

例2某中学计划2023年4月举行趣味春季运动会,其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目,某班代表队共派出1 男(甲同学)2女(乙同学和丙同学)3人参加这两个项目,其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6,女生单独完成“夹球跑”的概率为a(0＜a＜0.4)。假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响,记这3 名同学能完成“夹球跑”的人数为ξ。

(1)证明:在ξ的概率分布中,P(ξ=1)的值最大。

(2)对于“定点投篮”项目,比赛规则如下:该代表队先指派一人上场投篮,如果投中,则比赛终止;如果没有投中,则重新指派下一名同学继续投篮;如果3 名同学均未投中,比赛也终止。该班代表队的领队了解后发现,甲、乙、丙3 名同学投篮命中的概率依次为ti=P(ξ=i)(i=1,2,3),每位同学能否命中相互独立。请帮领队分析如何安排3名同学的出场顺序,才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小,并给出证明。

解析：(1)由已知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3。

因0＜a＜0.4,故P(ξ=1)-P(ξ=0)=0.2(1-a)(1+3a)＞0,P(ξ=1)-P(ξ=2)=0.2(3a2-8a+3)＞0,P(ξ=1)-P(ξ=3)=-0.2(4a2+2a-3)＞0。

所以概率P(ξ=1)的值最大。

(2)由(1)知,当0＜a＜0.4 时,有t1=P(ξ=1)的值最大,且t2-t3=P(ξ=2)-P(ξ=3)=0.2a(6-7a)＞0,故t1＞t2＞t3,所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场,才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小。

证明如下:

假设p1,p2,p3为t1,t2,t3的任意一个排列,即若甲、乙、丙按照某顺序派出,该顺序下三人能完成项目的概率为p1,p2,p3,记在比赛时所需派出的人数为η,则η=1,2,3,且η的分布列如表1所示。

表1

数学期望E(η)=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)=3-2p1-p2+p1p2。

因为t1＞t2＞t3,所 以p1≤t1,要 使(1-p1)(1-p2)尽可能小,则需要p1,p2尽可能大。故当p1,p2取t1,t2时,(1-p1)·(1-p2)取最小值,即(1-p1)(1-p2)≥(1-t1)(1-t2)。

3-2p1-p2+p1p2=2+(1-p1)(1-p2)-p1≥2+(1-t1)(1-t2)-t1=3-2t1-t2+t1t2,所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场,才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小。

点评:本题将随机变量概率分布问题命制成证明题,使原来平淡无奇的题目瞬间提高了一个档次。不仅考查了数学运算的素养,而且考查同学们的逻辑推理素养。

三、知识交汇类

例3现有甲、乙、丙三个人相互传接球,第一次从甲开始传球,甲随机地把球传给乙、丙中的一人,接球后视为完成第一次传接球;接球者进行第二次传球,随机地传给另外两人中的一人,接球后视为完成第二次传接球;依次类推,假设传接球无失误。

(1)设乙接到球的次数为X,通过三次传球,求X的分布列与期望。

(2)设第n次传球后,甲接到球的概率为an,(i)试证明数列为等比数列;

(ii)解释随着传球次数的增多,甲接到球的概率趋近于一个常数。

解析：(1)由题意知X的取值为0,1,2。

所以X的分布列如表2所示。

表2

(2)(i)由题意:第一次传球后,球落在乙或丙手中,则a1=0。

点评:知识交汇处命题永远是创新题的“主旋律”。本题将随机变量的概率分布与数列交汇在一起考查,体现了新高考一题多考的命题原则。