“三个基本事实”快乐导学

■王佩其

“三个基本事实”刻画了平面的性质,是论证立体几何位置关系的基石,是立体几何学习不可忽视的重要内容。

一、把握“三个基本事实”的表述与作用

基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面。作用:一是确定平面;二是证明点、线共面问题;三是判断两个平面重合的依据。

基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。作用:既可判断直线和点是否在平面内,又能说明平面是无限延展的。

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。作用:判断两平面相交的依据;判断点在直线上的依据。

二、证明点、线共面

例1(1)如图1,已知A,B,C,D,E是空间的五个点,且线段CE、AC和BD两两相交,求证:A,B,C,D,E这五个点在同一平面内。

图1

(2)如图2,已知A,B,C,D是空间的四个点,且点A,B,C在同一直线l上,点D不在直线l上。求证:直线AD,BD,CD在同一平面内。

图2

证明：(1)设CE∩BD=M,CA∩BD=N。因为CA∩CE=C,所以CA,CE确定一个平面α。

因为M∈CE,所以M∈α。同理N∈α。所以直线MN即直线BD⊂α,所以B∈α,D∈α。故A,B,C,D,E这五个点在同一平面内。

(2)因为点A,B,C在同一直线l上,点D不在直线l上,所以点A,B,D确定唯一平面α,所以l⊂α。因为C∈l,所以C∈α。

因为A,B,C,D∈α,所以AD⊂α,BD⊂α,CD⊂α,故直线AD,BD,CD在同一平面内。

方法点拨：证明点、线共面问题的两种常用方法:先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即为“纳入法”;先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即为“同一法”。

三、证明点共线、线共点问题

例2(1)如图3,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点在同一条直线上。

图3

图4

证明：(1)已知AB的延长线交平面α于点P,根据基本事实3,平面ABC与平面α必相交于一条直线,设为直线l。

因为P∈直线AB,所以P∈平面ABC。又因为AB∩α=P,所以P∈平面α,所以P是平面ABC与平面α的公共点。

因为平面ABC∩α=l,所以P∈l。同理可得Q∈l,R∈l。

故P,Q,R三点在同一条直线上。

同理,P∈平面BCD。

又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点P。

方法点拨：证明多点共线问题,可证明点分别在两个平面内,再证明点在两个平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上;证明三线共点问题,可先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得三线共点。