巧借“补形”思维，妙解立体几何问题

■孙海鹰

利用“补形”思维这一桥梁,可以使数学的思维方法更加活跃、简捷,应用起来更加灵活、多样,能有效培养同学们思维的灵活性、独创性。利用“补形”思维可以把空间立体几何中的一些不规则形体、不熟悉形体、残缺形体补成相应的规则形体、熟悉形体、完整形体等,对解决问题起到化繁为简、一目了然的作用,使得数学思维更加灵活,数学知识结构更加完整、充实,数学思想方法更加完美。

一、还原补形法

例1为了给数学家帕西奥利的《神圣的比例》画插图,列奥纳多·达·芬奇绘制了一些多面体,图1 所示的多面体就是其中之一。它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分,这个多面体的各棱长均为2,则该多面体外接球的体积为( )。

图1

A.16π B.8π

分析：对于此类空间立体几何中的不规则形体——多面体,直接处理起来有较大的难度,可借助空间几何体的还原补形法,把该多面体进行还原补形为正方体,结合补形前后对应图形中相关元素的位置关系与变化情况,进行合理分析与运算。

解：结合图1,把该多面体进行还原补形为正方体,如图2所示。

图2

点评

还原是回归问题本质的一种逻辑推理方式。在解决一些空间几何体问题中,合理回归,完整地进行还原与补形是解题的关键。在处理空间几何体的还原补形时,要注意回归的简单几何体与“补”上去的小几何体之间要素的联系与图形之间的变化,正确构建相互之间的关系,不要出现添加或遗漏。

二、联系补形法

例2已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为_____。

分析：此类不同空间几何体间(正三棱锥与球)的联系问题,需要进行合理补形,将正三棱锥与球这两种不同的空间几何体联系在一起,使得问题的处理直观易懂,从而便于分析与计算。

解：由于正三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,故以PA,PB,PC为棱补成正方体,如图3所示。

图3

球心O为正方体的体对角线PD的中点,且PO= 3,则正方体的棱长为2。

点评

寻找联系是构建不同数学元素之间的桥梁。在空间立体几何问题中,抓住不同空间几何体之间的联系,合理补形(如三条侧棱两两互相垂直,可补形为正方体或长方体),使得问题更加直观易求。

三、对称补形法

例3如图4所示,在斜截圆柱中,已知圆柱的底面直径为40cm,母线最短与最长的分别为50cm,80cm,则该斜截圆柱的体积V=____。

图4

分析：此类空间几何体中的残缺形体,属于不太规则的空间几何体,直接求解无从下手,可借助空间几何体的几何特征进行合理的对称补形,将题设条件中的斜截圆柱按斜截面吻合对接,补全为一个完整的圆柱,再利用圆柱的体积公式求解。

解：将题设条件中的斜截圆柱按斜截面吻合对接,补全为一个完整的圆柱(即斜截圆柱进行翻转对接)。

点评

对称是数学中的一种重要关系,也是充分展示数学美的一种表现形式。在解决空间几何体问题时,对于一些特殊的残缺形体,要善于发现图形中的对称关系与几何特征,借助相同图形之间的对称补形法进行化归与转化,对空间想象能力的提升很有帮助。

编者的话：“补形”思维解决立体几何问题,是整体思想的一种具体体现,可将不规则的、陌生的、复杂的几何体补成规则的、熟悉的、简单的几何体(如常见的长方体、正方体、平行六面体、圆柱等),在所补成的空间几何体中研究原几何体的有关元素的位置关系、空间角或空间距离的计算等,从而实现问题的顺利解决。这类问题,能全面考查数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验这“四基”的落实情况,以及发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养与提升。

感悟与提高

若三棱锥P-ABC中最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥外接球的体积是_____。

提示:根据题意,可把该三棱锥补成长方体,如图5 所示,则该三棱锥的外接球即为该长方体的外接球。易得外接球的半径,所以该三棱锥外接球的体积

图5