非线性微分方程部分变量的实用稳定性研究

牛晔

摘要：随着运动稳定性理论的发展，部分变量的实用稳定性更能切合实际反映系统的本质，因此研究系统的这一性质具有重要意义。本文将部分变量实用稳定性相关理论推广至带有反馈控制的非线性微分方程。给出系统相应的部分变量实用指数稳定性定义，根据Lyapunov函数建立部分变量实用稳定性的充分条件和判定定理，最后结合具体算例验证结果的有效性。

关键词： -实用指数稳定 Lyapunov函数 反馈控制 非线性微分方程

中图分类号：O175    文献标识码：A

Research of the Practical Stability of Partial Variables of Nonlinear Differential Equations

NIU YE

（School of Mathematics and Computer Science， Shanxi Normal University， Taiyuan， Shanxi Province， 030031 China）

Abstract： With the development of the theory of stability， the practical stability of partial variables can more practical and reflect the essence of the system， so it is of great significance to study this property of the system. This paper promotes the relevant theory of the practical stability of partial variables to nonlinear differential equations with feedback control， gives the definition of the corresponding practical exponential stability of partial variables of the system， establishes sufficient conditions and determination theorems for the practical stability of partial variables according to the Lyapunov function， and finally verifies the validity of results by specific examples.

Key Words：-practical exponential stability; Lyapunov function; Feedback control;  Nonlinear differential equations

1892年，Lyapunov建立了运动稳定性理论并提出了函数直接方法，为动力系统稳定性理论的研究奠定了基础。然而对系统而言，各个变量的性质存在差异，对于某些变量可能是稳定，另一些则可能是不稳定的，也可能有的變量是渐近稳定，有的是指数稳定[1]。因此，基于Lyapunov稳定性理论图密切叶夫等人开始了系统部分状态变量的理论研究[2]。

随着稳定性理论在工程等领域的深入和发展，相继在微分方程的稳定性研究中发现系统的初始状态与理想状态很难达到任意小，而在实际情况中也是不必要的，保持在允许的误差范围内即可，进而建立了实用稳定性理论[3-5]，应用于火箭系统、宇宙装置的飞行等相关问题中。

部分变量的实用稳定性研究的是方程的解的部分变量的稳定性性态，初始状态在某个邻域内而不要求系统有平衡点，该理论在实际中能更好地反映系统的本质[6-8]。然而，目前关于部分变量的实用稳定性研究成果较少，因此本文将部分变量的实用稳定性推广到带有反馈控制的非线性系统中，初始状态在邻域中，给出相应部分变量的实用指数稳定性定义，通过Lyapunov函数建立部分变量全局实用稳定性的充分条件及判定定理，最后给出算例进行结果的验证。

1  預备知识

1.1非线性微分方程

给定主要研究的带有反馈控制的非线性微分方程：

其中，，，。对于，，是上的连续函数。对于，，使得，。其中部分变量的范数定义为：

是状态空间，，，为欧式范数[9]。对于，函数满足，在以为半径的球形邻域，[7]。

1.2相关定义

定义 1   是关于部分变量全局一致实用指数稳定的，，若，，使得对于，，满足：

那么式（1）是在反馈控制下全局一致-实用指数稳定的。

定义2 若严格递增，，称连续函数是类函数。若当，，，称[5]。

定义3[9] 函数是-正定的，若存在使得对于任意的，有，。函数的导数形式如下：

定理1  假设式（1）存在反馈控制和连续函数，，，为类函数，，，存在正实数使得下面不等式成立：

条件1  ，

则式（1）是在下全局一致-实用渐近稳定的，其中。证明过程类似定理2。

定理2  为指数反馈控制，函数，，，存在正实数，，，使得：

条件1  ，

条件2  ，

则式（1）是在下全局一致-实用指数稳定的，其中。

证：由定理2的条件1可知：

根据上述不等式和定理2的条件2得到：

利用微分不等式的求解方法可计算出：

其中：，结合条件1， 得到：

则关于部分变量全局一致实用指数稳定的，式（1）是全局-实用指数稳定的，。

定理3  为指数反馈控制，函数，存在正实数，，，，有如下不等式：

条件1  ，

其中，需满足：，存在实数，。则式（1）是全局一致-实用指数稳定的，其中。

证：根据定理3中条件1可以得到：

结合定理3的条件2，推出：

再由条件1，可得：

结合的不等式，得出：

综上所述，说明是全局一致-实用指数稳定的，那么式（1）是全局一致-实用指数稳定的，，结论即可得证。

3  应用举例

例子：考虑如下带有反馈控制的非线性微分方程：

综上可以得到定理3中相关系数，，，，，符合定理3的条件，说明是全局一致实用指数稳定，那么式（13）是全局一致-实用指数稳定的。

参考文献[1] 蹇继贵，廖晓昕.非线性时变系统的部分指数稳定性分析[J].系统工程与电子技术，2005（2）：304-307.