格林公式成立条件的改进

许 超

（南通职业大学 数学教研室， 江苏 南通 226007）

0 引 言

设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，若函数P（x，y）与Q（x，y）在D 上具有一阶连续偏导数，则有等式

成立，其中C 是D 的正向边界曲线[1]，这就是高等数学中著名的格林公式。

格林公式刻画了平面闭区域上二重积分与边界上曲线积分之间的内在关联，是继牛顿—莱布尼茨公式之后，向高维情形下的高斯公式及斯托克斯公式推广的一个台阶，在数学、物理等多个领域有着广泛应用[2]。

要求P（x，y）与Q（x，y）在包含了边界曲线C的整个闭区域D 上偏导数连续，这是一个很强的条件，限制了格林公式的适用范围。事实上，该条件又是非必要的，所以存在一定的改进空间。本文通过从D 的边界到内部逐步减弱条件，尝试拓宽格林公式（1）成立的范围，以期在理论上得到一定改进，同时也为格林公式的教学提供更多具有拓展性和启发性的范例。

1 基本思路

格林公式（1）成立的前提是等号的两端都可积。左端曲线积分的存在只需要“P 与Q 在C 上连续”即可，甚至还可减弱到“在C 上有界且除有限个点外处处连续”。这样去除D 在边界C 上的可导性，右端为广义重积分[3]，即通过内含区域逐步逼近区域D 来实现的重积分[4]。如果式（1）右端的广义重积分收敛，格林公式仍成立，进一步在D 的内部，利用零面积集上任何二重积分均为零的性质[5]，还可将条件降低为“在D 内除有限个点及有限条是零面积集的曲线外偏导数连续”。这里，零面积集指一个平面点集K，对任意ε ＞0，存在有限个闭矩形I（i1≤i≤m），使得并有，这里σ（I）i是闭矩形Ii的面积。显然，由有限个点及有限条零面积曲线组成的点集是零面积集。

如果在闭区域D 上P（x，y）与Q（x，y）不满足偏导数连续条件的点集是零面积集K，由于，则有dxdy。

2 基本事实

首先将（1）式左端曲线积分的可积条件降低为被积函数连续，右端则变成收敛的广义重积分，这时有：

引理1 设开区域D 由分段光滑的闭曲线C围成，若

Ⅰ.区域D 内存在一点M（a，b），使M 点出发的任一射线与边界C 的交点有且仅有一个；

成立。其中曲线积分取闭曲线C 的正向。

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证明设闭曲线C 的方程为x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β，函数φ（t）和ψ（t）有连续导数。作闭曲线c（λ），其方程为

显然，λ=0 时，x（t，0）= φ（t），y（t，0）= ψ（t）；0 ＜λ≤1 时，对每一个t∈[α，β]，曲线c（λ）上的点恰处于M 点和曲线C 相应点的连线段上，因而由条件Ⅰ，曲线c（λ）完全落在区域D 内，设其所围区域为D（λ）。当λ→0 时，区域D（λ）扩展而趋于区域D 内，由条件Ⅲ

在区域为D（λ）上可以应用格林公式（1），同时利用曲线c（λ）的方程，有

式（3）右端是含参变量λ 的定积分，由函数φ（t）、ψ（t）的连续可导性及P、Q 的连续性知，被积函数在α≤t≤β，0 ≤λ≤1 时连续，因此该积分关于λ 连续。在式（3）中令λ→0，可得

上式右端的定积分恰等于式（2）左端的曲线积分。

当曲线C 分段光滑，即函数φ（t）、ψ（t）分段有连续导数时，式（3）可化为分段积分，取极限后仍得格林公式。证毕。

如果区域D 不是满足条件Ⅰ的简单区域，则可引进几条辅助线将D 分成有限个简单的部分区域，在每个区域上应用公式（2），然后相加，仍能证得结论。可见格林公式（2）对复杂区域也成立。

引理2 设开区域D 由分段光滑的闭曲线C围成，函数P（x，y）、Q（x，y）在=DUC 上连续。在D 内除有限个点及有限条零面积曲线外，具有一阶连续偏导数，则当式（2）右端的广义重积分收敛时，格林公式（2）成立。

证明在D 内作一条或数条曲线，使这些曲线经过所有的不可导点，这些曲线将D 分成有限个部分区域。由于不具有一阶连续偏导数的点集均为零面积集，所以在各部分区域上均可分别应用格林公式（2），然后相加即可得证。证毕。

3 主要结论

在上述两个引理的基础上，进一步放宽要求P（x，y）、Q（x，y）在边界曲线连续的条件，得到了本文的主要结论。

定理3 设开区域D 由分段光滑的闭曲线C围成，函数P（x，y）、Q（x，y）在= DUC 上有界并且除有限个点外连续，在D 内除有限个点及有限条零面积曲线外具有连续的一阶偏导数，则当式（2）右端的广义重积分收敛时，格林公式（2）成立。

证明只考虑在一个点M（a，b）处不连续。对于多个点不连续，可以类似证明。当M 在区域D内时，以M 为圆心作圆C（ε）：x = a + εcos t，y = b +εsint，0 ≤t≤2π，半径ε 充分小使该圆完全包含在D 内，设区域D 挖去圆域后得区域D（ε）。对D（ε）应用格林公式得

即可得到式（2）。现在证明式（4）。

ε→0 时，上式右端趋于零，式（4）成立。

当不连续点M 在边界C 上时，同样在D 内挖去圆域，这时曲线C（ε）表示圆在D 内的部分。显然，估计式中的积分区间变小，因而估计式仍成立。当然这时公式（2）左端是广义的曲线积分，可以通过曲线上点的逼近来实现。证毕。

从定理3 的证明中看出，函数P、Q 的有界性条件，可以用式（4）来代替，而且式中的曲线C（ε）不必是圆，只要向M 点无限收缩即可。

4 结 语

格林公式在数学和力学等多个领域有着广泛的应用，尽量减少对使得公式成立的条件限制，显然有助于扩大其应用范围。本文对函数P、Q 的条件作了一定的改进。需要注意的是，本文的引理和定理都要求式（2）右端的广义重积分收敛或者被积函数有界，这个条件是不能去除的。此外，对曲线C 的形状与光滑性都不必有所限制，只要C 是可求长的闭曲线，格林公式便成立，这说明使得格林公式成立的条件还有一定的改进空间。

格林公式是大多本科理工专业高等数学教学的重要内容。引导学生尝试改进一些类似于格林公式等定理成立的条件，寻找不满足条件的反例，对培养他们拓展性思维和探索精神都是有益的。