三变量等幂和对称式组三题

张在明，张凌峰

（1.玉溪师范学院，云南 玉溪 653100；2.云南师范大学 实验中学，云南 昆明 650000）

1 关于盖尔方德恒等式

1953 年苏联科学院院士盖尔方德（1906-1968）曾指出，对于，以下等式恒成立：

由于介绍过于简略，让读者不知来龙去脉，70 年来，对于恒等式（1），颇有“前不见古人，后不见来者”的感叹.

近年来，笔者通过研究，对式（1）有了一点心得和发现.

首先，用对称的角度来研究，等式两边的代数式都是对称的，对称中心的代数式就是，从而可以考虑下列式组：

为了以后对比的需要且不影响问题的实质，将（2）变成（3）

再取C为c+2b（！）：

对于（4），计算后得

以及

从而，G,H是“跨层相等”式组

为5 次等幂和对称式组，对照恒等式（1）有下列恒等式（8）与之等价，仍旧叫做盖尔方德恒等式：

按照惯例，这时有

有意思的是，与（4）式相伴，下列式组：

也可组成5 次等幂和对称式组：

实事上，这时

其相应恒等式为

想到恒等式（1），孤身只影70 年，而今有了（8）与（12），恰好可以引用北宋词人晏几道（约1038～约1106）的名句来咀嚼回味：“落花人独立，微雨燕双飞”.

2 幻方与5 次等幂和

2000 年12 月，湖北南方城乡建筑学校李渺老师发现一个7 阶5 次特优完美幻方，见图1（1）.不久，其又提供第2 个特优完美幻方，见图1（2）.

其对角线上的数组成5 次等幂和数组

以及

将此数组对称化（同时减去对称中心数25）得到（只写半组）：

以及

发现1：它们都是“跨层（2，4）相等”数组

发现2:（16）数组依次相应加上1，2，3，便是（15）

发现3：前两数之和等于末位数.

于是猜想，有下列“跨层相等”式组：

或简化成（令C=-3b+c，代入（17），再将C1换成C）:

事实上，对（18）有

若将（18）作点改变，即

这时有

因此（18）（20）都可以构成5 次等幂和对称式组！

有趣的是，据我国著名科普作家、娱乐数学专家谈祥柏老先生介绍，“跨层相等”数组

还是一位叫戈德曼的外国人偶然发现的，他受到了赞扬后还说：“你们能找出第二个例子吗？”

从前面的介绍可以看出，李渺老师将两个7 阶完美幻方中找到5 次等幂和对称数组，不仅开启了我国幻方研究者对等幂和数组的关注，也找到了“跨层相等”的用处，沟通两者的关联.

应该说，从2000 年12 月31 日到2003 年4 月10 日短短不到3 年的时间里，高次特优完美幻方的研究就取得了骄人的成果.

3 李文13 阶7 次等幂和数组的推广

2002 年3 月15 日，李文老师给出13 阶7 次特优完美幻方，其对角线数组为7 次等幂和数组：

（只写出数组的一半）.

由于对称，将（22）各项减去85 后得：

根据（23），可得“跨层相等”式组

在（24）中以 -6b+C代替C，最后得

并称（25）为“跨层相等”的标准式组.

（24）（25）中C的系数太漂亮了，可能是得益于13 阶完美对称幻方的数字结构！对于式组（25），经计算得

这样一来，有3 变量7 次等幂和式组

按照习惯记法，得

若取a=85 ，b=1 ，c=6 ，根据（5）（6）（7）（9）可得，，，……，这正是李文老师的结果.

趁此机会，再介绍一系列C的系数，皆为1，2，3……的“跨层相等”的式组.

与6式比较一下！

王青建主编《数学开心辞典》第25 页介绍金蝉脱壳等式：

k=1，2.加变量得

k=1，2，

显而易见（2*）式比（1*）式更进了一步.

又一组3 次等幂和式组

9 变量3 次等幂和对称式组

设

这样的等幂和代数式组，还可以继续做下去，取材于23，29，47，64，65 阶特优完美幻方的对角线数组.事实上，本文中的十多例“跨层相等”式组正是使用曹陵老师专著《幻方再论》（香港天马图书有限公司2003 年12 月31 日出版）一书中介绍的诸如李渺，李文，苏茂挺，丁伟明以及曹陵关于高次特优完美幻方的研究成果，笔者将有关等幂和数组，基于对称性，推广成3 变量的等幂和代数式组，实现了从一数组到无穷多数组的飞跃.遗憾的是，目前对二十阶以上的特优完美幻方的工作还有待进行，因此本文更多的是起到一个抛砖引玉的作用.