隐函数求导方法探索

杨 雄，袁新全

（娄底职业技术学院，湖南 数底 417000）

求导是高等数学教学中的主要内容之一，其中隐函数求导是导数中的难点内容，为了便于对隐函数求导的理解，首先阐释一元隐函数的求导的方法，然后推广到多元隐函数求导的情况，并且得出相应的隐函数求导公式，同时应用实际案例对隐函数的求导公式进行应用探索.

1 隐函数的定义及其求导方法

（2）把隐函数看作方程，方程左右两端对x求导（求导时注意y是关于x的函数），可得到关于导数y'(x) 的方程，进行解方程即可求出函数的导数y'(x) .或者在多元函数中方程两端求偏导，再解方程求出偏导数.

（3）将x,y看作两个“平等地位”的变量，利用一元微分或多元函数全微分的形式不变性，在等式或两端同时取微分，一元微分得到关于dy与dx的等式，把导数看作微商即可求出y'(x) ，多元函数求出全微分等式，类比dx前的因子是x的偏导数，dy前的因子是y的偏导数.

2 一元隐函数求导法则

2.1 一元隐函数的求导公式

隐函数存在定理1[2]设函数F(x,y) 在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数它满足条件并有

如果F(x,y) 的二阶偏导数也都连续，可以把（1）式的两端看作x的复合函数而再求一次导数，则有一元隐函数的二阶导数公式

案例1求隐函数的导数.

方法一用复合函数求导法则求解隐函数的导数.

解直接用复合函数求导法则，有

分析在此求导过程中一定注意，y是关于x的函数，即比如求的导数，应该是2yy'，而不是2y，等式两边求导后相当于解一元一次方程即可求出导数，当然求出的导函数还是一个隐函数.

方法二用等式两端求微分的方法求解隐函数的导数.

解方程两边取微分，则有

分析等式两端求微分，求解过程用到一元微分的形式不变性，其实质用然后把等式两端的dx约去，得到关于y'的方程，解方程即得导数.

方法三直接应用定理1 中的（1）式求解.

分析直接用定理1 求解，隐函数要变到的形式，然后分别对F(x,y) 求偏导数，当x求偏导数时，y看作常数，当对y求偏导数时，x看作常数，其他与一元函数求导法则、求导公式一样.

2.2 一元隐函数的其他求导方法分析

2.2.1 用复合函数求导法则求解隐函数的导数

案例2设其中f二阶可导，且其一阶导数不等于1，求

解等式两端对x求导，则有，即

对上式两边再对x求导，可得进而有将y'代入上式，有

分析在求此类函数的导数时，一注意y是关于x的函数，二要注意复合函数的求导法则，不能丢掉内函数的导数，三要注意一直用方程两端求导，求导过程中不要先求出一阶导数y'，再对一阶导数等式两端求导，这样变成了一个分数函数求导，继续求高阶导数会变复杂，只要最后把y'代入即可.

2.2.2 用对数求导法求解隐函数的导数

案例3求隐函数xy=yx的导数.

解对等式两端取对数，则有

分析如果等式中含有幂指函数，一般用到对数求导法，先等式两边取对数，并一般需要先通过相应的对数运算，然后等式两边求导数即可.当然有时可以转换成e的指数形式，再用复合函数求导，如此题可转换成.

2.2.3 用等式两边求微分的方法求解隐函数的导数

案例4求隐函数cos(xy)=x3y3的导数.

解对等式两端求微分，则有

分析此解法与例1 中的解法二是有区别的，例1 中用到的是一元函数的微分公式，这里用到的二元函数的全微分公式，即，实质是等式两边求全微分.

2.2.4 用变量代换求解隐函数的导数

案例5设函数y=y(x)由方程确定，求

解将方程改写为进行变量代换，设u=y2lnx，则有

对x求导，可得，即

分析：解此类题，在解题过程中加强观察，可能会找到简便的解法，当然观察的能力来自于平时的积累，因此，对一些解题的方法和技巧要平时多积累.

2.2.5 求一元隐函数的导数值

案例6设y=y(x)由方程y-xey= 1确定，求的值[4].

解方程两端求导可得

以上方程两边再对x求导可得

由已知方程及x=0 得y(0) =1 ，再由方程得y'(0)=e，将它们代入以上方程得

分析若要求任意点x处的二阶导数，在求解得到二阶导之后，应将一阶导数y'的表达式代入含有和的方程中，把消除；在隐函数求导过程中，通过一次求导，求得关于一阶导数y'的方程，若能用原方程将含有一阶导数的方程化简的，应代入化简，这方便于进一步求二阶导数y''.

3 多元隐函数的求导法则

隐函数存在定理2[2]设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数它满足条件并有

案例7已知求

方法一相似案例1 中方法一，用复合函数求导方法，即方程两端对x求偏导，则有解得

方法二相似案例1 中方法二，对方程两端取全微分，则有

2xdx+2ydy+2zdz-4dz= 0，解得进而有

方法三应用公式（3）求解，设则有

Fx=2x,Fz= 2z- 4，所以

分析方法一对x求偏导时，y是常数，z是关于x和y的函数；方法二是求出全微分，然后比较dx前的因子是x的偏导数；方法三对x求导时，y和z都是常数，对z求导时，x和y是常数.如果弄清楚谁是变量，谁是常数，求导就变容易了.

4 方程组给出的隐函数的求导法则

隐函数存在定理3[5]设在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：

案例8已知求

方法一直接应用公式（4）计算.

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv- 1，则有

方法二利用复合函数的求导法则计算，因为方程的两端对x求导可得若则有

同样的方法方程两端对y求导，可求出

方法三方程两端取全微分，则有

在隐函数求导的教学过程中，通过从一元隐函数的求导方法，拓展到多元隐函数的求导方法，降低了隐函数求导的难度，进而引导学生积极参与思考，促进学生多途径、多角度思考问题的能力，并且在知识的深度和广度上得到充分挖掘.