基于APOS理论的高中数学概念教学

栾兆辉

(龙口市第一中学东校,山东烟台,265701)

一、引言

概念教学是高中数学教学的重要环节。当前部分高中数学概念教学存在教学方法单一、学生缺乏兴趣、教学效果不理想等问题。这些问题严重影响了学生的学习效果和数学能力的发展。因此,对高中数学概念教学进行改革和创新迫在眉睫。APOS(action,process,object,schema)理论是一种新的数学教育理论,它认为学生学习数学概念的过程是由心理认知结构的变化所决定的。APOS理论强调学生在学习数学概念时需要经历一系列的心理认知过程,这种理论为高中数学概念教学提供了新的视角和思路。本研究旨在探讨基于APOS理论的高中数学概念教学的实践应用及效果,希望基于APOS理论的数学概念教学能在一定程度上提高学生的数学概念学习兴趣,加强学生对数学概念的理解和掌握,提高教学效果。

二、概念意义

(一)APOS理论概述

APOS理论是杜宾斯在20世纪80年代提出的关于数学概念教学的理论,是对皮亚杰提出的数学学习反思抽象理论的进一步拓展。[1]该理论认为,学生在学习数学概念的过程中必须经过一系列的心理建构,包括操作阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段,才能形成完整的数学概念。操作阶段是指学生通过实际操作,感受概念的实际意义;过程阶段是指学生通过思维过程,理解概念的形成过程;对象阶段是指学生将概念作为一个独立的对象,能够在头脑中形成清晰的数学概念;图式阶段是指学生将概念与其他知识联系起来,从而构建丰富的知识网络。APOS理论强调通过操作和探究生成数学概念,结合已有的知识经验用积极的思维活动获得数学概念,通过对概念进行准确的定义,形成心理图式,构建起自身的数学知识结构。[2]总之,APOS理论基于实践的教育理论,旨在帮助学生通过主动构建深入理解概念。通过活动、过程、对象和结构的引导,学生可以在实践中探索、思考和归纳,不断提高自己的学习能力。同时,APOS理论也可以为教师提供有效的教学策略和方法,提高教学质量。

(二)在高中数学概念教学中应用APOS理论的重要意义

第一,APOS理论强调学生的自我操作和体验,通过自主探究和发现,学生从被动接受转变为主动参与,学生的求知欲和自信心会有效提升,学习动机和积极性提高。第二,APOS理论强调过程性,要求学生逐步思考和理解数学概念,从概念的背景和定义出发,经历数学概念的抽象过程。这有助于学生深入理解数学概念的本质和内涵,提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。第三,APOS理论强调对象性,即将数学概念作为一个对象进行研究和探讨。这有助于学生明确数学概念的地位和作用,更好地掌握数学知识的体系和结构,提高他们的数学应用能力。第四,APOS理论还可为教师提供新的教学思路和方法,帮助教师更好地理解和把握学生的学习过程和需求,从而制定更有效的教学策略,提高教学质量和效果。

三、具体策略

不同知识点的相关性、相似性要素可以组成一个数学概念的内涵与外延。[3]研究表明,APOS理论可以为高中数学教师提供概念教学实践的指导,使教师能够更好地把握教学节奏,更高效地引导学生进行自我处理和建构,提高概念教学质量。结合已有研究,在高中数学概念教学中应用APOS理论,可按照以下具体策略进行。

(一)操作阶段

操作阶段是帮助学生理解数学概念的关键步骤。这个阶段的设计应关注学生学习兴趣的激发,帮助学生进行观察、归纳、演绎、推理等学习活动。首先,问题情境的设计是操作阶段的重要部分,生动的教学情境能够引起学生的学习兴趣,激发学生主动思考。例如,教师在教授“指数函数”这个概念时,可以提供一张细胞分裂的图片,让学生观察细胞的个数和时间的函数关系,进而引入指数函数的概念。其次,观察和归纳是操作阶段的重要技能。教师可通过具体的例子,引导学生观察和分析,归纳出数学概念的特征。例如,在教授“等差数列”这个概念时,教师可给出一些具体的等差数列,让学生观察并总结这些数列的规律,进而理解等差数列的概念。最后,演绎和推理是操作阶段的更高层次技能。教师可通过问题解决的方式,引导学生进行演绎和推理,从而使学生深入理解数学概念。例如,教授“不等式”这个概念时,教师可通过一些不等式的例子,让学生进行推理和证明,进而理解不等式的性质和证明方法。

(二)过程阶段

在过程阶段,高中数学教师应引发学生一系列的思维活动,引导学生逐步理解数学概念的形成过程。例如,教授“极限”这个概念时,教师可引导学生思考一些无限趋近于某个数值的例子,让学生理解极限的概念,以及极限在数学中的意义和作用。首先,教师可以向学生展示一些极限的例子,如一个圆形的半径逐渐趋近于一个点,或者一个物体在运动中逐渐趋近一个极限位置。通过这些例子,学生可较为直观地感受极限的概念。其次,教师可引导学生思考一些抽象的问题。例如,可以让学生思考一个数列的极限,这个数列由一些数字组成,当这些数字逐渐趋近于某个值时,这个值就是这个数列的极限。通过解决这些问题,学生可深入理解极限的概念和极限在数学中的应用。最后,学生可通过一些数学练习题加深理解,更好地掌握极限这个数学概念,并在实际问题中进行应用。

(三)对象阶段

在对象阶段,教师需要有的放矢地引导学生将数学概念作为一个独立的对象进行思考和运用。例如,教授“导数”这个概念时,教师可引导学生掌握导数的定义、性质、应用等知识,从而能够熟练地运用导数解决一些数学问题。第一,学生需要理解导数的定义,即函数在某一点的变化率。第二,学生需要掌握导数的性质,如可导必连续、连续不一定可导等。第三,学生需要知道导数在数学问题中的应用,如求切线斜率、求最大值或最小值等。在掌握这些知识后,学生就能够更好地理解和应用导数这个数学概念。此外,教师还需通过大量的实例帮助学生理解和应用导数,如速度公式、路程公式等。通过这些实例,学生能够更好地理解导数的应用,并能将其应用到实际生活中。除以上提到的一些重点内容外,教授导数这个概念时,教师还可以引导学生从以下几个方面深入理解和学会应用导数。第一,函数的变化率。教师可讲授函数在某一点的变化率,引导掌握导数的概念和具体应用策略。例如,教师可引导学生寻找身边的函数变化率,如气温随时间的变化、物体运动的速度等。第二,导数的几何意义。教师通过计算函数的导数,帮助学生掌握曲线的斜率变化规律,使学生更好地理解函数的图象和性质。第三,导数在物理中的应用。教师可通过物理实验引导学生理解和应用导数。例如,通过计算物体的运动速度或热传导等物理问题,学生可以更好地理解导数的几何意义和应用。

(四)图式阶段

在图式阶段,教师应引导学生将数学概念形成一个完整的认知图式,这有助于学生更好地理解和应用这些概念。例如,在教授“三角函数”这个概念时,教师可引导学生将三角函数的定义、周期性、奇偶性、振幅、相位等知识点构建成一个认知图式,从而更好地掌握和应用三角函数的概念。第一,让学生了解三角函数的定义。三角函数是描述周期性现象的重要数学工具,可用来表示周期性运动的位移、速度和时间之间的关系。例如,正弦函数可以表示一个周期性运动的位移随时间的变化关系,余弦函数可以表示一个周期性运动的速度随时间的变化关系。第二,让学生了解三角函数的周期性。三角函数具有周期性,即在一个周期内,函数的取值是重复出现的。例如,正弦函数和余弦函数的取值都以2π为周期。第三,让学生了解三角函数的奇偶性。三角函数具有奇偶性,即在一个周期内,函数的取值是奇数还是偶数。例如,正弦函数和余弦函数的取值都是偶数。第四,让学生了解三角函数的振幅和相位。三角函数具有振幅和相位,即在一个周期内,函数的取值的大小和初始位置。例如,正弦函数和余弦函数的取值都是以振幅和相位为参数的。第五,让学生将以上知识点整合成一个认知图式,从而更好地掌握和应用三角函数的概念。例如,教师可让学生画出正弦函数和余弦函数的图象,并观察它们的周期性、奇偶性和振幅等性质。

四、注意事项

APOS理论操作性强,可以指导教师设计符合学生认知规律的探究活动,帮助学生对概念学习进行自主探究。[4]然而,如何将其有效地应用于实际教学,还需进一步探讨和研究。为提升实际应用成效,具体践行过程中还应着重注意把握以下三点问题。

(一)重视概念的形成阶段

APOS理论认为,概念的形成阶段是概念教学的基础和前提,能够促进之后的数学学习。因此,教师需要重视概念的形成阶段,引导学生能够通过自主学习思考和解决问题,使学生获得学习数学的自豪感。在概念形成阶段,教师需要鼓励学生勇于面对问题,敢于质疑,通过分析和探索,逐步理解和认识数学概念。这样不仅可让学生掌握数学知识,还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力。在概念教学中,教师可设计一些具有挑战性的问题,引导学生进行思考和探索,提高学习数学的积极性。此外,教师还可通过一些数学活动,如数学实验、数学建模等,让学生在实际操作中体验数学概念的形成和应用,更好地理解和掌握数学知识。

(二)强调学生的主体作用

在高中数学概念教学中,教师需以学生为中心,引导学生进行自主学习和探索,让学生主动参与概念的形成过程。首先,教师需了解学生的认知水平和兴趣爱好,以便更好地引导学生进行自主学习。教师可根据学生的实际情况,设计出适合学生的教学方案,让学生在轻松愉快的氛围中学习。其次,教师需引导学生进行自主学习和探索。教师可让学生通过自己的操作、过程、对象和图示学习概念,让学生主动参与到概念的形成过程中。例如,在讲解三角函数的概念时,教师可引导学生主动测量教室的长度、高度、宽度等数据,计算出三角函数的值,从而更好地理解三角函数的概念。最后,教师需给予学生反馈和评价。教师可根据学生的表现,适当地表扬和鼓励学生,让学生感受到教师的认可和肯定,提高学生的自信心和学习积极性。

(三)注重概念的应用阶段

教师需要注重概念的应用阶段,通过引导学生解决实际问题,让学生更好地理解和掌握高中数学概念,提高其数学应用能力。在概念的应用阶段,教师可采取以下措施。第一,创设问题情境。教师可根据所学概念,创设相应的问题情境,让学生在实际问题中应用所学概念。例如,在学习“函数的单调性”时,教师可让学生通过观察函数图象,分析函数在某一区间内的单调性,从而解决实际问题。第二,引导学生探究。教师需注重学生的探究过程,引导学生自主探究问题的解决方法。例如,在学习“三角函数的图象”时,可让学生通过观察三角函数的图象,探究三角函数的性质,从而解决实际问题。第三,帮助学生总结。教师需要帮助学生总结所学知识,形成知识体系。例如,在学习“导数的应用”时,可让学生总结导数的应用范围、导数的计算方法,以及导数在解决实际问题中的应用等,从而更好地掌握所学知识。

五、结语

在高中数学概念教学中应用APOS理论具有重要意义。通过APOS理论的应用,学生可以更好地理解数学概念,提高数学能力和素养。因此,教师在具体的概念教学过程中,应注重操作阶段、过程阶段、对象阶段及图式阶段,采用丰富的教学方法。除此之外,在数学概念教学中应用APOS理论时,还需要重视概念的形成阶段,强调学生的主体作用,注重概念的应用阶段,更好地促进学生的数学学习,提高其数学能力和素养。将APOS理论应用于数学概念教学,需要教师在实际教学中进行深入研究和探索,根据具体的教学内容和学生的实际情况灵活运用,以达到更好的教学效果。同时,教师也需要对学生进行适当的引导和鼓励,激发他们的学习热情和主动性,推动学生在数学学习中的全面发展。