优化数学思维 简化解几运算——以2022年新高考数学II卷第21题为例

何文昌 (福建省福清第三中学 350315)

念 杰 (福建省福清三山中学 350318)

解析几何是考查学生数学思维水平和运算能力高低的重要载体之一,而用代数手段研究几何问题是解析几何的本质所在．求解平面解析几何问题的过程是把几何对象及关系代数化,通过数学运算获得几何结论．但有些解几问题的求解过程技巧性强、运算繁杂,学生不知往哪儿算、怎么算．本文以2022年新高考数学II卷第21题为例,分析简化解几运算的策略,以期突破思维难点,发展学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象和数学运算等核心素养[1]．

1 试题呈现

(1)求双曲线C的方程;

①M在AB上;②PQ∥AB;③MA=MB．

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分．

2 试题分析

本题是全国卷首次出现的解析几何结构不良试题,要求从三个条件中选取两个作为条件,证明另外一个成立,三种选择方案都能解答．本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、直线与双曲线的位置关系;考查逻辑推理、运算求解、抽象概括能力;考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想;考查直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养;体现基础性、综合性与创新性.

3 优化数学思维,简化解几运算

本题结构新颖,入口宽,解法多．关键是如何对条件和待证结论进行代数化,从而展开运算、论证．由于学生对条件①③中出现的弦的中点较为熟悉,下面先对由条件①③证明②进行分析．

3.1 整合两种曲线方程,简化解几运算

评析方法1沿用惯性思维,分别把直线和两条渐近线的方程联立,运算繁杂,耗时长;方法2立足于方程思想,把渐近线方程整合成3x2-y2=0后,只需要解一个方程组,运算简洁明了．一般地,把曲线C1:f(x,y)=0(x∈D,y∈E)和C2:g(x,y)=0(x∈D,y∈E)上的所有点组成的曲线方程整合为方程f(x,y)·g(x,y)=0(x∈D,y∈E),有利于简化运算．

3.2 合理引参设而不求,简化解几运算

对P,Q,M关系的分析:

评析引入参数后,点P,Q,M的坐标很难求解．法2立足于设而不求思想,使用点差法建立P,Q,M的坐标满足的关系式,整体代换后得到kPQkOM=3,有效地降低了运算量．点差法是设而不求的典型应用,从上述解法可知点差法不仅仅局限于解决中点弦问题．

3.3 充分挖掘几何性质,简化解几运算

由①②证③:如图1所示,设直线PQ与两条渐近线分别交于点P1,Q1．直线PM,QM的斜率分别与两条渐近线的斜率相同,所以PM,QM分别与两条渐近线平行,则四边形P1QMA,PQ1BM是平行四边形,P1Q=MA,PQ1=MB．要证MA=MB,即证P1Q=PQ1,即证P1Q1的中点是PQ的中点．设P1(x5,y5),Q1(x6,y6),即证y1+y2=y5+y6.

图1

评析该解法运用了平面几何中的定理和性质,得出四边形P1QMA,PQ1BM都是平行四边形,于是把证明MA=MB转化为证明弦P1Q1和PQ的中点相同,再转化为证明两个方程两根之和相等．该解法立足于数形结合思想和化归与转化思想,对平面几何图形特征和性质挖掘得很充分,从而有效地降低了运算量,使问题迎刃而解．

4 体悟与应用

由②③证①:由kABkOM1=3,kPQkOM=3和PQ∥AB,得kOM1=kOM,所以O,M,M1共线,又因为MA=MB,所以M在AB的垂直平分线上,故M和M1重合,①得证．

由①②证③、由①③证②也很迅速顺畅,证明过程略．

评析3.2节中法1和法2的运算量较大．上述解法整合了直线PM与直线QM的方程,对M设而不求,对kPQ整体代换,同时挖掘出O,M,M1共线的几何性质,三管齐下,证明过程快捷流畅．

5 结束语

解析几何问题的思维量和运算量大,而许多学生的运算素养没有达到或者只能达到水平一的要求,因此教师在教学过程中应着力于简化运算．教师要引导学生加强对相关试题的研究,重视二级结论的理解、记忆与运用,积极寻找解题的突破口,从而简化运算,提高求解速度.教师要研究解几试题的立意背景,引领学生在充分理解题意的基础上运用平面几何中的定理和性质,挖掘几何对象的特征和隐含条件,实现运算的简化．

解析几何问题的综合性很强,对学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象和数学运算等核心素养提出了较高的要求．学生要学好解析几何,除了要掌握数学必备知识和基本技能,还需要有良好的数学思维、数学学习品质和较强的综合能力[2]．在解析几何的教学过程中,教师应站在数学思想的高度优化学生的数学思维,实现学生关键能力和核心素养的提升．