比较新、旧教材差异 强化学科思维训练——以“幂函数”教学设计为例*

胡腊婷 (江苏省常州市龙城高级中学 213003)

基于新课标、新高考、新教材这三新背景,高中开始如火如荼地展开了课堂教学改革.众所周知,教材是教学的基本资料,因此,对比旧教材,研读新教材,将课改理念向教学行为转化迫在眉睫.

作为基本初等函数之一,幂函数在高中数学学习中有着重要的地位.幂函数的学习与研究过程,不仅可以提高学生的数学思维,还可以培养学生的数学核心素养,渗透素质教育理念.而这次教材改编,针对“幂函数”进行了很大的改动.笔者在此通过回顾和梳理新、旧苏教版高中数学“幂函数”部分内容的差异,归纳其变化的特点,分享对“幂函数”教学设计的一点思考.

1 幂函数的文本内容分析

1.1 新、旧教材的编排顺序

苏教版(2019版)新教材将“幂函数”编排在第六章《幂函数、指数函数、对数函数》的第一节,而苏教版(2004版)教材则是编排在第三章《指数函数、对数函数和幂函数》的第三节.区别于以前的“指对幂”,新教材选择最先研究幂函数的概念和图象性质.事实上,幂函数的教学中常常由初中时的一次函数、二次函数和反比例函数引入,对比新知识——指数函数无疑更易让学生接受,并且在进行幂函数的概念教学时常与指数函数对比,这也为下一节内容作了铺垫.因此,这个顺序的微调,不仅起到了非常好的承上启下的衔接作用,还更符合学生的认知习惯.

1.2 新、旧教材的内容变动

新教材的主体内容部分较之旧教材,有很大的改动和增加.

第一,在情境引入部分,虽然两版教材都由实际问题入手构建数学模型,但是旧教材得出的函数解析式并不是幂函数,而是与幂函数有关,这容易造成概念混淆.而新教材设置的三个情境则更为精准贴切.

第二,在段落衔接部分,与旧教材相比,新教材不仅在情境引入与具体概念之间添加了一些问答,总结了幂函数的形式特征,还在概念与例题之间添加了一句话过渡——结合第五章讨论的函数的基本内容,来认识一些幂函数的性质.这些改编使得新教材在编写上更为全面细致,不仅有利于教师授课,也有利于学生自主学习.

第三,在例题设置部分,旧教材只有一个例题,写出函数的定义域并指出奇偶性.而新教材添加了一个例2——比较各组数的大小,在研究得出幂函数的单调性特征后,应用相关结论解题,体现出研究幂函数性质的价值和意义.

2 幂函数的教学过程设计

基于上述新、旧教材中“幂函数”内容的对比,一线教师更关注如何利用新教材优化教学设计.幂函数的教学重、难点在于绘制具体的幂函数图象,并能通过观察发现图象的变化规律,由此归纳总结出一般的幂函数的共性特征.教学过程以培养学生数学思维为主要目标,突出课堂中学生的主体地位及教师的主导地位.以下介绍具体的教学过程设计.

2.1 创设情境,生成概念

在白板上投影5个函数模型,请学生求下列函数关系式.

(1)如果小红购买1元/kg的蔬菜w千克,那么她需要支付全额p=w元;

(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2;

(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;

学生快速回答了以上几个函数的解析式.

师:请同学们归纳总结这5个关系式的共同特征．考虑到这些解析式的字母稍显繁杂,我们不妨将全部函数解析式统一至我们常见的用x表示y的函数关系式.

生1:它们都是y=xα的形式.

师:这位同学精简地总结了它们的形式特征,非常好!还有没有别的想法呢?我们可以观察它的系数、指数等方面的特征.

生2:系数都是1,指数是常数,底数都是x这个变量.

师:这位同学从三个角度总结得很到位.这种形如y=xα的函数,我们称为幂函数,其中x为自变量,α为常数.幂函数的特征为:①xα的系数为1; ②xα的底数为自变量;③xα的指数为常数.

设计意图新教材中的3个例子虽较之旧版更精确,但都以整数为指数,是一个明显的不足.为了不让学生产生误解,笔者在创设情境时选取了新人教版教材中的这5个例子,既能让学生感悟数学源于生活,也能更好地实现初、高中的衔接过渡.

2.2 探究新知,建构图象

师:请同学们结合第五章讨论的函数的基本内容,思考如何研究幂函数.

生3:研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和图象.

有些学生直接用手比划了这三个函数的图象,还有一部分学生脱口而出“描点作图”.

师:描点作图虽简单易操作,但也有缺点:为了使得函数图象更精准,描点越多越好,但这会导致计算量有可能比较大.我刚刚在巡视的过程中,发现有些同学帮我们优化了描点作图法.

生4:利用函数的奇偶性.譬如y=x3是奇函数,绘制了(0,+∞)的图象后再作关于原点对称的图象.

(教师在巡视过程中,发现有些学生画图时没有考虑到定义域和渐近线.)

师(投影展示两幅图):请同学们思考,究竟哪个图象是正确的?

设计意图根据新教材,对于幂函数图象的绘制,不仅限于指数α>0,在指数α<0时,绘制幂函数图象除了要关注定义域,还需注意到函数具有渐近线.这一环节无疑是本节课的一个难点.但是数学教学的本质是思维的教学,笔者引导学生发现绘制一个新函数图象的易错点和注意点,思考如何优化绘图方法,进而领会函数的图象与性质的相辅相成,感悟数与形内在的联系.

2.3 归纳概括,总结性质

师:由这6个典型的幂函数模型,我们发现幂函数图象根据指数与0的大小关系可分成两大类.这里我们利用希沃自带的软件来插入几个常见的幂函数图象(图1、图2).

图1 图2

学生小组讨论时,教师在教室内巡视.考虑到小组间水平参差不齐,故而对个别组给予适当的指导.

师:请各小组派一名代表,描述他们小组归纳的共同特征,其他小组可以举手补充.

经过小组展示后,最终得出以下结论:

①函数图象一定经过第一象限,一定不经过第四象限.

②函数图象恒过点(1,1).

③当α>0时,函数图象在(0,+∞)上增,而且恒过(1,1)和(0,0).

④当α<0时,函数图象在(0,+∞)上减,恒过(1,1).

师:我们已经了解了幂函数的静态图象特征,那动态时图象是如何变化的呢?

打开GeoGebra,利用滑动条生成的动画,动态地展示随着指数变化函数图象的变化.

生7:当α>0时,随着指数α的增大,在第一象限的图象越发陡峭.当α<0时,随着指数α的减小,在第一象限的图象变化的弧度也变小.

在滑动条变化的过程中,幂函数在第一象限的图象可分成5小类(图3).

图3

设计意图新教材与时俱进地引入了最新的数学软件,注重信息技术与数学知识的整合.因此,笔者在学生初步掌握幂函数作图后,应用现代信息技术帮助学生获得直观的感受,从而激发学生学习数学的兴趣,也帮助学生了解函数动态变化中变与不变之处,培养他们的探究能力.

2.4 练习反馈,巩固提升

通过问题链逐步引导学生形成探究幂函数图象的步骤:

①根据幂指数的大小画出第一象限函数图象;

②先化成根式形式求解定义域;

③由根式得到函数奇偶性;

④依据奇偶性补全整个函数的图象.

设计意图新教材在编写中更为注重对探究结论的应用.因此,总结了幂函数在第一象限的一般规律后,还需要引导学生将其应用到日常解题中,真正实现学以致用、用以促学、学用相长.

2.5 拓展延伸,活跃思维

师:我们学习了函数的单调性、奇偶性、对称性等,现在请同学们阅读书本第142页思考运用第7题,并去查阅相关资料,研究这体现了函数的什么性质.

3 幂函数的课后教学反思

新苏教版充分体现了新课标的基本理念,通过创设合适的问题情境,引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动,感悟并获得数学知识与思想方法.因此,整个课堂设计的主要形式为问题情境—学生活动—意义建构—数学结论—数学运用—拓展延伸,力图实现“入口浅,寓意深”.

新教材对于GeoGebra的细致介绍和详细讲解使得课堂教学活动与现代信息技术结合程度日趋提高.本节课中,利用GeoGebra作图能帮助学生更为直观地观察幂函数y=xα的动态图象,增强学生的数学学习兴趣.因此,教师有必要加强自身的专业素养,多学习一些必要的软件,例如几何画板、GeoGebra等.

但是,数学教学是数学思维活动的教学,信息技术只是锦上添花,绝不能喧宾夺主.整个课堂还是以学生活动和探究总结为主体,教学过程中渗透函数的图象与性质相辅相成,让学生感悟以形助数、以数解形,从而培养学生的思维能力和应用意识,提升他们的数学学科核心素养.