运用三角函数牵住动力学变量问题的“牛鼻子”

2023-04-17李永峰

教学考试(高考物理) 2023年2期

李永峰

(甘肃省天水市清水县第六中学)

新课程改革在不断推进,物理高考试题命题者更侧重考查学生的物理核心素养,而并非单纯的考查物理知识,这顺应了国家对高考“立德树人、服务选才、引导教学”的总方针。物理核心素养主要包含物理观念、科学思维、科学探究、科学态度与责任四个方面。“科学思维”主要包括模型建构、科学推理、科学论证、质疑创新等要素。2017年印发的《普通高中物理课程标准(2017年版2020年修订》指出,科学思维是从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系的认识方式,是基于经验事实建构理想模型的抽象概括过程;是综合分析、推理论证等科学思维方法的内化;是基于事实证据和科学推理对不同观点和结论提出质疑、批判,进而提出创造性见解的能力与品质。科学推理是科学思维的重要组成部分,科学推理应包含物理规律、科学研究方法、数学推理、讨论分析等基本要素。本文将聚焦科学推理过程中的常用数学工具——三角函数,结合高考真题分析展示三角函数在物理解题中的具体运用,以便推动高考物理复习备考工作高效进行。

一、三角函数边角关系

【例1】(2022·全国乙卷·16)如图1,固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环,小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于

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图1

A.它滑过的弧长

B.它下降的高度

C.它到P点的距离

D.它与P点的连线扫过的面积

图2

【答案】C

【点评】本题考查的基本物理原理是机械能守恒定律,用动能定理也可以得到相同的结果。但这道题又不局限于机械能守恒定律和动能定理的考查,笔者认为试题命制者更想看到考生在熟练掌握物理规律的同时,如何更好地运用数学知识解决物理问题,寻找变量与不变量之间的关系,进而把物理观念、物理知识、物理规律与数学工具有机融合,进一步提高数学对物理学习的推动力,引导物理教学。在圆环下滑过程中P点所在直径两端与圆环所在位置构成直角三角形,圆的半径确定不变,确定sinθ是解题关键。

【例2】(变式题)如图3所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中,手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是

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图3

A.F不变,FN增大 B.F不变,FN减小

C.F减小,FN不变 D.F增大,FN减小

图4

【答案】C

【点评】本题是一道考查共点力平衡的题目,和例1都是光滑大圆环套小圆环(球)的物理模型,不同之处在于例2加了一段轻绳,大圆环最高点设置一光滑小孔(相当于定滑轮)。同样的物理模型命题者的命题意图不仅决定题目的考查方向,也决定考生的应试策略,更决定运用什么物理知识和规律来分析解决。从不同角度考查考生所具备的物理素养。相似三角形法在处理共点力的动态平衡时常见,当无法确定边角关系时应考虑采用相似三角形法。

二、二倍角公式和差角公式

【例3】(二倍角公式)(2021·全国甲卷·14)如图5,将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处,上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节,使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放,物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若由30°逐渐增大至60°,物块的下滑时间t将

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A.逐渐增大 B.逐渐减小

C.先增大后减小 D.先减小后增大

【答案】D

【点评】本题的创新点在于随角度的增大加速度也增大,接触点Q到P点距离(位移)也增大。位移和加速度均增大,要求判断运动时间的变化情况,这增加了本题的难度。考生一般习惯位移或加速度中有一个物理量变化,利用物理公式判断起来很容易,两个物理量同时变化一般要借助数学工具分析,高中物理动力学问题中常利用三角函数求解变量问题。本题横杆移动过程中与铁架台构成的三角形底边不变,考生只要抓住这一关键量,运用二倍角公式就可以找到解决问题的钥匙。

【例4】(差角公式和二倍角公式)质量为M的木楔倾角为θ,在水平面上保持静止,当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时,它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升,如图6所示(已知木楔在整个过程中始终静止)。

图6

(1)求木块和木楔之间的动摩擦因数μ;

(2)当α和θ满足何种关系时,拉力F有最小值,并求此最小值;

(3)当F取最小值时,木楔对水平面的摩擦力是多少?

【解析】(1)因为木块匀速下滑,所以沿斜面受力平衡

μmgcosθ=mgsinθ

μ=tanθ

(2)对木块进行受力分析,如图7所示。

图7

沿斜面方向Fcosα=mgsinθ+Ff

垂直斜面方向Fsinα+FN=mgcosθ

Ff=μFN

用差角公式化简整理得

因为θ角不变,当α=θ时,F有最小值,

Fmin=mgsin2θ

(3)把木块和木楔视为整体,因为它们都处在平衡状态,所以地面对木楔的摩擦力与F水平方向的分力平衡。

Ff′=Fcos(α+θ)

F取最小值时α=θ,所以

【点评】本题受力分析相对简单,运动形式单一,没有复杂的物理过程。侧重于考查应用数学知识分析解决物理问题,本题有多个变量,只有重力恒定不变,(1)问中简单考查平衡条件,沿斜面方向列平衡方程即可求出。在平时教学中要鼓励学生尝试解答难题,不能接触到计算题就有惧怕心理。(2)问是本题的难点所在,平时所学的动态平行四边形定则知识适用于三力平衡,该问受力情况较为复杂,F的大小和α角决定着支持力FN和摩擦力Ff的大小。这种情况下只能运用数学三角函数知识进行解答,增加了学生解答的难度,另一因素是学生把数学知识运用到物理解题过程的理念不强。建议高三复习备考中对物理问题中常用的数学知识加以重视,如正比例函数、一次函数(线性关系)、二次函数、三角函数、平面几何等,在一轮复习中结合具体题目加以复习,在二三轮复习中以专题形式呈现,多加运用。

三、两角之和、两边之和保持不变

【例5】(2021·湖南卷·5)质量为M的凹槽静止在水平地面上,内壁为半圆柱面,截面如图8所示,A为半圆的最低点,B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触,内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动,力F的方向始终沿圆弧的切线方向,在此过程中所有摩擦均可忽略,下列说法正确的是

( )

图8

A.推力F先增大后减小

B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C.墙面对凹槽的压力先增大后减小

D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

对A、B两个选项的分析有以下两种方法:

【解法一】紧抓α、β两角之和等于90°保持不变,对小滑块受力分析,如图9所示,由题意可知,推力F与凹槽对滑块的支持力FN始终垂直,即α+β始终为90°,在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中,α减小,β增大,由F=mgcosα、FN=mgsinα,可知推力F一直增大,凹槽对滑块的支持力FN一直减小,AB错误。