逆向思维探究不等式组中字母取值

邱焕芬

一、已知不等式组整数解的个数，确定字母取值范围

例1 （2022·四川·达州）关于x的不等式组[-x+a<2，3x-12≤x+1]恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．

解析：解第1个不等式得x > a - 2，解第2个不等式得x ≤ 3，

[∴]原不等式组的解集为a - 2  <  x ≤ 3.

[∵]恰有3个整数解，所以只能是3，2，1，[∴]0 ≤ a - 2  <  1，[∴]2 ≤ a  <  3.

二、根据不等式组整数解的个数，探究字母的最大值

例2 （2022·湖南·邵阳）关于x的不等式组[-13x>23-x，12x-1<12（a-2）]有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解析：由第1个不等式得x > 1，由第2个不等式得x  <  a，解得1 <  x  <  a．

[∵]不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，[∴]4  <  a ≤ 5，

[∴]a的最大值是5. 故选C．

三、已知不等式组负整数解的个数，确定字母取值范围

例3 若关于x的一元一次不等式组[x-a>0，2x-3<1]有2个负整数解，则a的取值范围是 ．

解析：解第1个不等式得x > a，解第2个不等式得x < 2，

∵原不等式组有2个负整数解，从x < 2可以判断2个负整数解只能是-1， -2. 观察数轴可以直观看出-3 ≤ a < -2. 故应填-3 ≤ a < -2.

反思：确定a的范围我们可以借助数轴，采用特殊值法：比如本题当a = -2时，由于解集为x > a，就排除了-2这个负整数解，因此a < -2，当a = -3时，由于解集为x > a，恰巧有2个负整数解-1，-2，所以a的取值范围为-3 ≤ a < -2．

四、已知不等式组的解集，求待定字母取值或范围

例4 （2022·黑龙江）若关于x的一元一次不等式组[2x-1<3，x-a<0]的解集为x < 2，则a的取值范围是 ．

解析：将原不等式组整理得[x<2，x<a，]因为不等式组的解集为x < 2，根据“同小取小”可知a的取值范围为a ≥ 2. 故应填a ≥ 2．

五、已知不等式组无解，求字母的取值范围

例5 （2022·内蒙古）关于x的不等式组[5-3x≥-1，a-x<0]無解，则a的取值范围是 ．

解析：由第1个不等式得x ≤ 2，由第2个不等式得x > a，

[∵]不等式组无解，[∴]a ≥ 2. 故应填a ≥ 2．

反思：解决本题容易忽视当a = 2时两个不等式的解集仍然无公共部分，因此当不等式组无解时，a ≥ 2.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：4分钟

不等式组[x-13-12x<-1，4（x-1）≤2（x-a）]有3个整数解，则a的取值范围是（ ）.

A. -6 ≤ a < -5    B. -6 < a ≤ -5      C. -6 < a < -5    D. -6 ≤ a ≤ -5

（答案见本页）

（作者单位：山东省滨州实验学校）

答案速递

第25页：取AB的中点M，连接FM，DM，证明过程略. （2）3[3]

第28页：1. ∠A = 90° 2. D

第33页：B