平行四边形变矩形

刘家良

寻找条件，使平行四边形变矩形，是中考题中常见的一类题， 一般分为三种类型.

一、条件添加型

1. （2022·甘肃·武威）在四边形ABCD中，AB[⫽]DC，AD[⫽]BC，不添加任何辅助线，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 . （答案见第33页）

二、条件判定型

2. 在下列条件中，能判定▱ABCD为矩形的是（ ）. （答案见第33页）

A. AB = AD     B. AC⊥BD     C. AB = AC     D. AC = BD

三、条件探究型

3. （2022·湖北·十堰）如图1，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点. （1）求证：BE = DF.（2）设[ACBD] = k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.

解析：（1）如图2，连接DE，BF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO = DO，AO = CO.

∵E，F分別为AO，OC的中点，∴EO =  [12]OA，FO = [12]OC，∴EO = FO.

∵BO = DO，EO = FO，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE = BF.

（2）当k = 2时，四边形DEBF是矩形.

理由如下：由（1）知四边形DEBF是平行四边形.

当BD = EF时，平行四边形DEBF为矩形.

∵OD = [12]BD，OE = [12]EF，∴当OD = OE时，四边形DEBF是矩形.

∵OE = [12]OA =  [14]AC，OD = [12]BD，∴[14]AC = [12]BD，∴[ACBD] = 2，

即当k = 2时，四边形DEBF是矩形.

反思：解矩形条件探究题，分析时可先将题中的结论“四边形DEBF为矩形”作为已知条件，再去寻找满足它成立的条件，这就是“倒推”解法.

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）