半群上的L-模糊同余

李倩倩

(兰州理工大学理学院,甘肃 兰州 730050)

模糊数学是数学研究中的一个重要组成部分,它的应用性也比较强。“模糊” 概念最初是由Zadeh[1]于1965年提出来的,它表示一种不确定性。这个概念最初被引入是作为一种描述人类话语和思想中的不精确性和模糊性的方法。比如描述身高时规定超过190 cm描述为高,那么身高189 cm就不算高了吗？他们只是高的程度不同,于是有了“模糊”的概念。后来,Murali[2]定义了模糊划分,进而得到集合上的模糊划分和模糊等价关系是一一对应的。在此基础上,Marouf[3]定义了模糊同余,给出了集合上的模糊关系生成的模糊等价关系和模糊同余,并给出了模糊等价关系格和模糊同余格的部分性质。1992年Kuroki[4]证明了群的模糊正规子群集合模糊同余集之间存在一一对应关系。

在此之后,基于模糊同余概念的理论和实际应用得到了迅速发展。特别是文献[5-10]中在这一方面得到了一些很好的结果。2015年杨燕等[11]研究了毕竟正则半群上的模糊群同余。截至目前,关于模糊同余的研究成果已经非常丰富,因此我们考虑推广模糊关系,来丰富模糊数学的世界。研究将模糊关系的定义进行推广得到L-模糊的定义,并将模糊关系的部分结论推广到L-模糊关系上。

1 预备知识

设X是非空集合,称映射f:X→[0,1]为X的模糊子集。对任意的x∈X称f(x)为x对f的隶属度,称映射μ:X×X→[0,1]为X上的模糊关系。假设μ1、μ2、μ是X上的模糊关系,定义μ1与μ2的合成(记为μ1∘μ2)如下:任意的x,y∈X有

(μ1∘μ2)(x,y)=∨z∈X(μ1(x,z)∧μ2(z,y))。

若对任意的x∈X都有μ(x,x)=1,则称μ是模糊自反的;若任意的x,y∈X都有μ(x,y)=μ(y,x),则称μ是模糊对称的;若μ∘μ≤μ,则称μ是模糊传递的。 如果μ是模糊自反的、模糊对称的、模糊传递的,那么称μ是模糊等价关系。设S是半群,μ是S上的模糊关系。如果对任意的a,b,x∈S,满足:μ(ax,bx)≥μ(a,b)且μ(xa,xb)≥μ(a,b),那么称半群S上的模糊关系μ在S上关于乘法是相容的。相容的模糊等价关系称为模糊同余(关系)。

定理1设S是半群,μ是S上的模糊同余,任意的a,b∈S,都有以下结论成立:

(1)μa=μb⟺μ(a,b)=1;

(2)μ-1(1)={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余[11]。

2 L-模糊关系

[0,1]区间是全序集,是特殊的格。假设(X,≤)是偏序集,且对X中任意一个非空子集Y均存在上确界和下确界,那么称(X,≤)为完全格。后文出现的L均指完全格,0、1分别指L的最小元和最大元。

定义1设X是非空集合,称映射f:X→L为S上的L-模糊子集。

定义2设S是半群,称映射μ:S×S→L为S上的L-模糊关系。

设μ,ν是半群S上的L-模糊关系,任意的a,b∈S定义μ,ν之间的运算如下:

(μ∘ν)(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)};

μ⊆ν⟺μ(a,b)≤ν(a,b)。

定义3设S是半群,μ是半群S上的L-模糊关系,若对任意的x∈X都有μ(x,x)=1,则称μ是L-模糊自反的;若任意的x,y∈X都有μ(x,y)=μ(y,x),则称μ是L-模糊对称的;若μ∘μ≤μ,则称μ是L-模糊传递的。 如果μ是L-模糊自反的、L-模糊对称的、L-模糊传递的,那么称μ是模糊等价关系。

定义4设S是半群,μ是半群S上的L-模糊关系,如果对任意的x,y,z∈S有

μ(x,y)≤μ(zx,zy)(μ(x,y)≤μ(xz,yz))，

那么称μ是L-模糊左(右)相容的。如果对任意的x,y,z,t∈S有μ(x,y)∧μ(z,t)≤μ(xz,yt),那么称μ是L-模糊相容的。

命题1设S是半群,μ是半群S上的L-模糊等价关系,则μ是S上的L-模糊同余当且仅当μ是L-模糊左、右相容的。

证明假设μ是S上的L-模糊同余,则对任意的x,y,z∈S有

μ(zx,zy)≥μ(z,z)∧μ(x,y)=

1∧μ(x,y)=μ(x,y)，

μ(xz,yz)≥μ(x,y)∧μ(z,z)=

μ(x,y)∧1=μ(x,y)，

即μ是L-模糊左、右相容的。

反之,设μ是L-模糊左、右相容的,则对任意的x,y,z,t∈S有μ(x,y)≤μ(xz,yz)且μ(z,t)≤μ(yz,yt),从而

μ(x,y)∧μ(z,t)≤μ(xz,yz)∧μ(yz,yt)≤

∨u∈S(μ(xz,u)∧μ(u,yt))=

μ∘μ(xz,yt)≤μ(xz,yt)，

即μ是S上的L-模糊同余。

命题2设μ,ν是半群S上的L-模糊关系,若μ,ν在S上是L-模糊相容的,则μ∘ν是L-模糊相容的。

证明因为μ,ν是L-模糊相容的,所以任意的x,y,z∈S,都有μ(x,y)≤μ(xz,yz),且μ(z,t)≤μ(yz,yt)。于是

μ∘ν(xz,yz)=∨a∈S(μ(xz,a)∧ν(a,yz))≥

∨a∈S(μ(xz,az)∧ν(az,yz))≥

∨a∈S(μ(x,a)∧ν(a,y))，

而且

∨a∈S(μ(x,a)∧ν(a,y))=(μ∘ν)(x,y),

所以

(μ∘ν)(xz,yz)≥(μ∘ν)(x,y)。

同理可证

(μ∘ν)(zx,zy)≥(μ∘ν)(x,y)。

综上所述,μ∘ν是L-模糊相容的。

定理2设μ,ν是半群S上的L-模糊同余,则下列叙述等价:

(1)μ∘ν是L-模糊同余;

(2)μ∘ν是L-模糊等价关系;

(3)μ∘ν是L-模糊对称的;

(4)μ∘ν=ν∘μ。

证明显然(1)⟹(2)⟹(3)，下证(3)⟹(4)。

由于μ∘ν是L-模糊对称的,所以任意的a,b∈S有μ(a,b)=μ(b,a),于是

μ∘ν(a,b)=∨x∈S(μ(a,x)∧ν(x,b))≥

∨a∈S(ν(b,x)∧μ(x,a))≥

ν∘μ(b,a)=ν∘μ(a,b)。

“(4)⟹(1)”首先证明L-模糊自反性,任意的a∈S有

(μ∘ν)(a,a)=∨x∈S(μ(a,x)∧ν(x,a))≥

μ(a,a)∧ν(a,a)=1。

其次证明L-模糊传递性,有

(μ∘ν)∘(μ∘ν)=(μ∘ν)∘(ν∘μ)⊆μ∘ν∘μ=

μ∘μ∘ν⊆μ∘ν。

最后证明L-模糊对称性,任意的a,b∈S有

μ∘ν(a,b)=ν∘μ(a,b)。

因此

μ∘ν(a,b)=ν∘μ(a,b)=∨z∈S(ν(a,z)∧μ(z,b))≥

∨z∈S(μ(b,z)∧ν(z,a))≥μ∘ν(b,a)，

又因为μ,ν是半群S上的L-模糊同余,所以μ∘ν是L-模糊同余。

定理3设μ是半群S上的L-模糊同余,任意的a,b∈S,都有以下结论:

(1)μa=μb⟺μ(a,b)=1;

(2)μ-1(1)={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余。

证明(1)必要性,因为μ是半群S上的L-模糊同余,又因为μa=μb,所以

μ(a,b)=μa(b)=μb(b)=1。

充分性,设μ(a,b)=1,因为μ是半群S上的L-模糊同余,所以任意的x∈S有

μa(x)=μ(a,x)≥(μ∘μ)(a,x)=

∨y∈S(μ(a,y)∧μ(y,x))≥

μ(a,b)∧μ(b,x)=1∧μ(b,x)=μ(b,x)。

(2)μ-1(1)显然是自反的、对称的,下面证明传递性。∀a,b,c∈S且(a,b),(b,c)∈μ-1(1)有

(μ∘μ)(a,c)=∨x∈S(μ(a,x)∧μ(x,c))≥

μ(a,b)∧μ(b,c)=1。

由于μ是半群S上的L-模糊同余,所以(μ∘μ)(a,c)≤μ(a,c),即μ(a,c)=1,即μ-1(1)是可传递的。故μ-1(1)是S上的等价关系。

任意的x∈S,(a,b)∈μ-1(1)。由于μ是半群S上的L-模糊同余,所以μ(ax,bx)≥μ(a,b)。又因为μ(a,b)=1,所以μ(ax,bx)=1,即(ax,bx)∈μ-1(1),同理(xa,xb)∈μ-1(1)。故μ-1(1)是S上的同余。