合理统筹,演绎实数起始课

[摘  要] 实数是初中数学教学的重要内容，教师在教学中要从学生的已有知识经验出发，合理统筹规划，上好实数起始课，为代数的学习打下良好的基础.

[关键词] 实数;教学策略;知识基础

作者简介：柏淑霞（1984—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.

初中代数的重要内容“实数”是学习代数的基础，其重要性不言而喻. 对于“实数”的教学，选择算术平方根还是平方根作为第一课时内容，一直以来都是教学中引起教师争议的地方. 笔者认为“实数”的学习要建立在学生已有知识经验的基础上，并且要符合数学的思维习惯[1]. 本文对两个教学案例进行探讨，并就如何上好“实数”这节起始课与各位同行共同交流.

教学分析

（一）教学内容

“实数”第一课时“平方根”.

（二）教材地位

本课教学内容是实数的起始课，在学生已有的对数的认识基础上，进一步扩大认识范围，从有理数走向实数，本课是有理数向实数过渡的重要环节，同时增加了开方运算，使学生对于运算更加了解，既为正式学习实数打下良好的基础，又为今后进一步学习复杂运算如方程、根式运算、函数等知识筑牢根基.

（三）学情分析

学生在之前已经具备了一定的计算基础，对于加减乘除的互逆计算、乘方运算等也具备了一定的认识，而且认识常见的平方数并具备了如何计算几何图形等面积的能力.

教学案例

（一）案例一

1. 教学目标：

（1）通过创设情境，理解算术平方根的意义.

（2）知道算术平方根的概念，学会用根号表示并计算正数的算数平方根.

（3）通过学习算术平方根，体会基本的归纳、抽象、分类等数学思想，使学生认识算术平方根的概念.

2. 教学重点：认识并计算算术平方根.

3. 教學难点：理解算术平方根的特性.

4. 教学过程：

（1）创设情境，新旧联系.

问题1：小明的妈妈准备了一些正方形的桌布准备用来装饰家里的桌子，你能帮助她计算出它们的面积吗？

问题2：根据家里的桌子大小，需要以下面积的正方形桌布，你认为需要准备边长是多少的桌布呢？

师生活动：学生思考回答，教师引导学生归纳完成表一、表二，并进行总结表一是根据一个正数求正数的二次幂，表二是进行逆运算.

（2）探究概念.

问题3：表一和表二的两种运算有什么关系？

师生活动：教师引导学生进行归纳表一是平方的运算，表二是其逆运算，从而总结概念“算术平方根”.

（3）概念运用.

试一试：

①32=9，那么9的算术平方根是多少？

②0.42=0.16，那么0.16的算术平方根是多少？

③

2=，那么的算术平方根是多少？

判断题：请问下列说法正确吗？

①6是36的算术平方根.

②0.02是0.4的算术平方根.

③0的算术平方根是它本身.

师生活动：学生回答，教师进行点评.

问题4：请问可以用符号表示算术平方根吗？

师生活动：教师对平方符号以及对应算术平方根的符号及读法进行介绍，学生分析取值范围.

（4）巩固认识.

例1：计算下列各数的算术平方根.

①100;②0;③1;④0.04.

师生活动：教师引导学生利用刚才所学的平方以及平方的逆运算角度进行解题，并进行书写规范的训练，再指导学生对带分数以及小数的算术平方根进行分析.

习题1：说一说下列数字的意义，并计算它们的值.

①;②;③;④.

习题2：

①的算术平方根是多少？

②正数x的算术平方根是多少？

③一个数的算术平方根是4，则这个数是多少？

④2的算术平方根是多少？

师生活动：学生思考完成，并进行回答，教师重点评析第②和第④小题，要求学生注意题目的易错点，注意审题，从概念出发进行解答.

（5）归纳小结.

师：下一节课我们将要探究到底有多大呢？

总结：本课我们学习了算术平方根的概念和表示方法，了解了算术平方根以及计算的互逆过程，注意点：只有正数和0才有算术平方根.

（二）案例二

1. 教学目标：

（1）了解平方根的概念，能够熟练计算平方根.

（2）通过探究活动，认识非负数平方根的特点.

（3）通过学习开方和乘方的互逆计算，认识事物之间对立统一的辩证关系，激发学生的学习兴趣.

2. 教学重点：描述平方根的概念.

3. 教学难点：探索平方根的性质.

4. 教学过程：

（1）引入平方根.

4+（8）=12是加法运算，12是4与8的“和”，（8）=12-4是减法计算，8是12与4的“差”，减法和加法互为逆运算;

3×（6）=18是乘法运算，18是3与6的积，（6）=18÷3是除法运算，6是18与3的商，乘法与除法是互逆运算;

（-2）2=4是乘方运算，4是-2的平方;

（？）2=9是开方运算，±3是9的平方根吗，引出概念.

平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，平方与开平方互为逆运算.

（2）认识平方根.

问题1：求下列各数的平方根.

①; ②81; ③0.0016; ④7;⑤1.

学生思考并回答，最后得出数学表达式：若x2=a，那么x=±，x为a的平方根.

补充：学生背诵1-20的平方.

问题2：

①23的平方根可以怎么表示？结果是多少？的平方根怎么表示？结果是多少？

②±0.2是哪个数的平方根？0的平方根可以怎么表示？结果是多少？

③±是哪个数的平方根？-9的平方根可以怎么表示？结果是多少？

（3）理解平方根.

思考：哪些数有平方根？一个数有几个平方根？所有的数都有平方根吗？请大家和同伴进行交流.

例2：计算下列各数的结果，并说一说这些数的意义.

①±;②-;③±;④;⑤±;⑥-.

例3：求下列各式中x的值.

①x2=16;②（x-2）2-16=0.

（4）辨析练习.

判断题：

①1是1的一个平方根.

②（-1）2的平方根是-1.

③-16的平方根是±4.

④的平方根是±4.

⑤（-12）2的平方根是±12.

评价与反思

（一）分析教材处理

案例一通过整合教材进行算术平方根的教学. 第一通过创设情境，引导学生进行边长和面积的互逆运算. 第二引入概念与符号，先进行概念的导入，再引入符号学习，由易到难，从平方符号到算术平方根的符号. 第三强化概念理解，通过习题举例使学生对所学的符号、概念等进行反复巩固. 最后通过易错点的举例和计算，对知识进行补充和拓展[2].

案例二调整了教学的顺序，进行平方根的教学，先通过数学类比的方法，由基础计算进行类比引出平方根的概念、意义、符号等内容，理解平方根的特点，进而学习算术平方根的概念. 接着进行易错点和典型算术平方根的介绍，如0的算术平方根，正数的算术平方根等.

（二）整合教材的依据

案例二先讲平方根其根据是，学生在接触运算时，是先有加法进而学习减法，先进行乘法学习进而学习除法，先乘方学习再进行开方，这其中蕴含的都是运算的互逆关系，也就是能够进行新旧联系，温故而知新，由已学的乘方知识引出开方，体现数学运算中的辩证统一关系.

案例一先讲算术平方根的依据是，通过创设情境，由计算正方形的面积进行边长和面积的互逆运算，使学生能够理解算术平方根的含义. 这个案例由学生熟悉的内容进行导入，便于学生接受，并且提示学生關注由于边长为正数，所以算术平方根非负数的特性. 接着在此基础上引入平方根的概念，由类比进行两者的比较和区分，特别在解决实际问题时，注意负值是否舍去，也体现了数学来源于生活又用于生活.

（三）教学策略建议

教学策略的选择要尊重学生的主体地位，符合学生的认知规律，并建立在学生已有的知识经验的基础上. 两个案例的选择在数学逻辑顺序上没有问题，但是对于学生的认知水平要求却不尽相同. 先讲平方根，需要从开平方引入，这对于学生的思维水平有较高的要求，由于学生在小学阶段加减乘除的运算并没有特别强调逆运算，因此学生具备的认知水平差异较大，因此学生一开始就会遇到困难，这对接下来的学习会造成一定的阻力. 而从学生熟悉的正方形面积计算进行引入，学生一下子就能找到熟悉的感觉，很快理解互逆运算[3]. 接着再从计算的角度引导学生进行思考，引出平方根的概念，使学生的理解水到渠成. 通过乘方和开方的互逆运算，算术平方根和平方根概念的学习，再经过实际问题的运用，学生可以真正领会这一运算的意义，达成教学的目标.

总之，教材的处理一定要有科学的依据，恰当合理地调整才能调动学生的积极性，为学生真正理解数学起到助力的作用，使教学事半功倍. 在授课时，教师要注意概念教学的处理，在学生进行概念学习时可以通过情境创设、习题巩固、实际问题解析等使其能够完整地理解数学概念，在对比辨析中巩固所学知识，理解数学的本质.

参考文献：

[1]陈向明. 质的教育研究中研究问题的界定[J]. 教育评论，1999（01）：28-31.

[2]喻平. 数学学科核心素养要素析取的实证研究[J]. 数学教育学报，2016，25（06）：1-6.

[3]巩子坤. 数学知识的特征与学习方式的有效选择[J]. 中国教育学刊，2005（11）：55-58.