以思启思 学习概念 提升素养

［摘  要］ 在小学数学概念教学中，教师要重视新概念的认知根源——前概念。在教学中教师要适时结合数学学科本质和儿童思维水平，妙用数形结合、唤醒学生抽象经验、提升分类理性等数学思想方法，引导学生进行概念学习，有效转化“前概念”，提升学生数学核心素养。

［关键词］ 以思启思；前概念；数学核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确了数学教学应以培养学生核心素养为统领。义务教育阶段学生的数学核心素养植根于数学学科的特点，与数学思想方法密切相关。学生总是带着“前概念”来到课堂，对新概念的学习常常会基于“前概念”的理解。核心素养导向的背景下，教师应将数学思想方法融入学生的学习过程，以思启思，推进学生的学习进阶，提升学生的数学素养。笔者以“数与代数”的教学为例，以概念教学为重点，谈谈具体的做法。

一、妙用数形结合，探索概念

数形结合就是在研究数学问题时，由数思形，见形思数。数形结合是学生思考数学问题时常用的数学思想方法。小学生的逻辑思维能力比较弱，因此，教材在编排时常常采用数形结合的方式予以呈现。在教学实践中，数形结合方法是教师帮助学生修正“前概念”认知的常用利器，能很好地培养学生几何直观的意识和习惯。

在“因数和倍数”教学中，不少教材采用矩形排列的实物图或方格图，让学生列乘法算式来揭示因数和倍数的概念，这种矩形图在一定程度上能帮助学生理解概念。不过，笔者在学生预习后，与学生的交谈中发现这样的数形结合并未消除学生头脑中的“前概念”造成的困惑。比如，同样是“倍”，过去叫“倍”，现在为什么叫作“倍数”？同样是乘法，过去叫作“因数”和“积”，现在为什么叫作“因数”和“倍数”？学生们尤其困惑的是过去的因数可以是小数、分数，现在为什么只限于自然数？

“因数和倍数”单元是数论中最基础的部分，它们的产生源于数的内部发展，“因数和倍数”的学习意味着学生将再次走进“数的认识”。在以前的学习中，学生对自然数已经有了深刻的理解：即“1”是组成自然数的最基本的元素。而从本单元开始，自然数将基于新的运算（乘法）和新的构成元素（因数）进行重构，其中素因数是最基本的新元素，这样的重构意味着更高层次的抽象。

为了帮助學生实现这样的抽象，教材采用了数形结合的思想方法。不过笔者在教学时进行了适当的选择和改进：在实物图和方格图中选用方格图；在呈现矩形排列的方格图之前呈现学生十分熟悉的十进制记数法方格图，即呈现10和2的组合。接着，笔者引导学生思考：12个小方格还可以怎么摆？你能想到多少种不同的摆法？

不少学生很快有了想法，自主重构出3种不同的矩形图：即排列成一行（1个12）、两行（2个6）和三行（3个4），并借助乘法自主探索出了新概念。

相较于实物图，矩形方格图更贴近学生熟悉的“数的认识”场景。在矩形图之前加入一个图形“组织者”——同数不同形的十进制方格图，便于教师引导学生打破旧的数结构，构建新的数结构。巧妙的数形结合方法让学生的“前概念”困惑得到清晰修正：“数的认识”背景下的“因数和倍数”，本质上不是学生以前学过的乘法算式，也不是以前所比较的倍数关系，而是自然数重构的新元素。教师精巧的教学设计让学生感受到数形结合的魅力和积淀了几何直观的素养。

二、唤醒抽象经验，理解概念

数学最本质的特征就是抽象。抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征、舍弃非本质属性或特征的思想方法，抽象是形成数学概念的关键。教学中教师让学生适度运用抽象思维，有利于“前概念”的修正，更有利于培育学生理性的数学素养。

在“分数的意义”教学中，对分数单位的教学常常被教师忽略，但这却是学生学习的难点。笔者在课前调研中发现不少学生对分数单位的理解常常存在错误。比如分数5/8，有些学生认为分数单位是8，有5个这样的单位；有些学生认为分数单位是1/8，有5个这样的单位。这个学习难点并没有得到高度重视，教师一般根据教材的编排，在归纳得出分数的意义后简单化处理，直接揭示分数单位的定义。笔者在调研学生的后续学习时发现不少学生虽能说出分数单位，但并未把它与整数、小数的计数单位关联起来视为“一家人”。究其原因，教师的简单告知式教学让学生缺少了抽象思维的参与。

最新修订的数学课程标准增加了“计数单位”的概念，这个概念深度揭示了所有“数与运算”的本质一致性。分数单位的学习对分数的意义以及核心概念“计数单位”的学习至关重要。因此，笔者曾做过这样的尝试：让学生联系已学过的整数、小数的计数单位，思考分数是否有计数单位。笔者发现只有极少数学生对计数单位的认识相对准确，绝大多数学生仍然不明所以。如此看来，依靠从理性到理性的简单化抽象教学，学生的“前概念”难以得到彻底的修正与转化。

面对份数定义背景下带有分割线的直观模型——所分一物中的1份、所分计量单位中的1份、所分多个物体组成的整体中的1份等，在教学中笔者尝试将学生拉回熟悉的“数数”活动中：你已经会数数了，现在你能数一数图片上的这些分数吗？

面对笔者的提问，不少学生愣了一会儿后，都激动地举起了小手。在学生们磕磕绊绊的相互启发中，很多学生都顺利地从一个一个地数过渡到一份一份地“数”。“数”过之后，学生们会发现：“违背常理”的分数也是可以“数”的！分数跟整数、小数一样也是有单位的！“单位1”被平均分成了几份，分数单位就是几分之一。

从分数定义直接揭示分数单位，这是从一般到特殊的强抽象，容易导致学生将分数单位窄化成一种特殊的分数，从而偏离了“单位”的本质。从整数、小数的单位迁移到分数单位，进而抽象到“计数单位”，这是从特殊到一般的弱抽象。这样的弱抽象虽然也抵达数学本质，但不容易被学生感知，这种简单告知、强拉硬拽式的教学难以达成教学目标。

笔者尝试从肢体性的“数数”活动出发，唤醒了学生在“数的认识”学习中所经历的抽象活动及其经验，让学生在分数单位的学习中经历了“具象—表象—抽象”的过程，让学生能够清晰建立分数单位的认知，让学生能够领悟核心概念——“计数单位”。这种对抽象经验的反复运用和拓展深化，能够让学生肤浅或不正确的“眼光”得到自主修正，促进学生思维走向深邃睿智。

三、提升分类理性，意会概念

分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的思想方法。分类有现象分类和本质分类的区别，现象分类依据的是外部特征或外部联系，而本质分类依据的是本质特征或内部联系。分类是认识事物的基本方法。基于数学的学科特点，教师在数学教学中要努力应用本质分类的思想方法，推动学生转化“前概念”，建立新概念，感悟概念表层下隐含的算法、模型等深层意蕴。

在“认识方程”教学中常常能看到教师应用分类思想：出示天平，让学生写出大量式子，包括等式和不等式、含有未知数和不含有未知数的式子。接着，大多数教师会引导学生进行多层次的分类：先分成等式与不等式，再将等式分为含有未知数和不含有未知数两类。然后，教师在此基础上揭示方程的定义：含有未知数的等式叫作方程。不过，在随后的辨析练习中笔者发现学生被字母、符号等非本质的因素困扰，导致辨析练习的正确率不高。

其实在“认识方程”学习时，学生对方程并非一无所知。笔者在课前对学生的访谈中发现：学生判断方程的依据主要是看式子中是否含有字母或符号，认为只要是含有字母或符号的式子，不管是否为等式都归入方程。经过上述多层次的分类比较活动后，笔者发现非本质的字母和符号对学生来说是一个强刺激。这让不少教师倍感困惑：为什么学生经历了方程的两级分类学习后，方程的本質内涵仍未被学生掌握？

“含有未知数的等式”只是字面上的说法，并非方程的本质含义。中国古代数学文化更强调“求未知数”的算法价值。张奠宙教授曾提出基于价值视角的方程定义——方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。如此看来，常规性的两级分类只是揭示了方程外在形式上的特点，并未彰显方程的本质。方程的定义相对复杂，小学生面对的简易方程难以体现必要性，最新的课程标准已经将“方程”的学习移入第四学段。不过，面对新老课程两年的过渡期，教师该如何作为？

在“认识方程”的教学中，笔者基于“求未知数”的算法思想进行了相关教学探究。

在学生根据天平写出多个式子后，笔者引导学生依据能否求出未知数将上面的式子分为两类——能求出未知数的和不能求出未知数的式子。分类的标准直指本质后，可以看到分类活动的教学变得轻松。通过这样的分类活动，让学生意识到能求出未知数的式子有两个特点：一是要含有未知数，这些未知数一般处于待求条件的位置；二是要为等式，如果不是等式，就不能确定这些未知数的数值，而只能确定一个范围。借助这样的分类活动，学生能自主归纳出方程的字面定义，并且在后续的辨析练习中表现良好：对似是而非的——含有字母的式子有了更敏锐的感知力；对似非而是的——过去学习中用图形（如括号、方框等）表示未知数的式子也能初步体会方程的含义；对有争议的算术化方程也能给出自己合理的解释等。

基于本质的分类活动，不仅层级减少了、效率提高了，还让学生体会到方程这种新模型、新算法的魅力，自主消除了很多错误理解。虽说还不能让学生全面理解方程的本质内涵，但笔者能从学生的眼中看到他们对这种独特的模型充满了好奇和期待。

总之，落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》的相关要求需要教师把“学”的诸多因素充分考虑进来。在数学概念教学中，教师需要探寻学生学习新概念的认知根源——“前概念”。数学概念教学中教师对数学思想方法的及时应用，能引导学生素朴的认知根源向上生长。教师唯有瞄准数学学科本质和学生数学前概念的精巧化、创新性应用，才能推进学生的学习进阶，达成培养学生核心素养的目标。

作者简介：朱洁芬（1966—），本科学历，教育硕士，中小学高级教师，江苏省小学数学特级教师。