强化首次感知 丰盈推理过程——以“减法的运算性质”教学为例

江苏邳州市解放路实验学校（221300） 杨文胜

“减法的运算性质”是小学阶段运算教学的重要组成部分，然而笔者调查发现，许多学生并不能正确使用，甚至在经过大量练习后仍然出错，究其原因是学生的运算能力偏弱。而运算能力作为数学核心素养主要表现之一，主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。现以“减法的运算性质”为例，让学生经历“观察对比—提出猜想—举例验证—获得结论”的探究过程，以强化首次感知，充分理解算理，提升运算能力，促进数学核心素养发展。

一、问题凝视

形如a-b-c=a-(b+c)是减法重要的运算性质之一，是小学数学运算教学的重要内容。然而，无论是平时练习还是测试，从三、四年级的整数运算到五年级的小数运算，再到六年级的分数运算，都会有学生在运用减法的相关运算性质时出现不同情况的错误，有的学生写成了a-b-c=a-(b-c)，有的学生写成了a-(b+c)=a-b+c……笔者对本校五年级期末学情调研试卷中一道运用“减法的运算性质”简便运算的测试题的答题情况进行了抽样分析，300 份样本中的错误率竟高达29.3%。

二、成因透视

为什么有些学生不能正确使用“减法的运算性质”，甚至在经过大量练习后仍然出错？总体看来，其原因不能简单归结为粗心，应从多方面进行分析。

1.教材编写“厚此薄彼”

“减法的运算性质”和“运算律”都是运算教学的重要组成部分，也是发展学生运算能力的重要素材。加法运算定律有加法交换律、加法结合律，乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，俗称“五大运算定律”。作为加法的逆运算，减法可以转化成加法，“减法的运算性质”就可以看作是加法结合律的变式。

苏教版教材并没有将“减法的运算性质”作为一个独立的课时来编写，而是采用在练习中逐步渗透的方式。其中，首次出现是在三年级下册第40页“混合运算”单元“练习五”的第6 题，并且《教师教学用书》对此明确要求：只要学生有所体会（能结合具体题目表达）就可以了，不必归纳出一般结论。再次出现相关内容是在四年级下册第59 页“运算律”单元“练习九”的第10、11 两题，第10 题采用题组对比的形式，引导学生通过计算和比较主动发现规律，并用自己的方式进行表征，同时体会简便计算的方法，再通过第11 题加以巩固。这两部分内容的呈现均没有采用结合具体情境感知进而进行归纳推理的方式。

2.教师教学“照本宣科”

面对教材编写的“厚此薄彼”，许多一线教师对此内容的重视程度大打折扣，他们在认识上仅仅将其作为一种运算技能，而没有上升到规律探索的高度，更没有认识到“减法的运算性质”同“五大运算定律”一样是确定算理和算法的重要依据。对“教什么”的认识模糊直接影响了教师“怎样教”的方向，从而简化了规律教学的过程，加上教师缺乏对教材的二度开发，就题讲题，在推出结论后便急于将侧重点放在大量练习以提高学生简便运算的熟练程度上。忽视知识本质和素养发展的“低立意”直接导致了课堂教学的“低效果”，从而陷入“打补丁”“修漏洞”的困境之中。

3.学生学习“浅尝辄止”

小学生的思维正处于直观形象思维逐步向抽象思维过渡的阶段，哪怕是中高年级的学生，思维依然偏向直观形象性。在教学“减法的运算性质”时，如果教师没有像教学运算律那样通过实际问题的解决和具体计算的“凝聚”，引导学生经历“观察对比—提出猜想—举例验证—获得结论”的探究过程，就会导致学生对减法的运算性质的首次感知不充分，仅停留在浅表层面的模仿与记忆，缺少深度理解。

三、出路审视

通过对教材、教学的透视，从技能的形成与培养以及运算能力、推理意识等素养发展角度思考，笔者认为在教学这部分内容时应以“三会”素养目标为统领，强化学生的首次感知，让知识的探究过程丰盈起来，从而实现深度学习。德国心理学家艾宾浩斯指出，知识的保持和复现，在很大程度上依赖于有关的心理活动第一次出现时注意和兴趣的强度。这里所说的“有关的心理活动第一次出现”指的就是首次感知。首次感知时，学生第一次接触新材料，进入大脑的信息是全新的、前所未有的，此时新材料所呈现的程序、结构以及刺激信息程度的强弱，对于其能否在大脑中形成准确清晰的表象具有十分重要的意义。为了加强首次感知的效应，教师应精心组织好首次感知过程，可从以下三个方面重新架构“减法的运算性质”的教学。

1.提供现实情境，在解决问题中初步感知联系

“减法的运算性质”在生活中有着大量的应用，如购物过程中计算找回的钱、运输过程中计算剩余的物资以及计算测试卷最终得分等。这些鲜活的实例距离学生生活并不遥远，因此在教学时可以适当改变呈现方式，选择学生熟悉的现实情境创编例题，使学生认识到现实世界中蕴含着大量的、有意义的数学问题，发展学生用数学的眼光观察现实世界的素养。

2.经历完整过程，在归纳推理中强化首次感知

作为一种运算规律，“减法的运算性质”的学习同样要遵循人们对规律的一般认识过程。因此在学生通过现实情境形成初步认知之后，教师应组织学生按照规律探索的一般路径，经历“观察对比—提出猜想—举例验证—获得结论”的“再发现”过程，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系，培养学生用数学的思维思考现实世界的素养，再通过对规律的多元表征，培养学生用数学的语言表达现实世界的能力。其中，举例验证的过程除了采用计算对比，还可以适当采用编故事、数形结合等方式组织学生说理分析，使学生能够用自己的语言解释或论证数学的基本方法与结论，从而进一步强化首次感知。

3.丰富练习形式，在多种体验中实现深度理解

运算能力的发展是一个渐进的过程，遵循“懂—用—熟—巧”的规律，因此，设计多层练习、丰富练习形式，是促进学生形成对“减法的运算性质”的运用技能的重要途径。在多层练习中，首先设置基本练习，帮助学生巩固问题的基本结构特征；其次增加题组模块，通过对比运用，使隐性的数学规律结构化、可视化，培养学生的数学建模意识与能力；最后出示学生的错例，引导学生通过找错、议错、辨错，弄清出错的原因，从而加深理解。

四、教学重构

1.创设情境，初步感知

师：妈妈带了100元，买鱼花了24元，买蔬菜花了36元，还剩多少元？

（学生独立解答，教师呈现典型做法，引导学生从解题思路和运算过程两个方面分别说一说这些做法的异同点，并写出正确的等式）

师：他们分别是怎样计算的？

2.归纳推理，探索规律

师：观察等式的左右两边，什么相同，什么不同？你有什么发现？将你的发现在小组里说一说。

生1：我发现等式左右两边数字相同，结果相同，但符号不同，加上括号后，原来的减号变成了加号。

生2：我发现一个数连续减去两个数，等于从这个数里减去这两个数的和。

生3：我用字母表示这个等式，即a-b-c=a-(b+c)。

（通过观察和多种方式的表达、猜想，学生积累了丰富的感性认识，为后续的推理验证奠定基础）

师：这是我们从一个例子中发现的，只能是一种猜想，到底正不正确？还需要做什么？

生（齐）：验证。

师：你们打算怎样验证？

生4：先举一些类似的例子，再通过列式对比验证。

生5：还可以通过画示意图来验证。

师：下面就请大家自己想办法验证。

生6：用两辆货车运一堆15 吨的货物，一辆载质量4吨，另一辆载质量6吨，问两辆货车各运一趟后还剩多少货物。解决这个问题时，既可以安排一辆车一辆车运，这样就是从总数里一个一个地减；也可以让两辆车一起装货运走，先算一起运走了多少，再算还剩多少，这就是从总数里减去后两个数的和，结果是一样的。

师：大家听明白了吗？大家觉得怎么样？从现实中来，再到现实中去，这样的确能帮助我们理解这个等式的意义。

师：刚才有同学说可以通过画图来验证，谁来分享一下？

生7（出示图1）：这是我画的图……（讲解略）

图1 学生画图验证“减法的运算性质”

师：很棒！生7 通过一幅图把大家所举的例子都概括了，我们不需要知道图中字母的具体数值，仅从图形中就能体会到我们的猜想是正确的。

师：其实“减法的运算性质”在我们以前的学习中也发挥了重要的作用。如在口算13-9 时，就用过“13-3-6”这样的方法来计算。大家想一想，这是不是运用了“减法的运算性质”呢？

通过举例、画图等多种方式，合乎逻辑地解释或验证数学结论。可见，学生的自主验证丰盈了探究过程。而通过对“平十法”的回顾，使学生认识到“减法的运算性质”是确定算理和算法的重要依据，进一步强化了学生对“减法的运算性质”的首次感知。

3.练习巩固，完善认知

（1）在○里和横线上填写相应的运算符号和数。（题略）

（2）算一算，比一比。（出示苏教版教材四年级下册第59 页第10 题，引导学生计算并比较哪种方法更简便，体会“减法的运算性质”的价值和意义）

（3）怎样算简便就怎样算。

528-53-47 69-25-25-50 326-（26+48）

545-167-145 487-187-139-61 265-（72+65）

通过题组练习，帮助学生在不同表现形式和情境中认识“减法的运算性质”的本质，并发现一般性规律，使其对概念的理解更深刻、更易于迁移和形成技能。

学生在运用“减法的运算性质”时为什么总出错？有所感才有所思，然后才能有所知，如果第一次对事物没有准确的感知，那么以后即使重复多次，也难以消除已经造成的模糊印象。教学追求“立儿童发展之本，求数学学习之真”，作为教师，应充分认识到所教内容的育人价值、清楚数学内容的本质、了解学生的问题、规划教学的线索，在学科与学生之间搭建桥梁，让教育活动真实发生。因此，不仅在“减法的运算性质”教学中应坚持素养立意、强化首次感知、丰盈探究过程，而且在任何一个数学内容的教学中都应尊重探究的一般路径，给予学生充分的过程性体验，帮助其建立清晰的认知，使其达到深度理解并运用自如。