一元二次方程公共根问题的解法点拨

夏鸣

一元二次方程的公共根，是指同时满足两个或两个以上的一元二次方程的根.它是联系两个或多个方程的重要纽带，也是中考考查的热点之一.求解这类问题的一般方法是运用方程的根的定义，并借助方程组的相关知识.本文通过一些不同形式的例题，介绍解答一元二次方程公共根问题的几种方法.

一、设公共根法

设公共根法，是指先设出两个或两个以上方程的公共根，然后把所设公共根分别代入各个一元二次方程中，得到关于公共根的一元二次方程组，接着通过恰当的恒等变形，进而求出公共根及相关参数的值.

例1已知一元二次方程（a+2）x2-2x-1=0与（a+2）x2+ax+a+1=0有公共根，则 a 的值为    .

分析：本题要求根据两个方程有公共根求出参数 a 的值.解答时，不妨设出公共根，再利用根的定义解题.

解：

评注：设公共根法是解答一元二次方程的公共根问题最为常用的一种方法.它的基本思路是先设出公共根，再利用根的定义列出有关公共根的方程组，解方程组求得公共根即可解题.

二、求根代入法

如果题目中的某一个方程通过化简变形可以直接求解，則先求出这个方程的两个根，再把这两个根作为公共根，逐一代入到另一个方程中进行讨论验证，最后综合归纳得出问题的最终答案.这就是求根代入法.

例2当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x2-（k +2）x +2k =0与方程 kx2-（3k -4）x -12=0有一个相同的实数根？

分析：通过审题，我们不难看出本题中的 x2-（k +2）x +2k =0可以化为（x -2）（x -k）=0，这样此方程就可以得到两个根，即 x =2或 x =k，再把它们作为公共根，分别代入到 kx2-（3k -4）x -12=0（k ≠0）中，即可使问题 迎刃而解.

解：

评注：求根代入法实际上就是先求一个一元二次方程的根，再把所得的根代入另一个方程中求解验证.

三、加减消项法

加减消项法，是指先把已知条件中的两 个方程通过相加或相减，消去二次项，得到一 个一元一次方程，然后通过解一次方程探讨 未知系数的取值问题，最后求出方程的公共 根及相关参数的值，从而达到解题的目的.

例 3 当 m 为何值时，方程 x 2 + mx - 1 = 0 与方程 x 2 + x +（m - 2）= 0 有公共根？并求出 此公共根.

分析：观察两个方程，两式相减后可以得 到 （m - 1）（x - 1）=0，这样求解时直接利用作差 消项求根法即可快速解题.

解：

评注：加减消项法的实质，就是将两个方 程通过求和或作差消去二次项，把一元二次 方程问题转化为一元一次方程问题.

总之，解答一元二次方程公共根问题的 方法多样，可设出公共根，联立方程组求解， 也可先求得一个方程的解，再代入另一个方 程中进行求解，还可以把两个方程相减（或相 加），消去二次项，将问题转化为一元一次方 程后求解.