基于APOS理论的椭圆概念教学实践分析

江苏省灌云高级中学 (222000) 孙 红

江苏省太湖高级中学 (214125) 翟洪亮

美国学者杜宾斯基等人建立的针对数学概念学习的APOS理论，强调学生学习数学概念需要进行心理建构，经历操作(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Schemas)四个阶段,APOS理论的应用改变概念教学中静态的教学方式，根据学生的认知规律，以活动为载体，通过操作使学生感受概念的形成过程，有利于学生结合自身经验，建构新的概念体系，提升学生的数学素养.椭圆的几何性质中概念较多，基于APOS理论的指导，从特殊的椭圆着手，让学生实验操作去感受相关概念、性质的发生过程，再引导学生从方程的视角加以研究，现整理如下：

一、教学实录

1.问题引入，承上启下

师：前面我们学习了椭圆的标准方程，完成椭圆教学的第一任务：根据已知条件,求出椭圆的方程.请大家做练习：

1.已知A(-2,0)，B(2,0)，且CA+CB=8，则点C所在曲线的方程为.

2.已知A(-2,0)，B(2,0)，且ΔABC的周长为12，则点C所在曲线的方程为.

对于第1题，哪位同学回答一下？

图1

师：很好！哪位同学回答一下第2题？

师：答案正确吗？

生：不正确，如图2，若要构成三角形，则要去掉直线AB上的两点(-4,0)，(4,0).

图2

生：由图2知点C横坐标的取值范围是-4

师：这是从图形的视角得到的.若从椭圆方程的视角加以分析，谁能给出它的求解的过程呢？通过椭圆方程,研究椭圆的性质，这是椭圆教学的第二任务.

设计意图：通过题组，既巩固所学椭圆的方程，又引出椭圆的范围问题，自然过渡到椭圆的几何性质，即椭圆教学的第二任务，旨在提高学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等数学素养.

师：这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内.

设计意图：从特殊椭圆到一般椭圆，从图形直观到方程性质，符合学生的认知特点，便于学生接受新知.旨在提高学生的数学运算和逻辑推理等数学素养.

2.妙用旧知，衔接自然

图3

师：由此能得到什么？

师：请大家将纸片分别沿x轴、y轴对折，看椭圆的两侧是否重合？

生：重合.

师：这说明猜想是正确的,如何证明呢？

(1)3x2-2y2=1；(2)x2+2xy+3y2=0；

(3)y=3x2+1.

生：(1)3x2-2y2=1所表示的曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2)x2+2xy+3y2=0所表示的曲线不是关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(3)y=3x2+1所表示的曲线仅关于y轴对称.

图4

师：由抛物线类比到椭圆，两条对称轴与它的四个交点都是椭圆的顶点，线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.现在请大家思考：在求椭圆的标准方程时，为什么要令a2-c2=b2呢？

生：在图4中，a，b，c恰是Rt△B2OF2的三边长，b有特定的几何意义.

和焦点坐标F1(-2,0)，F2(2,0).

设计意图：由特殊椭圆上的整点猜想其对称性，进而推广到一般椭圆的对称性证明，通过练习过渡到抛物线对称性的判断，再由抛物线的顶点顺利过渡到椭圆的顶点.旨在提高学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等数学素养.

3.动画展示，促进理解

师：请大家拿出圆规和棉线，通过实验操作探讨下列问题：在保持棉线8个单位长度不变的情况下，当焦距AB变长时，椭圆的形状如何改变？当焦距AB变短时，椭圆的形状如何改变？

生：因为保持棉线长度不变，所以椭圆的长轴长不变.当焦距AB变长时，如图5，椭圆变扁；当焦距AB变短时，如图6，椭圆变圆.(教师同时通过几何画板演示)

图5

图6

师：当焦距AB变长时，焦点离开椭圆中心O越来越远；当焦距AB变短时，焦点离开椭圆中心O越来越近.如何刻画椭圆焦点离开中心的程度呢？(学生沉默)我们是如何刻画直线的倾斜程度呢？

生：利用直线的斜率.

师：直线的斜率是纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比.当甲乙两人在不同时间跑完不同的路程，我们又是如何比较他们的快慢呢？

生：比较他们的速率(路程与时间之比)，谁的速率大，谁就快.

师：那么如何刻画焦点离开中心程度呢？

生：也用比率，可用焦距与长轴长的比.

生：椭圆越接近于圆.

师：当e越接近于1时，椭圆形状如何改变？

师：这个问题含金量很高.谁能解答这个问题？

设计意图：在保持长轴长不变的情况下，通过改变焦距，让学生直观感受到椭圆的圆扁程度变化，由斜率、速率类比到离心率，让学生从原始定义出发，帮助学生理解新知，提高学生的直观想象、数学抽象等数学素养.

4.自主探究，巩固新知

师：我们现在可以利用相关性质求椭圆的标准方程.请大家完成练习：

(1)中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于10，短轴长等于6的椭圆的标准方程为.

(2)中心在原点，长轴长等于10，离心率等于0.6的椭圆的标准方程为.

设计意图：通过练习，强化学生利用椭圆性质解决问题能力，旨在提升学生的数学运算和逻辑推理等核心素养．

二、课后感受

1.注重引入，使内容过渡自然

核心素养是在特定的情境中表现出来的知识、能力和态度.基于核心素养的数学教学特别重视情境的创设和问题的提出.解析几何教学解决的两大任务：一是根据所给条件求圆锥曲线的方程；二是根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质.椭圆的几何性质是解析几何中首次比较系统地根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的几何性质，这对学生来说是全新内容，本节课通过两个相关习题，直奔主题，从点满足椭圆的定义得到椭圆的标准方程出发，通过变式引出椭圆的范围,实现从图形到方程视角的转变，从等式到不等式的跨越，旨在强调通过椭圆的方程来研究椭圆的几何性质的目的，让学生去初步领略解析几何的第二任务，体会它的教学价值.

2.注重操作，使学生认识深刻

椭圆的几何性质这一节概念多，为了让学生认识深刻，通过让学生动手操作，在操作中接受多方信息刺激，感悟相关概念和性质.如让学生通过对所画特殊椭圆的观察、整点代入方程验证，发现四个特殊整点间的对称关系，通过折叠图形验证，猜想椭圆的对称性，再上升到理性的代数证明.当操作中点C位于椭圆短轴时，在直角三角形中易得a2=b2+c2，通过图形直观有力地揭示在求椭圆方程时为何要令b2=a2-c2的根源所在，加深学生对椭圆短轴的理解.在保持椭圆长轴长不变的情况下，通过改变焦距的大小，画出不同形状的椭圆，让学生直观感受到椭圆的圆扁程度与焦点离开中心的远近程度有关，便于学生理解离心率的定义.

3.注重类比，使学生理解容易

著名心理学家奥苏泊尔说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道什么.要探明这一点，并应据此进行教学.”这说明教学应从学生已有的知识、经验和能力出发，立足最近发展区，要注重新旧知识间的类比.注重研究方法的类比.在代数中研究指数函数、对数函数的图象和性质时都是由特殊的指数函数、对数函数的图象着手，归纳得到一般的指数函数、对数函数的图象和性质.同样在解析几何中，对于椭圆的性质研究也可以从特殊椭圆着手，再推广到焦点在x轴上的一般椭圆的性质，从而可以放手让学生自主探究焦点在y轴上的一般椭圆的性质.由抛物线的顶点位置类比到椭圆的顶点位置，衔接自然.注重定义的类比，通过斜率、速率类比到离心率的定义，用比值来刻画方法是自然的，在后面导数的学习中平均变化率也是通过比来刻画的，使学生深刻地认识到数学知识和数学方法是相互连通的，从而发展学生数学眼光，提升学生的数学素养.