一道模考题的多视角解法探究
2023-04-03江苏省溧水高级中学211200丁称兴
中学数学研究(江西) 2023年4期
江苏省溧水高级中学 (211200) 丁称兴
一、试题呈现
图1
本题以三角形为载体、以向量为媒介,综合考查了向量、三角形中的相关知识,着重考查了向量中的“三点共线”、向量的数量积运算及正、余弦定理在解三角形中的应用.解三角形是三角函数模块的重点内容之一,也是高考命题的热点,这类试题中蕴含着极为丰富的数学思想方法,同时向量作为一种工具,为解决很多的长度、角度问题提供了方法.
二、解法探究
(2)视角1:边角联系,余弦牵线
视角2:向量共线,内化结构
图2
视角3:形式化归,边角转换
评析:通过“向量的数量积公式”将已知的“向量的数量积关系”转化为三角形中的“边角关系”,借助“形式化归”转化为两直角三角形中的边的关系,则问题迎刃而解.
视角4:勾股定理,化斜为直
评注:直角三角形中,我们不难想到“勾股定理”,此法分别在有公共直角边的两个直角三角形中两次利用“勾股定理”,建立直角边BH,CH的比例关系,为在直角三角形中表示角的正切做好铺垫,此时证明则水到渠成.
视角5:基底意识,目标归一
视角6:几何探微,相得益彰
视角7:数形相依,“系”中有道
(法七)如图3,延长AP交BC于点H,则AH⊥BC.以点H为坐标原点,BC边所在的直线为x轴,则点A,P在y轴上.设A(0,a),B(-b,0),C(c,0),
图3
评注:向量既有几何属性,又有代数属性,处理向量问题,除了从几何直观的角度研究之外,还可以从代数运算的角度进行处理,需要我们根据所给图形的几何特征合理建立直角坐标系,设出“主”动点的坐标,以其为主元,将问题转化为关于主元的问题来处理,体现了“数形结合”思想的应用.