例谈函数对称性在解题中的应用

江苏省常州市前黄中学国际分校 (213161) 陆 德

题型一 根据函数自身的对称性

(2)已知m,n∈R，并且m+3n=1，求mem+3ne3n的最小值；

(3)已知函数f(x)=(2x+a)(|x-a|+|x+2a|)(a<0)，若f(1)+f(2)+f(3)+…+f(672)=0，则求满足f(x)=2019的x的值.

(3)注意到

又因为

(2)降粘型聚羧酸减水剂的降粘性能优于市售普通减水剂，与国外同类产品性能相当，可显著降低C60混凝土的粘度，且具有较好的分散性能。

评注：此类题目题干中并未明确给出函数单调性、对称性等相关信息，单调性相对比较隐蔽，透过数据信息、题干结构特征等提炼出函数对称性信息是解决本类复杂问题的重要突破口.

题型二 根据两个函数间的对称性

(2)设函数y=f(x)与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1,求a的值.

(2)设(x,y)是函数y=f(x)的图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点的坐标为(-y,-x),由题意知(-y,-x)在函数y=2x+a的图象上,所以-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a，所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2.

题型三 根据两函数间部分点的对称性

评注：两函数f(x)，g(x)图像上存在若干组点关于直线或点对称问题一般先求出一个函数f(x)图像对称后的解析式h(x)，然后建立方程h(x)=g(x)，由此将图像对称问题转化成了方程有解问题.此类问题本质上依然是利用两个函数间的对称性，考查了转化与化归的能力，其综合性较强.