一道解析几何习题的探究式学习
2023-04-03内蒙古呼和浩特市第一中学010020王冠华
内蒙古呼和浩特市第一中学 (010020) 王冠华
内蒙古师范大学附属中学 (010020) 王洪军
解析几何在高中数学中的地位非常重要，凭借其繁难的运算占据历年高考或模拟考压轴题的位置，尽管每年的考试题目表面上看各不相同，但在深入探究之后，总会发现这些题目与熟悉题目之间的联系.笔者在高三试卷讲评时，每当阐述这些解析几何问题的根源或本质时，很多学生都会发问“这个问题也不算难，为什么我没有想到？”其实上述场景在学习数学其他模块的过程中也会经常出现，学生们之所以无法识别或破解相关问题，关键还是对知识的学习停留在“就题论题”的模仿阶段，事倍功半.针对学生学习过程中的这些问题，本文以一道解析几何习题为载体，通过对问题的深入剖析与思考，尽量站在学生的角度尝试对探究式学习究竟“探”些什么，以及怎么“探究”给出个人的一些建议，希望能对读者有所帮助.
一、问题的提出与初步思考
典例已知抛物线y2=2px(p>0)上的点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为.
从题目条件的表述上很容易发现直线BC是如何形成的，按照其形成过程，直接入手就能做，即通过求出直线AB，AC与抛物线的交点B，C，进而得到直线BC方程，方案一便是基于这一思路而得到的解决方法.
上述解答要把点B，C的坐标分别求出来，导致运算量增大，这种“设且求”的解决办法与平时教学或学习中倡导的通过“设而不求”来简化运算的想法不太相符，针对上述情况，学生作探究式学习时可以尝试通过不同视角来审视问题，以便能达到目的.
二、问题深入探讨及改进方案
利用常规方法考虑点B，C时，由于其分属于两条不同的直线AB，AC，从而像方案一那样通过联立一一求解，如果放弃求点的坐标而选择从所求直线BC直接入手，那么解决问题的关键是如何将已知条件巧妙的加以转化，下面的方案二提供了一种解决问题的方法.
图1
上述方案的关键是构造方程y′2+(4y′-2x′)(mx′+ny′)=0，这是依赖于相交曲线系的原理，虽然这个知识点没有在教材正文显著的位置出现，但是在课后习题中却有所涉及，换言之，这种构造方程的想法源于教材.
结论抛物线y2=2px(p>0)上三个互异的点A(x0,y0)，B，C，其中y0≠0，令直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC.
上述结论利用方案二的方法容易证明的，限于篇幅，这里略去过程.
方案二通过构造方程来回避“设且求”，虽然不够直接与简洁，但它却是打开新思路大门的钥匙，由此继续进行探究，如果注意到线段AB，AC，BC均为抛物线的弦，条件及所求其实是考查弦所具有的特殊性，那么我们可以借助弦所在的直线方程来进行相应的探讨.
直线BC的方程为3x+6y+4=0.
与方案二相似，同样是借助构造方程这一思想方法达到简化运算的目的，但视角不同，这里充分利用条件与所求的特殊性，使得解答更为简洁.倘若注意到点B，C即在直线上又在抛物线上，那么我们还可以对上述解答作进一步优化.
方案四：由上述解答得到
再由
可得，3xB+6yB+4=0，3xC+6yC+4=0，因此，点B，C的坐标满足直线3x+6y+4=0的方程，也就是说，直线BC的方程为3x+6y+4=0.
