求解多元最值问题的几种措施

刘举

多元最值问题中往往涉及多个变量，无法直接利用简单基本函数的性质以及图象来求解，需从已知条件和目标式的结构特征入手，灵活运用三角换元法、消元法、基本不等式法等求解.下面结合实例谈一谈求解多元最值问题的几种措施.

一、消元

消元法是解答多元最值问题的重要方法，即根据变量之间的关系，用其中某个变量来表示其他变量，从而达到消元的目的，进而将题目转化为单变量最值问题，利用函数的单调性、导数法进行求解即可.

例[1].已知[a>0，b>0，c>0]，且[ab=1，a2+b2+c2=4]，求[ab+bc+ac]的最大值.

解：由[a2+b2+c2=4]可得[4-c2=a2+b2≥2ab=2]，

则[ab+bc+ac=1+ca+b]

二、三角换元

运用三角换元法解答二元最值问题，通常要用[sinα、cosα、tanα]来替换问题中的变量，然后通过三角恒等变换化简目标式，从而将问题转化为三角函数最值来求解.在进行三角换元时，往往要寻找或构造与同角的三角函数关系式[sin2α+cos2α=1]结构一致的式子.

例[2].已知实数[x，y]满足[x2+y2≤1]，求[x2+2xy-y2]的最大值.

解：令[x=rcosθ，y=rsinθ]，且[0

则[x2+2xy-y2=r2cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ]

由[x2+y2≤1]可以联想到同角的三角函数关系式[sin2θ+cos2θ=1]，于是令[x=rcosθ，y=rsinθ]，且[0

三、利用基本不等式

解：因为[x>y>z>0]，

通过观察、分析，可发现目标式为两个单项式的和，后一项的分母由两项的积构成，于是将[x-z]配凑成[（x-y）+（y-z）]，使其与后一项的分母相乘为常数，这样便可直接利用基本不等式求得目标式的最值.

求解多元最值问题，要仔细研究变量之间的关系，将其与目标式关联起来，通过消元、三角换元，或利用基本不等式，顺利求得最值.