解答二元最值问题的两种途径

孔令春

二元最值问题看似较为简单，解答起来却非常复杂.这类题目中给出的条件往往比较少，却涉及两个变量，很多同学在解题时不知该如何下手.下面结合几道二元最值问题，谈一谈解答此类问题的两种途径.

一、消元

消元法是解答二元最值问题的常用方法.通常可直接根据题目中的已知条件或隐含条件，用其中的一个变量去表示另外一个变量，将目标式化为只含有一个变量的式子，即可将二元最值问题转化为常规的单变量最值问题，再利用函数的单调性、导数法、基本不等式求最值，即可解题.

因为[x，y>0]，所以[y>1]，

根据已知关系式用y表示x，即可将目标式化为关于y的函數式，再利用基本不等式求最值即可.

例3.已知[x，y>0]，且[xy（x+y）=4]，求[2x+y]的最小值.

将已知关系式中的[x]视为主元，将[y]视为参数，即可将问题转化为一元二次方程问题，再根据求根公式求得x的表达式和目标式，即可将目标式化为只含x的式子，再利用基本不等式即可顺利求得最值.

二、构造齐次式

当且仅当[t=2，y=2x]时，等号成立.

构造齐次式的关键在于通过配凑、做除法，使得分子、分母中变量的次数一致，这样便可通过整体代换，将问题转化为常规函数最值问题来求解.

由此可见，解答二元最值问题，需注意：（1）将已知关系式和目标式关联起来；（2）通过消元、齐次化等方式来减元；（3）灵活运用求最值的方法，如函数性质法、导数法、基本不等式法.