活用勾股定理 探究一题多变

蔡忠平

一、应用勾股定理探究图形面积

例1 如图1，在直线l 上有三个正方形，面积分别为a，b，c，若a = 5，c = 11，则最大正方形的面积b是多少？

思路点拨：根据“AAS”可证Rt△ABC ≌ Rt△BED，则BC = ED，

由勾股定理易得b = a + c = 16.

变式1：如图2，以Rt△ABC的三边为斜边，分别向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB，面积分别为S1，S2，S3，则S1 + S2 = S3. （请同学们尝试证明）

变式2：如图3，在Rt△ABC中，AB = 4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1 + S2 = 2π. （请同学们尝试证明）

二、应用勾股定理解决折叠问题

例2 如图4，一长方形纸片ABCD中，AD = 4，AB = 8，将长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，求DE的长.

思路點拨：由折叠可知DE = BE.

设DE = BE = x，则AE = 8 - x.

在Rt△ADE中，AD2 + AE2 = DE2，

即42 + （8 - x）2 = x2，可得x = 5.

故DE的长是5.

变式1：如图5，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF，则BG的长为2.  （请同学们尝试证明）

变式2：如图6，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，DM，将△DCM沿DM折叠，使点C落在AM上的点E处. 若DE = DC = 1，AE = 2EM，则BM的长为[2√5/5]. （请同学们尝试证明）

三、应用勾股定理探索最短距离

例3 图7是一个长为4 cm、宽为3 cm、高为12 cm的长方体无盖盒子，将一根长15 cm的细吸管放入盒内，吸管露出盒子的最短长度能是多少？（牛奶盒的厚度、细吸管的粗细均忽略不计）

思路点拨：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC = 5（cm）.

在Rt△ACD中，可得AD = 13，15 - 13 = 2 （cm）.

因此，吸管露出盒子的最短长度是2 cm.

变式1：如图8，长方体的长和宽均为3 cm，高为10 cm，一只蚂蚁从点A出发，经过4个侧面绕2圈到达点B，则蚂蚁爬行的最短路线是26 cm. （提示：侧面展开图如图9所示. 请同学们尝试证变式2：如图10，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短距离为20 cm.  （提示：侧面展开图如图11所示. 请同学们尝试证明）