巧构图 现等腰

卢宗凯

大连理工大学附属学校张颖老师的直播课《重构等腰三角形》选自辽宁教育学院“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。

在张颖老师的课堂上，一题多法构造等腰三角形，将图形中的转化思想体现得淋漓尽致. 同学们在解题时，若看见二倍角，也可以联想并构造等腰三角形.

模型构建

基本模型：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在CB上，且∠B = 2∠CAD. 若以AC为对称轴，将△ACD翻折，得到△ACE，则∠E = ∠BAE.

解析：设∠CAD = x，则∠ABC = 2x，∠E = 90° - x，

∴∠BAE = 180° - 2x - （90° - x） =  90° - x，

∴∠E = ∠BAE.

基本模型结论：△ABE和△AED都是等腰三角形.

模型运用

例1 如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在CB上，且∠B = 2∠CAD，若CD = 1，AB = 5. 求AC的长.

解析：以AC为对称轴，将△ACD翻折，如图1，由基本模型结论可知△ABE和△AED是等腰三角形，且∠AEB = ∠BAE，易得BE = AB = 5，BC = BE - CE = 4.

在Rt△ABC中，AC = √（AB-BC） =√ （5-4） = 3.

反思：再以AC为对称轴，将△ACB翻折，如图3，由基本模型结论可知△ADF和△AFB是等腰三角形，从而求出AC.

变式延伸

例2 如图4，在△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 60°，D在CB的延长线上，E在BC上，BD = 2CE，∠BAE = 2∠BAD，若AB = 8，求AE.

解析：设∠BAD = α，∠BAE = 2α，

∵∠ABC = 60°，∴∠D = 60° - α，∠AEC = 60° + 2α.

出现二倍角，可联想构造等腰三角形. 对照基本模型，延长EC至F，使CF = CE，连接AF，如图5.

易得△AEF是等腰三角形，AE = AF，

∴∠F = ∠AEC = 60° + 2α，

∴∠DAF = 180° - ∠D - ∠F = 60° - α，

∴∠D = ∠DAF，∴AF = DF.

设CE = x，则BD = 2x，

∵∠ACB = 90°，∴∠BAC = 90° - ∠ABC = 30°，

∴BC = [1/2AB] = 4，∴AC = [4√3]，

∴AF = DF = 2x + 4 + x = 3x + 4.

根据AF² = AC² + CF²，可得（3x + 4）² = （[4√3]）² + x²，∴（x + 4）（x - 1） = 0，

∵x > 0，∴x + 4 > 0，∴x = 1，∴AF = 7，∴AE = AF = 7.

分層作业

难度系数：★★★ 解题时间：12分钟

1. 如图6，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC > AC，点D在BC边上，DB = 3DC，2∠B = ∠CAD，若AD = 5，求AB的长.

2. 如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，已知S△ADC = 14，S△ABD = 10，求△ABC的面积.

3. 如图8，在△ABC中，AC = 2AB，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E是AD上的一点，且EA = EC.  求∠ABE的度数.

参考答案

1. AB = [4√10]（提示：延长BC至E，使CE = CD，连接AE）

2. 28 3. 90°