圆轨道有限时间收敛导引律

赵 琴

(北京控制与电子技术研究所，北京100038)

1 引言

地球静止轨道上运行的卫星，由于相对地面上的任何一个观测者静止，因此给地面观测带来诸多便利。另外，高轨应急任务，应急发射一颗服务飞行器对出现故障的航天器进行救援服务等任务，需要将服务飞行器发射进入GEO轨道指定目标点附近定点[1]。绝大多数的应用卫星都是近圆轨道的卫星，运载火箭送卫星入轨时的误差(初始误差)越小给卫星轨道控制带来的难度越低、燃料消耗越少。研究近圆轨道所用的动力学模型可以按照圆轨道近似，形式简单[2]。直接定点入轨是指运载火箭克服各种干扰，直接将飞行器一次性送入预定轨道。直接将飞行器一次性送入预定轨道，具有特别重要的意义，比如空间应急救援、空间快速轨道运输等。进而，研究近圆轨道减小初始位置和速度误差问题可以转化为研究减小圆轨道入轨时的初始位置和速度误差问题。因此，研究减小圆轨道入轨时的初始位置和速度误差具有重要的意义。

通常运载器采用闭路制导方法将飞行器送入期望的飞行轨道[3]。由于闭路制导方法是根据目标点位置进行导引的，在动力没有约束的情况下理论上最终能够到达期望的目标点，然而，速度矢量只能在期望的速度矢量附近，并不能完全与期望的速度矢量一致，并且由于姿态控制误差、推力误差、发动机安装误差等的存在，将飞行器送入期望的轨道时必然存在初始位置误差和初始速度误差。因此，运载器将飞行器送入期望轨道后，仍需要继续进行轨道修正，使得飞行器进入期望的轨道。

有限时间控制方法由于其快速的收敛性及其良好的抗干扰性能和鲁棒性得到了广泛的关注和应用。目前，有限时间稳定性在航天领域得到了广泛地应用。有限时间稳定指系统能够在有限时间内以任意初始状态收敛到平衡状态。由于滑动模态对干扰等具有不变性，并且控制算法较简单，因此滑模变结构控制广泛应用于航天领域[4]，[5]。对于干扰，传统滑模控制收敛特性取决于趋近律的选取，由于没有对时间的约束，往往不能满足对系统快速收敛的需求。因此，结合有限时间稳定性原理和滑模控制理论，来改善系统的收敛速度，以满足系统对快速收敛的需求。

简单地利用离心力和推力平衡重力的方法，能够使得飞行器保持在一定的飞行高度，但由于入轨时的初始位置和速度误差的存在，并且该方法无法修正圆轨道入轨时的初始位置和速度误差，最终飞行轨道并不是期望的飞行轨道。本文将在考虑圆轨道入轨时的初始位置和速度误差修正的基础上并进行高精度导引，既修正初始位置和速度误差，又能进行高精度导引。本文基于有限时间稳定原理结合滑模控制理论，针对减小圆轨道入轨时的初始位置和速度误差问题，提出一种圆轨道有限时间收敛导引律。首先，利用有限时间收敛理论对其收敛特性进行了分析，并给出了收敛时间下界。最后，通过数学仿真，验证了所设计的导引律的有效性。

2 问题提出

图1 运载火箭发射卫星飞行轨道示意图

发射静止卫星一般采用轨道转移的方法。有两种类型：一种是星箭分离后，卫星进入近地点为几百公里的、远地点为同步高度左右的大椭圆轨道，称为转移轨道。转移轨道倾角一般不为零。接下来由星上发动机和姿态轨道控制分系统完成进入静止轨道的任务。另一种类型是航天飞机或大型运载火箭将卫星和一级火箭送入停泊轨道[6]。停泊轨道可能是几百公里的圆轨道，也可能是近地点几百公里，远地点一千多公里的椭圆轨道。在停泊轨道上近地点发动机工作，将卫星送入转移轨道。接下来的过程和第一种类似。考虑到星上控制系统推力器还需要将轨道圆化，在航天器飞行入轨时，尽量减小初始位置和速度误差，从而减轻后续轨道机动和控制的压力。

通常运载器采用闭路制导方法，将飞行器运送到空间特定区域并使之达到期望的速度矢量。闭路制导原理框图如下图所示。

图2 闭路制导导引飞行原理框图

采用闭路制导方法导引航天器进入圆轨道飞行，进入轨期望轨道时，往往会有初始位置误差和速度误差。并且，圆轨道要求飞行过程中有保持向径大小的需求，工程实践中通常利用离心力和推力平衡重力，从而保持圆轨道高度。但是，航天器进入圆轨道存在的位置和速度偏差，使得使用上述方法仅仅是保持向径大小在初始值附近，甚至由于初始速度偏差的作用，随着飞行时间拉长轨道会越来越偏离期望的飞行轨道。本文给出一种圆轨道有限时间收敛导引方法，有效减小入轨时的位置偏差和速度偏差。

2.1 运载器运送飞行器进入轨道

参考文献[7]中的大气层外的闭路制导方法，运载器运送飞行器进入轨道采用该种闭路制导方法。

首先，根据当前点C运载器质心对应的地心矢径rL、当前点C运载器质心对应的地心纬度φL、当前点运载器质心C到目标点T的绝对经差λTC、发射点到当前运载器质心的绝对经差λOL、发射点到目标点的绝对经差λOT、目标点的地心矢径rT、目标点对应的地心纬度φT，迭代计算以下公式：

βj=acos{sinφLsinφT+cosφMcosφTcos

[λOT-λOL+Ω(t+tfj)]}

ξTj=βj+ξLj

(1)

重复以上迭代过程，直到当j=N时，满足迭代终止条件|pj+1-pj|<Δp，其中Δp为根据实际情况选取的迭代终止判断值。

为了防止迭代发散，设置最大迭代次数为J。当达到最大迭代次数时停止迭代。

迭代结束后，取β=βN，p=pN，θH=θHN，用下面的公式计算需要速度VR

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

运载器发动机推力沿着待增速度矢量的方向，持续工作，最终能够将飞行器运送到期望的目标点。因此，需将运载器姿态调到指向待增速度矢量的方向，运载器发动机推力就会沿着待增速度矢量的方向推进。因而，俯仰姿态角指令φC、偏航姿态角指令ψC可以按照下面的公式计算

(7)

(8)

滚转姿态角指令γC直接取为0即可，即

γC=0

(9)

按照如上姿态角指令控制运载器姿态，即可实现期望的导引，将运载器导引到期望的位置点。

2.2 飞行器入轨后的动力学建模

航天器圆轨道飞行过程中入轨时，往往会有初始位置和速度误差，并且圆轨道要求飞行过程中有保持向径大小的需求，通常利用离心力和推力平衡重力，从而保持圆轨道高度。但是，航天器进入圆轨道往往存在偏差，运载器运送飞行器进入期望飞行轨道，采用闭路制导方法仅仅能保证向径大小在期望值附近。因此需要对圆轨道位置和速度误差进行修正，考虑圆轨道的特点对圆轨道进行下面的动力学建模。

航天器圆轨道飞行过程中轨道径向满足方程[8]

(10)

其中，r为向径模量，vH为航天器水平方向的速度大小，μE为地球引力常数，u为控制量。

选取状态变量

(11)

系统对应的状态空间方程可以用下面的公式表示

(12)

结合式(10)和式(12)得到系统状态空间方程

(13)

圆轨道导引目标为使得

x1→0，x2→0

(14)

也就是说圆轨道的导引目标为使得向径大小为期望的向径大小，向径变化率为0。

3 有限时间稳定定义及相关引理

下面给出有限时间稳定定义相关引理。

定理 1：考虑系统

(15)

其中f：U0×R→Rn在U0×R上连续，而U0是原点x=0有限时间收敛是指对任意初始时刻t0给定的初始状态x(t0)=x0∈U，存在一个依赖于x0的停息时间T≥0使得方程(5)以x0为初始状态的解有定义x(t)=φ(t，t0，x0)有定义，并且

(16)

及当t∈[t0，T(x0)]时，φ(t，t0，x0)∈U/{0}。此系统的平衡点有限时间稳定，指Lyapunov稳定和在原点的一个邻域里有限时间收敛[9]。

引理 1：考虑非线性系统(15)，假定存在一个定义在原点的邻域⊂Rn上的C1光滑函数V(x，t)，并且存在实数α>0和0<λ<1，使得V(x，t)在上正定和半负定，则系统的原点是有限时间稳定的。

证明： 见参考文献[9]。

3.1 圆轨道有限时间收敛导引律设计

选取滑模面

(17)

其中γ>0、p=1。

定理 2：对于系统(13)和选定的滑模动态(17)，选取导引律

(18)

其中，β>0、γ>0、p=1。

证明：

选择Lyapunov稳定函数

V=S2

(19)

由(13)、(17)、(18)得到

(20)

该Lyapunov函数的导数为

(21)

选取控制

(22)

得到

(23)

由于p=1，并且又有式(23)成立，因而系统(13)在控制律(18)的作用下是有限时间稳定的。

4 仿真验证

图3 径向速度变化

运载器将飞行器运送到期望的飞行轨道，由于导引方法及姿态控制偏差、发动机推力偏差，考虑圆轨道初始位置和速度偏差问题。针该问题分别采用两种导引方法进行六自由度数学仿真，控制周期5ms，运载器运动模型仿真周期1ms，对比利用离心力、推力平衡重力方法(简记为原方法)和圆轨道有限时间导引律(简记为新方法)两种方法对圆轨道向径和向径变化率的导引效果。仿真中采用圆轨道有限时间导引律的相关参数选取如下：β=2、γ=5、p=1。

在航天器圆轨道入轨时，存在60m误差的情况下，采用离心力和推力平衡重力的方法，向径大小随着飞行时间拉长越来越偏离期望值；采用Lyapunov函数设计的圆轨道有限时间收敛导引律导引，向径偏差很快收敛到0附近，并且稳定在0附近，可以看到向径变化率基本在0附近，从而保证了向径偏差稳定在0附近。

图4 速度倾角变化

图5 向径误差变化

图6 向径变化率

5 结论

运载器将飞行器送入期望的飞行轨道，但是由于发动机推力误差的存在、姿态控制带来的偏差等，入轨时存在初始位置和速度偏差，因而入轨后飞行器需要对位置和速度误差继续进行修正，以到达期望的飞行轨道。本文针对圆轨道入轨时的初始位置和速度误差修正问题和高精度导引问题，通过利用Lyapunov函数给出一种圆轨道有限时间收敛导引律，该方法可以对圆轨道入轨时的初始位置和速度误差进行修正并实现高精度导引。文中给出的仿真实例，通过与传统方法对比说明了该方法能够有效消除初始位置和速度误差，能够有效实现高精度导引。