情境—专题—多元：数学符号意识进阶之道

来 峥|浙江省杭州市安吉路教育集团新天地实验学校

在解决包含字母的数学问题时，初中生往往存在较强的畏惧心理，通常这是由数学符号意识缺失造成的.因此，教师应尽可能地利用各种知识载体，促使学生积累数学符号应用的活动经验，并感悟其中所蕴含的数学思想.下面，笔者以浙教版义务教育教科书《数学》（以下简称“浙教版教材”）的教学为例，从情境化、专题化、多元化三个方面，谈谈在教学中渗透数学符号意识的一些理解与思考.

一、导入情境化，激发符号学习的兴趣

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“《课程标准》”）提出：能够从实际情境问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达.相对于“数”，用符号表达和运算比较抽象，学生不易理解，如果只是让学生机械地进行练习和记忆，会造成学生对符号的恐惧和排斥.因此，教师要尽可能地在实际的问题情境中帮助学生理解符号及表达式、关系式的意义，在解决实际问题的过程中培养学生的符号感.在课堂教学中，教师要还原知识产生的情境，引导学生适应知识真实的样态.枯燥、单一、乏味的符号，只有真正融合到生活情境，才会被赋予丰富的内涵，才能活力四射、灵性十足［1］.

（一）感受符号表达之简

浙教版教材七年级上册第4 章第1 节《用字母表示数》是学生初次体验用字母表示数的意义，如何让学生接纳这个新事物很关键.教材提供了两个实际背景——儿歌和单价问题，笔者认为它们不足以吸引学生的注意力，因此借助游戏《我知你心》引入.

学生在心中默想一个数字，把这个数加上2，再把它们的和乘以3，减去一开始默想的数，最后减去6，只要学生报出结果，教师就能猜到学生心中的数.

在笔者连续猜中几个学生的答案后，学生大呼神奇，非常好奇笔者是怎么做到的.于是，笔者揭秘游戏过程其实可以用代数式（a+2）×3-a-6＝2a来表示，让学生感受这里的a可以代替一切数，体会字母代表数的意义，激发学生学习符号的兴趣.接着列举“日历中的秘密”“商场里的秘密”等生活中的情境，让学生尝试用字母去表示规律，发现生活中处处有符号，并体会符号的简洁和魅力.

（二）体现符号表达之美

在浙教版教材九年级上册第4 章第1 节《比例线段》的教学中，笔者先让学生欣赏相关图片，然后从“雷峰塔位于南山路水岸线与苏堤间的黄金分割点”导入，启发学生通过设元解一元二次方程计算黄金比，得到0.618 这个美妙的结论.又如数轴作为特定的几何图形，本质上也是一种数学符号，学生认识了数轴后，就可以将正数、零、负数区别开来，理解数形统一，感知数学符号的统一美［2］.

（三）凸显符号表达之优

学习方程的初始阶段，部分优等生仍喜欢采用小学的算术方法，他们认为用算术法解题快，并且可以避免设元这个环节.如何让学生主动并且喜爱用方程思想来解题呢？笔者挑选了一些用算术方法有障碍的题，如把“鸡兔同笼”问题进行改编：“鸡兔同笼，有20 个头，兔脚比鸡脚多32 只，问鸡和兔各有几只？”选择假设法的学生往往得出错误的答案，而采用方程思想的学生则顺利解出正确答案.二者一对比，就凸显出方程思想的直观易懂、列式方便等优点，使学生体会到用代数方法解决问题的优越性，从而自然地接纳符号意识.

二、学习专题化，体会符号学习的意义

《义务教育数学课程标准（2022 年版）解读》指出：初中阶段应进一步发展符号意识，理解代数是算术的一般化，能用代数方法解决问题；理解字母符号的各种意义与使用规则；能够利用字母系数表示一般的方程与不等式，并给出一类方程的一般解［3］.由于初中的课程内容不以培养学生符号意识为教学目标，因此教师容易忽视符号意识教学，或者教学流于形式，只是让学生单纯模仿，使其不能感知、尝试和经历符号化过程，也没有机会仔细思考符号表示的真正意义和价值.笔者认为，在“方程”“不等式”“函数”这些代数内容相对集中的章节，可以安排专题课，以培养符号意识作为教学目标，把含字母系数的问题集中在一起进行类比学习.

例如学习浙教版教材七年级下册第2 章《二元一次方程组》时，虽然《课程标准》对含有字母系数的方程组不作要求，但用字母表示未知数、用方程表述数量关系的过程，能帮助学生建立符号意识，培养学生的数学理解和抽象能力，而含字母系数的方程则对学生的抽象能力和推理能力等素养提出了更高的要求，同时为后续函数学习奠定基础.因此，笔者安排“含字母系数的二元一次方程组”专题复习课，从数字系数的方程组入手，让学生经历观察、类比，概括出含字母系数的方程组.笔者为学生留出思考的空间，并利用层进的问题串突破学生的认知障碍，为学生自发使用符号创造可能，让学生悦纳字母，培养和发展学生的符号意识，锻炼学生抽象的思维方式和归纳推理的能力.以下为此节专题课的4个环节和设计意图.

（一）特殊到一般：培养符号表达意识

【环节1】解二元一次方程组

得到方程组的解为：

设计意图：考虑到学生对含字母系数的方程组不易理解，并且方程组中突然出现字母系数会显得突兀生硬，因此笔者让学生先解同一系列的数字系数方程组，通过观察、归纳，概括出它们的共同属性，并用字母表示规律，让学生真实感悟字母代替数的简洁性.借助归纳推理，从数字系数方程顺利过渡到含字母系数的方程，既能凸显字母的优势，又能通过类比的方法让学生了解并掌握含字母系数方程组的解法，培养学生的符号意识、运算和推理能力.

（二）复杂到单一：体会符号表达之形

【环节2】解二元一次方程组

解法有两种：一类学生分别求解两个方程组得到解，另一类学生直接使用上一环节结论代入求解.通过对比，学生感受到解题速度的巨大差异，体会可以代替所有具有这种规律的数学方程组.

设计意图：这一环节把直接使用结果和重新解方程组两种方法进行对比，让学生体验使用字母代表数的优势，发现字母可以表示“一类数”，即含字母的结论具有一般性.这利于简化计算，使学生主动接受字母及含字母系数的方程.

（三）一般到特殊：辨析符号表达之变

【环节3】已知关于x，y的二元一次方程组，求当a＝5，-2时方程组的解.

此时，大部分学生会用含a的代数式表示方程组的解，只有极少数学生选择把这三个数代入方程组分别求出三个方程组的解.两类解法在时间上的差异又一次使学生明白：a可以代表任何实数，a每取一个数，a的值就确定，并可以看成“常数”（会变化的常数）来表示x，y的值，而这个含字母a的解可以表示这样形式的所有方程组的解.

设计意图：这一环节主要解决含字母系数的方程组，经过上两个环节的铺垫，可能仍有少数学生未掌握用字母表示数及含字母系数方程组的解法，因此笔者追加设计，让学生再次感受用字母表示数的必要性和优越性，提升学生的符号意识.

（四）常规到特例：感悟符号表达之本

【环节4】已知，求当n＝2，，－6时m和k的值.

求解此题需先分析哪些字母应看作常数，哪些字母应看作未知数.部分学生从方程的位置角度，认为应将m和n看作未知数、k看作常数；部分学生认为n取了四个值，因此应将m和k看作未知数，n看作常数.笔者适时小结：可根据题目的字母特点来分析，当一个字母可以取不同数时，往往代表这个字母可以看作常数，用它表示剩下两个未知数的值比较合适.

设计意图：经过前三个环节的学习，学生已经有了一定基础，此时应作能力提升设计.题目呈现的不是常规字母x和y，因此学生分辨不清未知数和字母系数.通过此题的训练，可使学生掌握区分的方法，明白不同字母背后的含义.这能培养学生转换的数学思想以及运用符号进行运算和推理的能力，为后续函数、三元一次方程组的学习作铺垫.

三、应用多元化，发展符号抽象能力

数学课程内容主要分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大板块，每个板块都与数学符号的表达与应用相关联.这使随时随地渗透符号意识，让学生感知符号并应用符号解决问题成为可能.

（一）数到代数：从具体到一般

数与代数板块中涉及的“代数式”“方程”“不等式”“函数”等内容都是表达数量关系的过程，因此都离不开字母，对符号意识的要求比较高，需要教师精心设计，有意识地去培养学生的这个能力.前面已介绍了“代数式”和“方程”的部分设计，而“不等式”和“方程”本质基本相同，因此教学策略类似.“函数”其实也算是“方程”的延续，但函数图象和性质这块内容难度增大、要求更高，因此更需要研究字母对函数图象和性质的影响，使学生从本质上了解符号的作用和意义.

例如教学浙教版教材八年级下册第6 章《反比例函数》时，教师可借助列表描点的方法让学生直观感受图象的特征，但由于图象是双曲线，描点难以绘制全貌，因此还可借助函数解析式的结构特征，用代数知识进行分析.比如绘制的函数图象，由分母x≠0，得到图象与x轴没有交点，由y≠0 得到图象与y轴也没有交点；因为xy=1＞0，得到图象在一、三象限；x＞0 时，由x越大则y越小，得到图象越来越接近x轴；同理，x越接近0，则y越大，得到图象越来越接近y轴；假设（a，b）是图象上的一个点，则（-a，-b）在图象上，可得图象关于原点对称，而（b，a）也在图象上，则图象还关于直线y＝x对称［4］.

笔者从代数的视角去解析几何图象及函数性质，让学生发现这些字母操纵着函数的图象和性质，借机突出字母的意义及一般化的特点，强化符号的作用和价值.

（二）形象到抽象：从几何到推理

几何教学有不同的表达方式，包括图形、文字和符号三种，在这三种语言中，符号语言最难掌握，是学生树立正确数学思维逻辑的重要基础［5］，也是培养符号意识的重要方式.因此从七年级上学期学习“图形的初步认识”开始，教师就要引导学生用这三种语言规范表达，下面以“中点”的描述为例说明.

文字语言：点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫作线段AB的中点.

图形语言：

符号语言：∵点C为AB中点，∴AC＝BC＝，AB＝2AC＝2BC.

教师要引导学生通过中点的定义并结合图象，厘清线段之间的关系，并写出符号语言，让学生理解这三种语言之间的关联.同时，教师需规范学生的说理过程，引导学生使用合理的符号语言，并且每一块几何知识都需要落实.在这一过程中，学生由一开始看教师示范来仿写，过渡到独立书写.由此，教师既能帮助学生提升思维逻辑和表达能力，又对符号意识进行了培养和渗透.这是一个循序渐进的过程，需要学生进行巩固和强化，因此在单元复习时，教师可有意识地引导学生进行三种语言的归纳整理.

（三）统计到概率：从模糊到精准

统计与概率中的“平均数”“方差”“概率”等也是用符号来表征相关公式，而其他内容的教学若可用符号来简化分析过程，教师也要抓住契机，将符号意识渗透其中.

例如教学浙教版教材九年级上册第2 章第1节《事件的可能性》时，需要用树状图来分析事件发生的可能性.

例题：一个箱子有1个黑球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出一个球，放回，摇均匀后再摸出1个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能？

某学生先用文字树状图示分析，再用字母代替文字分析，经过比较，学生发现用字母a，b来表示黑球和蓝球，书写过程简洁明了，由此体会到符号的便捷性.这利于学生养成主动使用符号的意识和习惯.

综上，教师需精心设计问题，让学生经历用字母表示数的过程，启发学生思考，系统全面探究使用符号的便捷和必要性.同时，学生符号意识的发展不是一朝一夕就可以完成的，而是贯穿于学生数学学习的全过程，伴随着学生数学思维层次的提高而逐步发展的［6］，因此教师还要注意适时引导、强化，使学生在符号学习的过程中提升数学核心素养.