PBL教学模式深化高中数学课堂

马颢

自从新课标推行以来，教师在教学设计方面更加关注学生的学习过程。教师将重心放在学生身上，鼓励学生在学习中发挥主观能动性，通过自我探索来获取知识。单元教学以知识为核心，将相关知识和能力有机结合，形成综合教学单元，有助于提升学生对知识的整体认识。PBL教学模式允许学生在解决问题的过程中，通过自主学习、合作学习和探究学习等途径，获得必要的知识、技能和经验，从而实现高效的思维和合作探究。基于此，本文探讨了基于PBL的数学单元教学设计方法。

为深入了解PBL教学方式对高中数学课堂构建的影响，本文以“等比数列”单元为例，从理论和实践两个方面进行探讨，以期促进学生基本素质和全面应用技能的提升。

一、教材分析

“等比数列”是人教A版高中数学选择性必修（第二册）中第四章“数列”的第3节，主要阐述了“等比数列”的基本思想、通项公式计算方法及其应用。这一节在整体教学进程中起着承上启下的作用。一方面，教师之前已经带领学生探讨了“等差数列”的相关知识，学生已了解“等比数列”与“等差数列”的相似之处。通过对比，学生能更好地掌握“等差数列”的研究方法，并将其应用于学习中，进一步巩固基础技巧。另一方面，本节内容为后续学习“等比数列”的性质、计算前n项及普通数列通用项的方法奠定了坚实的基础，有助于培养学生的独立探索能力。本单元的教学目标在于使学生认识到“等比数列”在生活中的广泛应用，培养学生在实际问题中构建数学模型的能力，并熟练掌握其中的数量关系。

二、学情分析

高二学生已经系统地学习了函数知识，并掌握了运用函数图象进行数形结合的方法，以及运用化繁为简的策略来解决问题。这些技能对学生研究数列问题具有极大的帮助。同时，高二学生还学习了“等差数列”，并对其基本流程有了初步了解，为以后的学习奠定了坚实的理论基础。高二学生在数学思维方面已经表现出较强的逻辑性，并具备了较强分析和解决问题的能力。通过研究“等差数列”，学生认识到从“特殊”到“普遍”的数学思维方式的重要性。此外，高二学生之间已经建立了良好的合作关系，运用PBL教学方式进行教学更符合实际情况。在教学过程中，教师应注意掌握学生的“最近发展区”，以有效激发他们的好奇心和探究欲望。

三、教学目标

（一）学习目标设计

教师在教学中应明确教学目标。学生的学习成果将作为衡量课堂教学效果的标准，同时也是评价和反思本节课的基础和依据。

（二）单元学习目标

教师的教学目标是帮助学生深入理解“等比数列”的概念，认识到其独特性质。这种理解对揭示自然法则具有重要意义。基于PBL教学模式（如图1所示），教师在高中数学教学期间应结合单元教学设计，系统地整理该课程的核心内容。同时，学生应意识到“等比数列”在日常生活中的广泛应用。此外，通过分析解决实际问题，学生可以更深入地理解“等比数列”反映的数量关系，培养他们解决现实问题的能力。

四、教学重难点

讲授内容：“等比数列”的概念、“等比数列”的通用项计算方法、第n项的计算方法及其应用。

重难点：第n项“等比数列”的计算方法。

五、PBL教学模式深化高中数学课堂——以“等比数列”单元为例

（一）情境导入

教师：观察下列几个数列，有什么共同特点？

【展示题目】

（1）2，4，8，16… （2）1，-2，4，-8，16…

（3）1，1，1，1… （4）1， ， ， ， …

学生1：都是有规律排列的数字。

学生2：等比例排列的。

教师：你能根据这个共性，举出一些现实生活中的例子吗？

学生1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

学生2：银行支付利息的一种方式——复利。

学生3：太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。

教師总结：在现实生活、生产和科学研究中，我们会面临各种大小不一的项目，这些项目都可以看作是我们的一部分，这种规律可以用数字表达式来表达，即“等比数列”。由此可见，“等比数列”作为一种特殊的数学模型，能够体现自然法则的功能。通过学习“等比数列”，学生可以掌握如何将数学中的常见问题转换为功能问题，并运用相关的功能知识来解决问题。

教师把“等差数列”“等比数列”书写在黑板上，然后让学生进行比较，促使其互相对比，并提出问题。

教师：“等差数列”里的“等差”意味着什么？

学生：在数列中，任意一项与前面的一项相减，它们的差值是相同的。

教师：那大家来猜猜“等比”的含义是什么呢？

学生：数列中任意一项与其前面一项相比，其比率都是相同的，也就是说比值都相等。

教师：那么你能不能将数列表现出来？

这时学生写下：1，2，3，4，5…

教师：究竟什么才是“等比数列”？此数列符合“等差数列”的条件吗？

在问题的驱使下，学生积极地翻开教科书去查找自己想要的答案。

（设计意图：在PBL教学方法中，至关重要的环节是从问题情境中提炼出驱动问题，从而激发学生的探索欲望。情境与课程内容的整合需要教师精心策划和设计一系列问题，这些问题应具有逻辑性和层次性，以便学生在学习过程中逐步取得进展。问题引导能使学生从被动接受数学知识转变为自主探究、发现和总结数学知识的过程。教师应从单纯的知识传播者转变为学习资源的提供者和引导者，负责引导学生解决问题和解答疑惑。只有如此，才能确保学生在学习中占据主体地位，充分发挥其主观能动性，提高课堂教学效果，并培养学生的数学核心素养。）

（二）教学过程

教师：现在同学们可以阅读教材中的内容，之后根据“等比数列”与“等差数列”名称之间的关系，给出“等比数列”的定义。

学生：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作“等比数列”，这个常数叫作“等比数列”的公比。

教师：实际上，我们可以用递推公式来表达对应的等比数组的定义： =q（q≠0，n∈N*），但是能否确定一个数列呢？

学生：不能。

教师：怎样论证数列是“等比数列”还是“等差数列”呢？可以从何处着手来论证？

学生：用部分项进行证明或用第n项，即an（n∈N*）证明。

教师：“等差数列”的某些特性教师是否可以应用到“等比数列”中去呢？如果可以，那要怎么证明？

教师设置问题：在等差数列{an}中，若已知m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），则am+an=as+at迁移到等比数列{an}中，即证明若已知m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），则会有什么样的性质？

小组进行研究和探索，通过运算和证实，归纳出规则，构建合理的论证流程。按照所制定的问题解决办法和总的方向来确定问题，并且在小组内部进行协作，逐步解析题目。

设：等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1，an=a1qn-1，as=a1qs-1，at=a1qt-1

∴am+an=（a1qm-1）+（a1qn-1）=a12qm+n-2

as+at=（a1qs-1）+（a1qt-1）=a12qs+t-2

∵m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），

∴am+an=as+at

学生：因此，通过证明可以知道，这个性质并不需要“等比数列”各项均为正。

（设计意图：教师在指导学生解题时应注重培养学生的思维能力，引导他们将现实问题转化为数学问题，这有助于培养学生的模型思维。教师研究“等差数列”的特性，再引导学生探讨“等比数列”的性质，从而锻炼了学生的转换思维。同时，在解题过程中，学生的团队协作和人际关系协调能力也得到了提升。在此基础上，教师应不断改进其他证明方法，使所学理论知识更加精确，并推动学生思维方式的转变。）

教师：根据上述情况，同学们想一下，确定一个“等比数列”需要几个条件呢？

学生：首项及公比。

教师：在已知首项和公比以后，怎样计算其他数列的数值？

学生：老师，要学习通项公式的表达式。

教师：在学习该数列时，了解数列的一般项是非常重要的。但是，我们如何求出“等比数列”通用项的公式？

学生：老师，我们可以用类比的方法，求出“等差数列”的一般项，从而得到“等比数列”通项公式的推导过程和计算公式。

教师可以让学生以小组合作的方式去探索，找出“等差数列”的一般项表达式，促使学生复习“等差数列”的通项计算。

（设计意图：在与其他同学交流和讨论时，学生能独立地将“等差数列”和“等比数列”进行类比，这有助于他们更深入地理解类比方法。小组内部的集体思考和讨论，确定研究目标，能激发学生的学习热情。在解决问题的过程中，学生的团队协作精神得到了培养和提升。）

六、教学反思

（一）教学中应注意的问题

PBL教学模式下的高中數学单元教学是一种基于问题的教育方式，在这次的教学设计之后，教师发现使用这种教学方式时教学效能和学生的反馈较好，但是仍有必要对下列事项加以关注：

（1）必须更多地关注问题的设计，这些问题应与学生的学习生涯有关，且应是具有挑战性的。

（2）要注重情景教学，指导学生独立、协作。

（3）教师应重视自身作为指导者和引导者的

作用。

（二）教学成果

根据教师观察到的学生实践情况，大部分学生已经能够准确掌握“等比数列”的定义、性质以及通项计算方法，并且能够运用这些知识解决一些简单的数列问题。在教学过程中，教师要注重启发学生思考，鼓励他们自主探究，深入理解类比的思维方式，并积极运用这种思维方式进行探究。PBL教学模式有效地提高了教学效果和研究水平，为学生的学习打下了坚实的基础。

（三）评析和改进

在此教学过程中，大多数学生均能积极参与，积极发表观点。然而，仍有一些学生由于基础较为薄弱、性格较为内向，难以适应课堂节奏，在独立探索时显得较为被动。在课后回答问题时，他们也不愿意透露自己的困惑。长此以往，这些学生的积极性将逐渐减弱，学习成绩也难以提升。因此，在后续的课程中，教师应采用分层式教学方法，确保学生有充足的发言机会，激发他们的学习热情，使各层次的学生在数学课堂上都能得到应有的发展，从而体现高中数学教育的真正价值。

（作者单位：甘肃省庆阳市宁县第一中学）

编辑：赵文静