探究型教学在高中数学课堂的实施路径

周恒江

当前新课程改革正在不断推进中，高中数学也在不断进行教学方式的改革和创新。其中，探究型教学作为一种先进的教学方法，注重学生的主动性和探究性，有利于培养学生的创新思维和实践能力。本文以苏教版高中数学必修第二册第11章“解三角形”中的“余弦定理”为例，详细阐述了探究型教学的实施步骤。

一、教材分析

“解三角形”是高中数学的重要教学内容，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解。

二、学情分析

学习本章之前，学生已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形等相关的基础知识。在学生之前知识的储备之上，“余弦定理”这一节主要是研究三角形中各个边长与各个角之间的数量关系，让学生学会利用这些关系解决生活中的相关问题。

三、教学目标

在教学目标中，注意设置课程目标及学科素养目标，并详细把握教学内容的重点、难点、易错点，便于在教学中更有针对性地安排教学内容。

四、教学过程

（一）新课导入

教师可以通过情境案例导入，选择学生都很感兴趣的热点问题，吸引学生的注意，引发学生的思考。教师以中国海监船驱逐国外探油船的例子作为导入案例，通过多媒体进行展示。（见图1）

（二）课程讲解

为了使学生更好地理解和掌握余弦定理的概念，教师可以设计具有针对性的探究问题。这些问题的设计应该紧密结合教学的重点和难点，并且引导学生逐步深入探究。

1.通过提问引发学生探究

如教师可以向学生提问：

如果△ABC的三边长分别为a、b、c，且已知a、b和∠C，如何使用余弦定理来求c？

教师需要注意问题的相互关联和铺垫，以确保学生能够掌握所学知识。通过探究问题的引导，学生可以更加积极地参与到探究活動中，提高他们的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力。在学生探究的基础上，引入教学的核心内容。（见表2）

在讲解了详细的知识点之后，教师可以在课堂中继续提问，引发学生的探究学习。例如，教师可以向学生提问：余弦定理可以用来解释生活中的什么问题？

这时，学生可以基于对相关知识点的理解以及在生活中的观察，发表自己的观点。

学生1：在工程测量中，可以利用余弦定理来计算两个物体之间的距离，或者计算建筑物的高度。

学生2：飞行员可以使用余弦定理来计算飞机从一个点到另一个点的最短路径，通过计算两个地点之间的距离和方位角确定行驶方向和距离。

学生3：在机器人定位中，人们可以利用余弦定理来计算机器人的位置和行进方向，以实现自主导航和避障。

当学生表达了自己对余弦定理的理解之后，教师可以给予点评及总结，让学生思考哪些同学的观点正确，哪些同学的观点有创意。教师提问和学生回答的形式，可以引导学生边思考边分析、总结，提升数学探究能力。

2.进行实际应用，促进巩固提高

在完成基础教学后，为了提升学生的探究能力，教师可设计实际应用问题。这些问题既与现实生活紧密相关，又可深度挖掘课堂知识。通过引导学生分组讨论，教师提供适当的指导与帮助，鼓励学生深入思考问题本质，并勇于提出个人见解。最后，组织学生进行成果展示与交流，分享各自的探究过程与结果，并进行评价与总结。通过这一系列活动，学生的探究能力将得到全面提升。

在本课的教学中，教师可以根据学生的实际情况设计一些具有挑战性的问题。例如，将导入部分的案例再次展示，让全班通过探究一起找到解题的方法和答案。首先，安排一定的时间（如5分钟）让学生尝试将导入案例的文字用数学图形和数学符号进行表达，然后利用余弦定理的知识点尝试进行解答。接下来，教师在黑板或多媒体课件上进行展示。（见图2）

根据题意可知AB距离为s海里，BC距离为m海里，已知A到C的时速是v海里/小时，要想求得由A到C的时间，教师可以引导学生：怎样求从A到C的时间，还缺什么条件？

学生在解题中进行思考，知道速度要求时间，需要知道从A到C的距离，也就是根据题目已知条件求出AC的长度。这时教师可以进一步引导：如何求出AC的长度？

学生会自然而然地想到利用刚学到的余弦定理来计算AC的长度。教师可以让学生先自己尝试解题，然后再进行示范，集中进行讲解。

3.通过举一反三教学，强化探究过程

在余弦定理与勾股定理关系研究环节，教师可以采用举一反三的方法，逐步引导学生进行探究，自己寻找答案。例如，思考1：

根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，

则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC ①

试验证①式对等边三角形是否成立。你有什么猜想？

教师抛出问题，学生经过探究后尝试解答，根据解答的结果得出结论。

当a＝b＝c时，∠C＝60°，

a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，

即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC。

接着，教师再将余弦定理与勾股定理进行对比，引导学生分析两者之间的联系和区别。教师可提出思考题2，继续加强探究性教学。

勾股定理和余弦定理有何联系与区别？

对于学生来说，想要弄清楚这个问题，就需要将勾股定理的主要内容和余弦定理的主要内容放在一起进行分析和思考，这对学生的探究能力有较高的要求。有的学生通过角的大小进行分析，有的学生从定理公式的表达进行分析，这都可以促进他们更好地吸收、掌握内容。

在学生自主思考了几分钟之后，教师可以在黑板或者多媒体课件上进一步引导：

在△ABC中，

c2＝a2＋b2？圳∠C为    ；

c2>a2＋b2？圳∠C为    ；

c2

学生通过计算，可以分别得到直角、钝角和锐角的答案。在此基础上，教师总结：余弦定理和勾股定理都反映了三角形三边之间的平方关系，其中，余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例。

通过举一反三，让学生通过自己的探究获得问题的答案，比直接告诉学生答案效果更好。

4.在作业中设置梯度，鼓励学生主动探究

除了教学环节可以展开探究以外，在作业环节，教师也可以鼓励学生进行探究，让学生养成思考问题、总结规律的好習惯。在学习完“余弦定理”后，教师可设计不同类型的作业，让学生在完成作业的过程中展开思考和探究，进而发现解题规律。

练习题1：

在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求∠A，∠B，∠C的度数。

练习题2：

在△ABC中，若（a－c·cosB）·b＝（b－c·cosA）·a，判断△ABC的形状。

针对上述不同类型的题目，学生可以通过自己的思考和探索，发现题目类型的不同以及解题的方法和规律，从而进行总结。教师在学生思考和探索的基础上，总结规律并进行展示（见表3）。

学生将自己的总结与教师给出的规律进行对比，有助于更好地检测自己是否掌握学习内容，是否根据自己的探究发现解题的规律。

五、教学反思

在“余弦定理”教学中，情境创设和问题引导起到了关键作用。通过创设情境，抽象的数学概念变得生动有趣，激发了学生的探究热情和学习积极性。这不仅能够帮助学生更好地理解这些概念，还促使他们在实际应用中巩固所学知识。

本节课设计的探究问题紧密围绕教学目标，具有层次性、关联性，可引导学生逐步深入探究。这些问题不仅帮助学生巩固了所学知识，还培养了他们的逻辑思维和问题解决能力。通过解决问题，学生不再被动地接受知识，而成为主动的探究者。这种转变对于培养学生的数学思维和解决问题的能力至关重要。

通过情境创设和问题引导，学生能够更深入地理解余弦定理的概念和其中的逻辑关系。他们不再仅停留在表面的记忆和理解，而是能够在实际应用中灵活运用这些概念。这种理解力的提升将为学生未来的数学学习和解决实际问题奠定坚实的基础。

总之，探究型教学在高中数学课堂中发挥了重要的作用。它不仅提高了学生的学习效果，还培养了他们的数学思维和解决问题的能力。在未来，我们应继续探索和实践探究型教学，为学生提供更丰富、更有深度的学习体验。

（作者单位：靖江市斜桥中学）

编辑：张俐丽