磁力负刚度弹簧的汽车悬架非线性特性分析

周冬，张慧杰，郝慧荣，杨子明，曹艳状

(内蒙古工业大学能源与动力工程学院，呼和浩特 010000)

汽车作为机械化时代的主要产物之一，与生活联系紧密，而汽车隔振是汽车设计的一大重要突破点。最常用的隔振方法是将隔振器应用于汽车悬架，由此汽车悬架可分为被动悬架、半主动悬架和主动悬架。其中被动悬架结构简单，不需要外部能量，因此造价相对较低，是最为普遍的一种悬架。但是在低频隔振时，会遇到静变形过大和失稳的问题。主动悬架可以克服这个问题，但主动隔振控制技术相对复杂，能耗较大，成本较高。半主动悬架与主动悬架相比，减振性能较差，但半主动悬架消耗的能量或功率要少得多。与被动悬架相比，半主动悬架的控制单元会增加重量和设计复杂性。文献[1]表明，被动悬架虽然存在明显的缺陷，但它的优点仍吸引着许多学者研究，设计兼具高静低动刚度特性的非线性被动悬架是一大研究热点。

磁力弹簧的优势在于它是一种非接触式的磁力弹簧,具有良好的非线性,结构简单,体积小,不产生噪声。通过磁力弹簧的磁负刚度与弹性元件的正刚度的共同作用，既避免了上述采用小刚度弹性元件易因为变形过大从而损坏的问题，也有效降低了整个悬架的刚度，使得悬架的隔振性能得到提升。

针对磁力弹簧的应用，国内外学者做了一些相关研究。Zhang等[2]将外环磁铁(径向磁化)分成相等的扇形块，并使用电熨斗作为内动子，从而产生负刚度。Meng等[3]开发了一种新型负刚度弹簧。所研制的弹簧具有刚度可控的特点,可用于低共振频率的隔振系统。可控电磁负刚度弹簧由同轴永磁体和圆形载流线圈获得。刚度控制通过改变线圈中的电流来实现。Liu等[4]提出了一种平面内准零刚度隔振器来隔离水平面内任意方向的振动。提出的隔振器由径向磁化的两个磁环和预张紧的8根电缆组成。磁环相互作用提供负刚度,电缆组合提供正刚度。张凡辉[5]通过并联具有负刚度特性的磁引力弹簧和线性正刚度弹簧，使隔振系统在小位移内具有刚度渐硬特性，较大位移内同时具有刚度渐硬和刚度渐软特性。李爽等[6]设计了一种具有高静低动刚度特性的隔振器。该隔振器由提供正刚度的机械弹簧与提供负刚度的双环永磁体弹簧并联而成，并讨论了结构参数对负刚度特性的影响规律。Bardaweel等[7]设计了由三磁铁和机械弹簧组成的隔振器，通过实测数据和模型仿真表明，磁体排列导致非线性磁弹簧具有负刚度，机械弹簧和磁力弹簧的结合降低了隔离器的谐振频率。赵亚敏等[8]提出了一种面向精密气磁隔微振的磁斥力负刚度装置，磁斥力负刚度装置由三块沿垂向同向磁化的立方永磁体水平布置构成。王卫荣等[9]为降低负刚度结构刚度值的非线性程度，提高隔振器在整个振动位移范围内负刚度值的稳定性，设计了一种基于磁斥力弹簧的负刚度结构。都智勇等[10]提出一种基于永磁弹簧的变刚度机器人关节驱动器，采用蜗轮、蜗杆驱动绳索调整永磁弹簧气隙间距，实现驱动器变刚度控制。谢英江等[11]采用电磁弹簧和气动弹簧并联设计准零刚度座椅悬架，利用电磁弹簧产生的负刚度平衡气动弹簧产生的正刚度。

基于国内外对磁力弹簧的研究现状，现通过在汽车悬架隔振器内增设由永磁铁构成的负刚度磁力弹簧，并与螺旋机械弹簧并联。依据被动悬架相关参数对磁力弹簧的材料、尺寸方面进行分析选定，同时利用软件建立汽车1/4磁力悬架模型，通过与被动悬架进行对比，分析磁力悬架在时域、频域下的非线性特性及其传递函数和共振特性。并对磁力悬架非线性特性进行研究，分析其隔振效果。

1 数学模型构建

1.1 路面模型的建立

建立路面扰动激励模型是进行悬架研究基础。路面统计分析的空间频率范围为0.011～2.83 m-1，在常用车速为10～30 m/s下，可以保证时间频率范围为0.1～30 Hz。这个频率能把汽车簧载质量部分的固频1～2 Hz和汽车非簧载质量部分的固频10～15 Hz有效覆盖。以《车辆振动输入-路面不平度》(GB 7031—865)为依据，文献[12]介绍了随机路面位移功率谱密度Gq(n)为

Gq(n)=G0(n0)(n/n0)-w

(1)

式(1)中：n为空间频率；n0为参考空间频率；w为频率指数；G0(n)为路面不平度系数。

(2)

通过进一步推导，有

(3)

式中：t为时间；xr(t)为随时间变化的路面垂直位移激励；n0为参考空间频率，n0=0.1 m-1；Gq(n0)为路面不平度系数；w(t)为随时间变化且功率强度为1的高斯分布白噪声；fmin为下截止频率；v为车速。

为更加准确分析出磁力悬架在不同工况下的隔振效果，利用式(3)在MATLAB/Simulink中搭建不同等级路面谱的仿真模型。如图1所示为C级路面模型。车速不同，路面激励幅值不同，图2所示为车速30 m/s时的C级路面激励输入曲线。

图1 路面谱的仿真模型Fig.1 Simulation model of road spectrum

图2 积分白噪声路面输入模型Fig.2 Integral white noise road surface input model

1.2 汽车1/4磁力悬架模型的建立

在先进悬架系统及相应减振器的设计开发阶段，通常采用1/4车辆两自由度模型进行仿真分析，以验证新型悬架的可行性。该模型基本能够表征悬架系统对车辆所考察的作用和影响，可用来进行车辆悬架系统振动特性分析。构建1/4车辆两自由度的磁力悬架系统数学模型，如图3所示。

图3 磁力悬架系统数学模型Fig.3 Mathematical model of magnetic suspension system

考虑车体和车轮垂直方向的受力平衡，根据牛顿动力学定律，可建立磁力悬架系统的运动微分方程如下。

(4)

kt(xt-xr)=0

(5)

式中：ms为车体质量；mt为车轮质量；ks为悬架系统等效刚度；kf为磁力弹簧等效刚度；kt为车轮等效刚度；cs为悬架系统的阻尼系数；xs为车体的绝对位移；xt为车轮的绝对位移；xr为路面激励。

以上所述采用的某型轮式车辆为基础，车辆1/4悬架系统的基本参数如表1所示。

表1 悬架系统基本参数Table 1 Basic parameters of suspension system

2 磁力隔振器设计

2.1 磁力负刚度弹簧原理

磁力弹簧的优势在于它是一种非接触式的磁力弹簧，具有良好的非线性，结构简单，体积小，不产生噪声。文献[13]表明，作为弹性元件在航空、航天、仪表和机械制造等各个领域已有了较为广泛的应用。利用永磁铁间异性相吸的特性，构造了一种产生非线性弹性力的磁力弹簧。磁力弹簧由多块高强永久磁铁构成,其工作原理如图4所示。

磁铁间的作用力随着距离的变化而变化且两者为非线性关系，当与载荷相连接的承载磁铁向上移动时，上磁铁与承载磁铁之间产生的吸引力大于下磁铁与承载磁铁之间的吸引力，合力方向与系统恢复力方向相反，产生负刚度。反之亦然。文献[14]介绍了两磁铁间的吸引力为

(6)

(7)

式中：F为吸引力；kc为磁力系数；L为两磁铁间的距离；d为磁铁直径；Br为剩磁；Hc为矫顽力；μ0为真空磁导率，μ0=4π×10-7N/A2。

汽车悬架系统需要弹性元件能够有使簧载恢复到平衡位置的上下两方面的作用力，因此需在承载磁铁上下侧都加载永磁铁构成三磁铁弹簧。模型如图4所示。由式(6)与式(7)推导可知，承载磁铁所受合力(忽略上下侧磁铁间磁力的影响)表达式为

N为永磁铁N极；S为永磁铁S极图4 磁力弹簧原理图Fig.4 Schematic diagram of magnetic spring

(8)

式(8)中：xs为承载磁铁位移；xt为上(下)永磁铁位移；L为上下磁铁间距；r为相邻磁铁初始间距，r=1/2L。

2.2 磁力负刚度弹簧设计

为提高悬架空间利用率，将磁力弹簧增设于隔振器活塞工作缸内，磁力弹簧在隔振器中的布置方式如图5所示(隔振器相关阻尼部件及结构未展示)，而想要在汽车隔振器内部安装磁力弹簧，其结构参数应与隔振器工作缸结构参数相适应。根据中华人民共和国汽车行业标准《汽车减振器性能要求及台架实验方法》(QC/T 491—2018)可知，汽车传统隔振器的工作缸直径范围为20～70 mm，选定隔振器的工作缸直径为45 mm。此时对应的活塞行程为90～140 mm，选定活塞行程为100 mm。同时为降低加工难度节约成本，磁力弹簧采用结构参数相同的圆柱形磁铁。综合考虑，选定磁铁直径为40 mm，静止状态下相邻磁铁间距均为50 mm(忽略磁铁自重影响)。

1为车身侧吊环；2为永磁铁N极；3为螺旋弹簧；4为车轮侧下吊环；5为承载永磁铁；6为永磁铁S极图5 磁力弹簧在隔振器中的布置方式Fig.5 Arrangement of the magnetic spring in the isolator

磁力弹簧由永磁体构成，相同尺寸不同材料的永磁铁所能提供的负刚度存在很大差异。目前常用的永磁体有橡胶磁、铁氧体、铝镍钴磁铁、钐钴稀土磁铁及钕铁硼磁铁。各材料及其特性如表2所示。

表2 永磁材料及其特性Table 2 Permanent magnet materials and their properties

各类磁铁基于其常用矫顽力以及剩磁参数，在上述磁力弹簧选定尺寸的情况下，测得其在同一活塞行程、同一工况[施加仿真时间为10 s，激励幅值为(-50 mm，50 mm)的线性激励]所能提供的负刚度如图6所示。可知，非线性特性从弱到强依次为橡胶磁、铁氧体、钐钴稀土磁铁、铝镍钴磁铁、钕铁硼磁铁。

图6 不同永磁体刚度曲线图Fig.6 Curves of stiffness of different permanent magnets

减振器外部的螺旋弹簧与磁力弹簧并联连接，因此汽车悬架总刚度为悬架正刚度(约为螺旋弹簧正刚度)与磁力弹簧负刚度之和。若磁力弹簧产生的负刚度过大(超出了悬架的正刚度值)，隔振系统就会出现失稳，从而丧失功能。因此，进行磁力负刚度弹簧设计时，需确保磁力弹簧在其工作行程内产生的最大负刚度值小于悬架正刚度值。不同汽车的悬架刚度值不同，本研究采用刚度值为17 000 N/m的1/4汽车悬架，因此，磁力弹簧所能提供的最大负刚度的绝对值应小于17 000 N/m。而为了获取更多的负刚度，磁力弹簧所能提供的负刚度应尽可能接近悬架正刚度值。另一方面，作为增设于汽车隔振器的工作缸内部件，需保证其性能稳定，不易退磁，确保隔振器的使用寿命。

综上分析，钐钴稀土磁铁的磁性能相对较强且性能稳定，在上述选定结构尺寸前提下符合隔振器内磁力弹簧设计要求。所以本研究采用矫顽力Hc=0.7 Oe，剩磁Br=0.8 T的钐钴稀土YX16磁铁，其中1 Oe=79.6 A/m。

2.3 磁力负刚度弹簧刚度拟合

永磁体磁力与磁体间距离呈非线性关系，对所设计的磁力弹簧中的承载磁铁(即中间磁铁)所受磁力进行曲线拟合。设承载磁铁所受总磁力可表示为

Ftotal=aebx+cedx

(9)

式(9)中：a、b、c、d为待定系数；x为中间磁铁与磁力弹簧中心间的距离，m。由此可得到磁力弹簧所产生的负刚度表达式为

kf=abebx+cdedx

(10)

利用MATLAB对承载磁铁所受磁力进行曲线拟合，得到待定系数分别为：a=-14.25，b=59.82，c=14.25，d=-59.82。

磁力变化曲线如图7所示，仿真曲线与拟合曲线基本重合，综合式(9)与各待定系数值可表征磁力与中间磁铁和磁力弹簧中心间距离的关系式。从而根据式(10)得到的磁力弹簧所提供的负刚度表达式为

图7 磁力变化曲线Fig.7 Magnetic force change curve

kf=-852.435e59.82x-852.435e-59.82x

(11)

3 磁力悬架特性分析

汽车悬架作为车体与车轴的连接部件，缓和来自地面的冲击，衰减各种动载荷引起的振动。而磁力弹簧的增设使得汽车悬架刚度具备非线性特性，在汽车静止或路面激励为0时，磁力弹簧的中间磁铁(即承载磁铁)处于隔振器工作缸内的力平衡位置，此时磁力弹簧不发挥作用，使得悬架保持高静态刚度。当汽车行驶时，路面激励发生变化，承载磁铁偏离力平衡位置，产生负刚度，使得悬架总体刚度降低，随着位移增加，系统总刚度呈非线性递减，悬架固有频率降低。使得悬架具有低动态刚度。相较于被动悬架，磁力悬架更能在不同路况下保持汽车行驶平顺性。

为满足磁力悬架非线性特性研究的需要，基于前人研究的理论基础，结合汽车动力学和机械振动相关理论，以1/4悬架模型作为研究对象[15]，通过MATLAB构建传统被动悬架与增设有磁力弹簧的磁力悬架模型进行振动特性对比分析，磁力悬架仿真模型如图8所示。可以得到车辆行驶性能的优劣，进而为车辆先进悬架系统的开发研究与设计改进提供有效的数据依据和指导方向。

图8 磁力1/4汽车悬架模型Fig.8 Magnetic 1/4 car suspension model

3.1 磁力悬架传递函数分析

为分析磁力悬架在不同频率下的隔振性能，对磁力悬架系统的运动微分方程进行拉普拉斯变换。变换后的结果为

mss2xs(s)+css[xs(s)-xt(s)]+(ks+kf)×

[xs(s)-xt(s)]=0

(12)

mts2xt(s)-css[xs(s)-xt(s)]-(ks+kf)×

[xs(s)-xt(s)]+kt[xt(s)-xr(s)]=0

(13)

可以得到车身垂直加速度对路面位移的传递函数为

(14)

式中：

Δ(s)=msmts4+(mt+ms)css3+[ms(ks+kf)+

mt(ks+kf)+mskt]s2+cskts+(ks+kf)kt

(15)

基于磁力弹簧所能提供的不同负刚度值(0、8 500、17 000 N/m)，由式(14)构建簧载垂向加速度对路面位移传递函数的Bode图，如图9所示。可知，随着负刚度的增加，汽车固有频率向低频方向发生偏移，且在低频段，簧载垂向加速度幅值有明显的降低。 而在中高频段幅值基本不发生变化。

图9 簧载垂向加速度传递函数频域曲线Fig.9 Frequency domain curve of sprung vertical acceleration transfer function

3.2 路面激励下的悬架时域非线性分析

为分析路面激励下，磁力悬架的时域非线性特性，将簧载质量的垂向加速度响应作为评价指标。特别地，不同等级路面所提供的激励幅值不同，由于隔振器活塞行程已固定，在较为恶劣的路面条件下，隔振器内的承载磁铁易位于工作缸的上下极限位置。因此当路面激励持续增大时，所提供的负刚度首先成非线性增大，最终当承载磁铁位于极限位置时，负刚度值固定。

簧载垂向加速度作为汽车悬架隔振性能好坏的重要评价指标，怎样去降低在汽车行驶时的簧载垂向加速度是悬架的主要研究方向。磁力弹簧磁铁间的作用力随着距离的变化而变化且两者为非线性关系。其强烈的非线性关系使得隔振系统即使对小位移也较敏感(隔振器活塞主要为小位移运动)，能够在小幅振动控制中充分地发挥负刚度特性。

为探究磁力弹簧对处于不同行驶工况下的车辆行驶平顺性(隔振性能)影响，基于同一车速(30 m/s)、不同等级的路面激励(C、D、E级路面)，将传统被动悬架与磁力悬架的簧载垂向加速度进行对比分析，仿真结果如图10所示。可以看出，即使在小位移激励的C级路面，磁力弹簧因为其强烈的非线性特性依旧能在小幅振动控制中发挥重要作用，且作用随着激励的增大而增强。

图10 簧载垂向加速度对比Fig.10 Comparison of vehicle sprung vertical acceleration

在不同等级路面下，汽车簧载垂向加速度的均方根值如表3所示，可知不同等级路面条件下(A～F级路面)，在被动悬架中增设磁力弹簧能提升悬架的隔振性能，且因为磁力弹簧的非线性特性，随着路面不平度系数的增大(即路面激励幅值增大)，磁力弹簧额外增加的隔振效果呈非线性增加，其中，E、F级路面隔振增益比例跨度最小，比例跨度为1.0%，C、D级路面隔振增益比例跨度最大，比例跨度为13.1%。各等级路面的隔振增益比例如图11所示。另一方面，车速和路面不平度系数一样与路面激励幅值呈正比关系，同理可知，车速的增加会使得磁力弹簧额外增加的隔振效果增大。

表3 汽车簧载垂向加速度的均方根值Table 3 Root mean square value of vehicle sprung vertical acceleration

图11 隔振增益曲线Fig.11 Vibration isolation gain curve

3.3 路面激励下的悬架频域非线性分析

汽车振动能量主要分布在 0～30 Hz 的低频范围内，超过这个频率范围的振动能量可以忽略。基于C、E两种等级路面的路面工况，通过时频信号转换处理，把时域的振动信号转换为频域的振动信号，以频率为变量对磁力悬架的振动特性进行分析。

簧载加速度作为汽车隔振性能好坏的重要评价指标，对其进行频域分析，仿真结果如图12所示。可知在汽车振动能量主要分布范围内，C、E级路面的频率集中于低中频区间，磁力悬架的簧载加速度优于被动悬架且主要集中于该频段的低频区间(0～5 Hz)，特别地，因为磁力弹簧的非线性特性，在高等级路面隔振效果差距更为明显，而在中高频区间基本保持一致。其主要原因是由于悬架系统总刚度降低，使得悬架系统的固有频率降低，磁力悬架可变固有频率属于低频区间，其隔振性能更为明显。

最低频宽差异600 mHz，采样率76.8 Hz图12 簧载加速度响应曲线Fig.12 Spring loaded acceleration response curve

基于上述悬架模型参数，可知其固频约为1.1 Hz，为了能够简单明了将磁力悬架在实际使用中固有频率变化表征出来，在同一车速下，基于B、D两种等级路面的路面工况，对低频区间(0～5 Hz)的另一项悬架性能评价指标(悬架动挠度)进行分析，仿真结果如图13所示。可知，随着路面激励的增大，两类悬架的动挠度幅值差距增大。另外，不同于被动悬架的动挠度最大幅值所对应的频率保持不变，磁力悬架的动挠度最大幅值所对应的频率变小。高等级的路面使得磁力弹簧非线性程度加深，系统固频降低。

最低频宽差异600 mHz，采样率12.8 Hz图13 悬架动挠度对比Fig.13 Comparison of suspension dynamic deflection

3.4 路面激励下的悬架共振特性分析

悬架系统受路面激励做强迫振动时，若路面激励频率接近于系统频率时，强迫振动的振幅可能达到非常大的值，这种共振现象对于汽车隔振系统有一定危害，因此，如何让获得更小的共振区间是汽车悬架隔振的一大研究热点。

为探究磁力悬架的共振特性，基于不同车速，构建不同悬架的车身位移与路面激励位移的对比曲线，由图14(a)和图14(b)可看出同一路面不同车速下磁力悬架车身位移恒小于被动悬架且磁力悬架的共振区间小于被动悬架。另一方面，在同一路面条件下，随着车速的提升，可以看出磁力悬架的共振幅值相较于激励幅值逐渐降低，两类悬架共振区间差值增大，磁力悬架隔振性能增强。

最低频宽差异600 mHz，采样率12.8 Hz图14 不同悬架的车身位移与路面激励位移对比Fig.14 Comparison of body displacement and road excitation displacement for different suspensions

3.5 基于磁力悬架的车身稳定性分析

在汽车静止时，磁力负刚度弹簧不发挥作用，对汽车车身的稳定性不产生影响。而在汽车行驶时，磁力悬架通过改变隔振系统的刚度达到增加隔振效果的目的，但同时，刚度的改变也影响着车身的稳定性。因此，分析采用磁力悬架的汽车车身稳定性至关重要。利用磁力悬架与被动悬架在正弦激励下(同一频率)的车身速度-位移相轨迹曲线对车身稳定性进行对比分析。

不同激励下的相轨迹曲线如图15所示，在施加正弦激励的前提下，两类悬架相轨迹均从初始位置出发，会出现短时间的不规则振动，此时，车辆会发生上下颠簸，乘客出现轻微不适感。随后系统进入周期运动，车辆平稳行驶。特别地，因为刚度的均值越大，由刚度所导致的位移响应的随机性越强。所以被动悬架的相轨迹曲线变化范围大，相较于磁力悬架规律性更低，其车身稳定性低于磁力悬架。另外，磁力悬架的稳定性优势随着路面激励的增强而增大。

图15 不同激励下的车身相轨迹曲线Fig.15 Phase trajectory curve of vehicle body under different excitation

4 结论

永磁负刚度弹簧采用三块永磁体产生负刚度特性，将其融入具有正刚度的汽车被动悬架，能提升悬架的隔振效果，以低成本的代价有效增加乘客的乘坐舒适性。基于磁吸力弹簧在悬架系统中能够产生负刚度的特性，构建了磁力悬架数学模型。并通过汽车悬架正刚度值以及筒式减振器设计标准对磁力弹簧所使用的永磁体进行材料和尺寸的选定，采用MATLAB/Simulink对磁力悬架与被动悬架进行对比仿真，仿真结果如下。

(1)在被动隔振器中增设的磁力弹簧，会因其非线性特性使得磁力悬架相比于被动悬架额外增加的隔振效果具备非线性特性。随着路面不平度系数或车速的增大(即路面激励幅值增大)，悬架隔振性能呈非线性优化。

(2)在汽车振动能量分布范围内，相比于被动悬架，磁力悬架的隔振优势主要体现在低频区间，在中高频区间两者性能基本保持一致。且随着路面条件的恶化，负刚度非线性增大，其固频向左偏移。

(3)在同一路面激励下，磁力悬架车身位移恒小于被动悬架且磁力悬架的共振区间小于被动悬架。随着车速增大，非线性程度加深，两类悬架共振区间差值增大，磁力悬架隔振性能增强。

(4)被动悬架的相轨迹曲线变化相较于磁力悬架规律性更低，所以其车身稳定性低于磁力悬架。特别地，磁力悬架的稳定性优势随着路面激励的增强而增大。