中考数学代数中分类讨论思想的应用

陈学灵

摘 要：分类讨论思想作为一种重要的数学思想，被广泛应用于初中数学问题的解决中.我们常遇到一些数学问题，其答案包含多种结果而非唯一，此时往往需要根据题意和已知条件给予分类讨论，以得到全面、准确而严谨的结论.作为教师，在数学课堂上要重视学生的素质教育，提升数学核心素养，让学生充分理解数学思想，掌握数学解题方法，并学会灵活应用.本文通过论述分类讨论思想对于中学生解题的重要意义，以及分类讨论思想在中考数学代数中的应用，浅谈对分类讨论思想的一些思考，旨在帮助初中学生更好地理解和运用这一重要思想.

关键词：分类讨论思想；中考数学代数

1 分类讨论思想对于中学生解题的重要意义

教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022版）》一书主要体现了以核心素养为导向的课程理念，同时强调课堂上针对学生四基（即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的获得、掌握和发展^［1］.因此，作为一名数学教师，在课堂上不仅要对学生讲授课程内容，而且要重视学生对数学基本思想和解题方法的掌握.教师需要思考如何让数学课堂变得更为高效，让学生在短短的45分钟时间里除了理解课本知识，还能提升解题技能.而学生的解题技能与其对数学思想方法以及数学核心素养的掌握程度密切相关.初中数学有很多重要的基本思想，比如函数思想、整体思想、方程思想、分类讨论思想等等，本文主要分析分类讨论思想，其广泛应用于初中数学解题中.学生要想掌握好这种思想，需要学会全方位地考虑问题，严谨分析，才能使结果全面、准确，做到不重不漏.

1.1 分类讨论思想的内涵

分类讨论思想的内涵，是指根据所要研究问题的特点以及要求，将问题分成几类，再将这些类别按需转化为更小的一些问题，然后按照一定的标准，将这些问题进行逐一分类，再讨论求解，最后归纳总结得出最初问题的答案^［2］.在初中数学的学习中，分类讨论思想常見且重要，常适用于将复杂的问题（如含参数问题，以及多解问题等情形）转化为几个小问题进行讨论求解，被广泛应用于初中数学解题中.

1.2 分类讨论思想对于中学生解题的重要意义

应用分类讨论思想解题，不仅有助于训练学生的数学逻辑思维，完善思维逻辑的严密性，同时对于提升学生的数学核心素养，以及提高数学解题能力有所帮助.当利用分类讨论思想去解决一个复杂的数学问题时，学生常常需要思考如何化难为易、化繁为简，此时往往需要考虑能否将整个大问题按照一定的标准分成几个小类别，然后再按照各类别进行探究.整个过程中，学生对于如何制定分类标准，如何保证分类结果不重不漏，进行了大量地思考、探索、推导、总结，充分锻炼了数学思维能力，有助于培养严密的思维逻辑，同时也能提升学生的推理能力和应用意识等数学核心素养，从而提高学生的数学解题能力.

1.3 分类意识的树立

教师要引导学生在平时生活中和课堂上树立分类意识，这样学生在数学课堂上面对复杂习题时，才会有分类讨论的思想意识.那么分类讨论的意识具体应该如何树立呢？

一方面，学生在平时的点滴生活中要树立分类意识.比如日常生活中，学生可以将衣物按照季节或长短进行分类整理；对于书籍可以按照学科或大小等标准进行分类；制定计划时，可以按照缓急程度进行分类；购物时，可以将商品按照食物和生活用品的种类进行分类，而生活用品又可再细分.通过对生活中的事物进行分类，树立和强化分类意识.

另一方面，教师在课堂上也要引导学生树立分类的意识.首先，可以在课堂上引导学生对学习内容进行分类，将数学问题按照题型、难度等进行分类；其次，在章节复习中也可以引导学生进行知识点的分类、归纳和总结，画出树状图并检查是否系统全面；再次，在习题讲解中遇到使用分类讨论思想的情形时，可以通过讲解分类的原理，帮助学生理解分类的目的和意义；最后，可以设计一些分类活动，让学生在实践中学习和理解分类的重要性和方法.

1.4 应用分类讨论思想的解题步骤

应用分类讨论思想解决数学问题，通常包含以下四个步骤：

第一步，确定被讨论的对象.认真分析题目，对已知条件合理利用，推进解题进程，再结合过程性结论和最终所求的问题确定需要讨论的对象.一般来说，分类讨论思想常适用于含参数的式子或方程，自变量范围变动或未定的函数，去绝对值，方程多根，概念辨析等情况的研究.

第二步，明确讨论范围，制定分类标准.要依据题目意思，围绕被讨论对象制定合理的分类标准，使大问题转变成几个相互独立的小问题，讨论时做到不重不漏，全面考虑.

第三步，讨论过程要逐步或逐级进行，讨论结果要进行检验.要根据分类标准进行逐步讨论，如果讨论到某一步时还出现多种情况，此时则需要再次分类进行讨论.逐步或者逐级讨论所得结果要进行检验筛选，看是否满足题意.

第四步，综上所述，归纳总结.把逐步或者逐级分类讨论得到的结果进行总结和归纳，以得到题目的最终答案.

2 中考数学代数中分类讨论思想的应用

初中数学的代数主要包含五大类别：实数、方程、代数式、函数、不等式.接下来通过分析每个类别中有代表性的中考代数试题，了解分类讨论思想在题目中具体应该如何应用，体会掌握分类讨论思想的重要意义，以及应用分类讨论思想的必要性.

2.1 在实数中的应用

设计意图：本道题考察不等式的恒成立问题.先求出第一个不等式的解集；再讨论第二个不等式x的不定系数，讨论其是否为0，从而确定不等式的解集；最后根据题意得到两解集的包含关系，求出m的范围.

3 总结

分类讨论思想对于解决初中数学问题的重要性和必要性不言而喻，然而如何做到全而不重的分类，以及化零为整的讨论是学生在实际应用中的难点，因此对学生而言，运用好这种思想还是有一定的难度.本文主要论述分类讨论思想在中考数学代数中的应用，通过对中考代数试题分类而详尽地解答，旨在让学生更好地理解这一思想在解题中该如何应用，体会这一思想的重要性；同时重视提升学生的数学核心素养，渗透分类讨论思想，帮助初中学生更好地解题，高效学习.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 刘春雪.谈谈运用分类讨论思想解题的步骤［J］.语数外学习（  高中版下旬），2022（8）：46-47.〖FL）〗