高中数学中有关恒成立问题的解题策略探析

王灏

摘 要：在高中数学问题中，常见的一个问题就是恒成立的问题.面对这个问题，很多学生找不到合适的解题思路，从而感觉这类问题较难.实际上在面对这类问题的过程中可以合理采用方程和函数的思想通过一些数学方式实现对这个问题的解决.本文结合例题来对高中数学中恒成立问题的解题策略与技巧进行说明，希望对高中学生解决恒成立问题提供一定的帮助.

关键词：高中数学；恒成立问题；解题策略

高中数学中的恒成立问题主要出现在函数当中，在已知条件下，不管题型中的变量出现怎么样的变化，最后的解惑和命题都能够成立.这种恒成立的问题主要考察的是学生的抽象思维能力、推理能力以及数形结合能力，所以恒成立问题能够有效地培养学生的综合学习能力，但是恒成立问题的解决过程中需要找到合理的解题思路和方式，并且能够在解题的过程中灵活运用相应的公式，从而实现问题的解决.以下将结合例题对恒成立问题进行说明.

1 一次函数的恒成立问题

例1 已知一次函数f（x）=（m-6）x+3m+4，若对任意x∈［-2，2］，则f（x）＞0恒成立，求m的取值范围.

解析：通过对这个问题的观察，首先要满足一次函数f（x）=（m-6）x+3m+4，就需要m-6≠0，即m≠6.同时根据任意x∈［-2，2］，则f（x）＞0恒成立这个条件就可以将问题进行转化成（m-6）x+3m+4＞0在x∈［-2，2］下恒成立.要使这样的关系成立就需要 f（-2）＞0， f（2）＞0成立，从而进一步计算就能够得到m的取值范围.

例2 已知实数a满足｜a|≤1，要使x²+ax+1＞2a+x恒成立，则x的取值范围是？

分析：通过对例题2的分析可以发现在这个式子中出现了两个字母a和x，所以在解题的过程中进行变量的选择就是非常重要的.根据题意实数a满足|a|≤1，所以就可以将a来作为自变量，这样就可以将问题转换成在［-1，1］内关于a的一次函数 f（a）=（x-2）a+x²-x+1＞0恒成立.这样就可以得到 f（-1）=x²-2x+3＞0， f（1）=x²-1＞0继续求解就可以得到x的取值范围.

回顾：两个例题都是关于一次函数的恒成立关系的问题，当y=f（x）在［x₁，x₂］内恒有f（x）＞0这样的情况就可以根据一次函数的特性来得到f（x₁）＞0，f（x₂）＞0这样的关系，反之若在［x₁，x₂］内恒有f（x）＜0，则可以得到f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，这样就能够对关系式中另一个未知数的取值范围进行计算，从而得到所求未知数的取值范围.

2 二次函数的恒成立问题

例3 函數f（x）=x²-2ax+2≥0在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范围.

分析：通过对题意的分析，可以将本题理解为二次函数在区间上恒成立问题，这样就可以将问题转化成求最值问题，来对对称轴和区间的关系进行讨论.这样就需要对原函数进行变形处理得到f（x）=（x-a）²-a²+2，所以该函数的对称轴为x=a，然后对 f（x）的最小值进行分析，所以如果函数的对称轴在［-1，1］的左边，也就是a＜-1时， f（x）的最小值就是f（-1），这样就能够得到一个关于a的取值范围；如果对称轴在［-1，1］内，也就是-1≤a≤1时，这时f（x）的最小值就是f（a），同样能够得到一个关于a的取值范围；如果函数的对称轴在［-1，1］的右边，也就是a＞1时，这时f（x）的最小值就是f（1），这样又得到一个关于a的取值范围.然后对范围进行综合就能够得到a的取值范围.

例4 函数f（x）=x²-2ax+2≥-1在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范围.

回顾：关于二次函数的恒成立问题，解题思路需要结合实际情况来进行转变，如果是关于二次函数在全体实数上恒成立问题，就需要对二次函数的开口方向以及Δ这两个问题进行讨论.相对来说是比较简单的.如果是关于二次函数在一个区间上恒成立问题就需要将问题进行转化.例题3和例题4就是关于二次函数在区间上恒成立问题，在解题的过程中分别采用了两种不同的方式来进行求解，这也是解决这类问题常用的两种方式，能够很好地解决恒成立问题.

3 变量分离的恒成立问题

例5 若对任意的实数x，sin²x+2kcosx-2k-2＜0恒成立，求k的取值范围.

分析：首先对题目进行观察可以发现sin²x+2kcosx-2k-2＜0中有sin²x，cosx这两个同角三角函数，所以需要将两者转换成相同的表达方式，根据sin²x+cos²x=1这样的三角函数关系就可以将原函数变形为cos²x-2kcosx+2k+1＞0.这样就可以通过换元的方式来处理原函数，令cosx=a，a∈［-1，1］，原函数转化为a²-2ka+2k+1＞0在［-1，1］上恒成立，令f（a）=a²-2ka+2k+1，并对函数f（a）进行变形处理：f（a）=（a-k）²-k²+2k+1，所以函数的对称轴为a=k，这样就将函数恒成立的问题转化成求最值，讨论函数对称轴于区间的关系.这时后续的求解过程就与例题3相同.

回顾：本题主要是考查学生对三角函数关系和三角函数的定义域以及二次函数恒成立问题的考察.在同角三角函数中sin²x+cos²x=1，这是一个非常重要的关系，灵活应用这个关系可以有效地解决三角函数的相关问题.同时需要注意的是x是任意实数，那么必然就存在-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1这样的关系.所以在例题5的解题过程中不能够忽略这个问题.如果忽略了这个三角函数值的范围就会导致后续的计算会出现错误，导致最后的结果也出现错误.

4 结语

综上所述，文章通过例题的方式来说明了高中数学中恒成立问题的形式，然后通过详细的例题分析以及例题解析来对恒成立问题进行了详细的解题说明.恒成立问题在高中数学中有着非常重要的地位.采用正确的解题方式来对这类问题进行解答能够有效地提升学生的数学成绩.本文希望能够为学生解决恒成立问题提供一定的帮助.

参考文献：

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