基于思维视角的高考数学复习备考

摘  要：在新高考评价体系下，2022年高考数学全国卷与往年相比难度有明显提升. 究其原因，主要是试题对学生的思维能力提出了较高的要求. 文章从深刻性、批判性、灵活性、敏捷性、系统性、创新性和逻辑性等思维品质出发，对2022年全国新高考数学试卷进行归类分析，并给出高考数学复习备考的六个方面的教学建议.

关键词：思维品质；高考数学；复习备考；教学建议

文献［1］中指出：命题依托高考评价体系，聚焦关键能力考查，突出思维品质和过程，加强情境化设计，增强题目的开放性，提高人才选拔质量；高考注重考查思维过程，突出逻辑思维和推理能力，使内在思考过程外显，让理解能力可显可见、机械刷题失速失效. 由此可见，在新高考评价体系下，高考数学试题对学生的思维能力提出了更高的要求. 从2022年全国新高考数学试卷的试题分析及学生的得分情况来看，涉及思维能力和计算能力的试题较多，而学生在这两个方面的能力又相对较弱，从而导致学生整体得分偏低.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）把数学抽象和逻辑推理这两个思维过程放在首要位置.《标准》在学业质量内容中明确了体现数学核心素养的四个方面：情境与问题；知识与技能；思维与表达；交流与反思. 其中也对思维给出了明确要求.

一、思维能力概述

人对外界的认识分为两个阶段. 第一个阶段是感性认识阶段，人们通过感觉、直觉和表象认识事物的表面现象和外部联系；第二个阶段是理性认识阶段，人们通过概念、判断和推理认识事物的本质属性和内部联系. 第二个阶段的认知过程称为思维，这个过程常借助语言、表象或动作，实现对客观事物的概括和间接认识，是大脑一种复杂而高级的认知活动.

《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）将逻辑思维能力作为高中数学五项关键能力之一，主要考查学生对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力，用演绎、归纳和类比进行推理的能力，以及准确、清晰、有条理地进行表述的能力.

章建跃博士在《数学教育随想录·下卷》中指出：数学思维主要通过一个结构、两个方向、三类语言、四种形式体现出来. 具体而言，即数学地认识事物的基本结构为“定义概念—推导性质—建立联系—实践应用”；思维的兩个方向为归纳和演绎；三类语言为文字语言、符号语言、图形语言，在思维活动中体现为三类语言的相互转化；四种形式为：逻辑推理、代数运算、几何直观、数形结合.

二、思维品质的七个属性

思维品质的实质是思维活动的个性特征，是人们在思维活动过程中智力或思维在不同方向上的特点及差异的集中反映，主要包括七个方面，分别为：深刻性、批判性、灵活性、敏捷性、系统性、创新性和逻辑性.

思维的深刻性，是指思维活动的广度、深度和难度. 它是一种透过现象看本质，抓住事物实质的思维品质，表现为事物纵向发展的关联性和延续性. 善于厘清事物的本质，能揭示表面现象体现的原理方法和一般规律，善于分析抽象、概括归纳、预见事物的发展方向.

思维的批判性，是指思维活动过程能独立阅读、分析及思考，独立做出判断与选择，独立发表观点和见解，不轻信、不盲从、不人云亦云，做到思想开放、辩驳有理，又尊重他人，能做到在别人评价或自我评价中反思并做出有效修正.

思维的灵活性，是指能从多角度、多方面、多层次思考问题，且能用多种方法解决问题. 善于归纳、类比、联想，能因地制宜、举一反三，善于根据变化调整方案. 思维的灵活性也受制于个体思维已经形成的思维定式. 例如，某一个体在日常生活中总是反复使用某种固定不变的方式处理问题，思维就会形成某种僵化与定型，这种经验定型有助于解决较为肤浅的表面迁移问题，但当问题的条件发生变化时，这种定型将阻碍思维灵活性的发挥.

思维的敏捷性，是指思维活动过程的快速性和简洁性，能果断且迅速地做出正确的判断. 其核心为“快”“准”“狠”. 思维过程在理解数学问题的过程中，既有直觉的成分，又善于迅速抓住问题的实质，巧妙地进行恒等变换；在运用公式、定理的过程中，善于对数学结构进行压缩；在解决问题的过程中，思路清晰、化繁为简、直击要害. 在问题解决的效果上，善于减少不必要的中间环节，精简数学推理过程和相关的运算系统.

思维的系统性，是指关联地、整体地、系统地思考问题. 能清晰认知、找出脉络、归纳重点、细致关联、整合信息，形成结构系统. 既能掌握零散内容的各自功能，又能抽象、概括出内容之间共同的组成要素，分析出这些要素之间的有效联结，从而在邻近的知识领域中推广发散，形成知识网络体系，拓展思维和认知的空间.

思维的创新性，是指思维活动能突破原有具体内容的细节和固有模式的限制，能根据原有的表达产生新理解和新意图，能按优化后的与众不同的新思路、新设计、新方法，产生独特的新思想、新观念，从而实现思维认识过程的飞跃，达到或完成新的创造. 创造性思维具有突破性、独创性、针对性、超前性、综合性等特点. 简而言之，即独辟蹊径.

思维的逻辑性，是思维品质的中心环节，是所有思维品质的集中展示. 思维的逻辑性是指思维活动过程能根据基本的逻辑形式，遵循严谨的逻辑规则，按照正确的逻辑顺序进行. 无论是思维过程、形式和方法，还是解决问题的最终表达和交流，总能条理清晰、层次分明、一针见血，有根据地抓关键，前后连贯不跳跃，不自相矛盾，也不含糊不清.

三、2022年全国新高考数学试卷的分类及典型例题分析

根据思维品质的七方面划分，笔者对2022年全国新高考数学试卷进行整理分类，具体情况如表1所示.

例1 （全国新高考Ⅱ卷·4）已知向量[a=3，4，][b=1，0，c=a+tb，] 若[a，c=b，c，] 则[t]的值为（    ）.

（A）-6 （B）-5 （C）5 （D）6

试题及解法分析：此题是平面向量问题，属于基础性试题，考查向量的基本概念、基本公式、向量的坐标运算和向量运算的几何意义. 若学生能根据向量加法的几何意义，结合向量夹角相等的条件，得到加法满足的平行四边形为菱形这个结论，可大幅度缩减解题用时，提高解题效率.

【解题反思及教学启示】此题是开放题，学生只需要在多个正确答案中选择一个正确答案填入即可. 解答时需要学生独立地分析、思考和判断，然后做出最为快捷、高效的回答. 开放题的思维指向是批判性，要求学生能独立分析、思考，独立发表见解. 在教学中，应该设计增加师生互动的活动环节，努力营造民主开放的讨论氛围，通过师生、生生之间的相互交流，促进学生思维的横向扩散或水平流动.

四、学生思维中存在的问题

从日常学习和考试的答题情况来看，学生的思维能力主要存在以下五个方面的问题.

第一，学习无目标，思维无韧性. 高中学校的调查统计结果显示，把学习目标设在班级前茅的初中生约占80%，而这一目标在高中生中所占比例为45%；把学习目标设在班级中等的初中生约占17%，而这一目标在高中生中所占比例为47%. 由此显示，高中生在学习中降低了学习目标值，也显示出面对高中课程内容和难度均增加的情况，很多学生失去了思维的韧性.

第二，学习缺乏思想方法，理解不深刻. 高中学校的调查统计结果显示，善于运用实验和观察方法的学生占比约为28%，善于运用类比联想的学生占比约为30%，这意味着还有相当大一部分学生对知识概念的理解不够深刻，仍未掌握突破思维限制、寻求有效解题途径的思维方式.

第三，思维收敛、线性. 约50%的高中生在解题中经常出现思路中断的情况. 面对思路中断，学生没有攻坚克难的毅力，又常基于规定做题时间的考量翻阅参考答案然后摘抄思维受阻的那部分解答，以近乎“饮鸩止渴”的方式解决思路中断的问题. 长此以往，形成收敛的、线性的思维.

第四，思维消极、惰性. 对于学习内容，部分学生的态度是不考的内容不学，上课只听不想，练习只重结果不重过程. 尤其是面对难题时，约16%的学生选择继续独立思考；约52%的学生选择主动向教师或其他学生寻求帮助；约12%的学生选择被动等待教师的课堂解答；约20%的学生选择置之不理.

第五，思维定式、僵化. 从2022年全国新高考Ⅰ卷第17题的学生得分分布比例看，约22%的学生存在因思维定式而导致的审题出错的问题.

五、影响学生思维的因素分析

影响学生思维的因素是多方面的，以下六点尤为突出.

第一，核心概念的形成缺乏过程，例题的讲解缺乏深度和广度. 教师缺乏对教材内容的本质理解，课堂教学中匆忙赶进度，缺少对重要内容的深入挖掘，缺少对已知条件细致、全面的分析，缺少对典型例题的广度发散.

第二，不强调思想方法. 习题课就题论题，不变式、不提升、不拓展、不归纳.

第三，课堂设计无互动，学生不深度参与课堂.  “我讲你记”的情况依然存在.

第四，重结论、轻过程. 由于部分题目运用二级结论可迅速得出答案，学生就以偏概全地认为只要多记二级结论就可以轻松拿分，从而导致生搬硬套、漏洞百出.

第五，大量布置低效作业. 学生只顾奋笔疾书教师布置的各种作业，几乎没有独立自主的思考空间，也没有解题以后反思、归纳、总结的时间，导致学生只进行了知识方法的重复训练，而没有掌握解题技能.

第六，不构建知识体系. 复习备考只重知识要素，而忽视了要素之间的有效连接.

六、高考数学复习备考建议

文献［5］中把高考数学学科的功能定位为：发挥数学学科特点，以测试数学综合能力、发展数学核心素养为目标，通过创新试卷结构与试题形式更好地实现高考立德树人、服务选才、引导教学的核心功能. 面对高考改革对高考命题的诸多调整，在高考数学的复习备考中，笔者建议做到以下六个方面.

1. 以目标为导向，做到知己知彼

高考数学复习备考应该以目标为导向，没有目标就失去了前进的动力和方向. 根据对象的不同，高考目标也不同. 在国家层面，选拔人才是高考的重要目标；在学校层面，根据学校实际情况，让更多学生考上一所较好的大学是首要目标；对学生个体来说，大部分学生的目标是争取考上一个自己理想的院校和心仪的专业. 根据目标的成绩要求，再比对自己当前的实力，分析出差距后就可以找到努力的方向. 因此，唯有做到知己知彼，方能拥有朝着明确目标方向前进的无限动力.

2. 以整体的高度，做到系统谋划

从年级数学備课组长的角度来说，必须提前做好高考复习教学的系统规划. 根据数学的学科特点，可以把复习教学系统划分为复习整体设计、教学过程组织、练习测试安排三个部分，具体内容如图2所示. 对于每个环节的细化和具体内容，则需要根据学校的实际情况，进行恰当的规划和安排.

从班级教师的角度来说，必须做好复习内容知识结构的系统化梳理. 高中数学知识内容可划分为：函数、三角函数、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率统计、集合、简易逻辑、复数、向量11个章节，各章节的知识要素和系统化可采取结构图或思维导图等形式进行梳理. 每位高三数学教师都应该对每个章节内容及其结构了如指掌，胸有成竹方能在复习中突出重点.

从学生角度来说，需要做到两个方面的系统谋划. 一是个人复习的系统计划；二是考试答题的系统策略. 具体如图3和图4所示.

高考复习备考是一个系统工程，拥有整体大局观念和系统性思维方能得到发展，以高屋建瓴的方式进行复习，复习效果才能事半功倍.

3. 以教材为蓝本，做到温故知新

教材是教学之根本，脱离教材开展复习是舍本逐末的典型做法. 以教材为蓝本展开复习，并不是要把教材全部内容重复讲解一遍，而是要在进行每个章节内容的复习之前都先重温教材内容，以复习课的视角再次审视教材内容，对核心概念、定义、定理、公式的内容及其形成过程进行具有条理性和穿透性的理解，对例题和课后练习题展开更深层次、更多角度的思考和归纳，由此温故而知新，提高思维的深刻性.

复习教材內容时，需要特别关注《标准》中新增的内容，高考作为教学改革的引领者，对新增内容的考查是有所侧重的.

4. 以思维为核心，做到独立灵活

高中数学因思维的闪光而大放异彩. 高考数学复习备考应该把学生思维能力的培养放在首要位置. 具体做法如下.

（1）实验观察——猜想.

教师在进行教学设计时，要有意识地安排学生进行实验现象观察、命题结论猜想、规律总结归纳的相关练习，促使学生逐渐形成根据问题条件进行观察和猜想的自觉操作，进而发展学生思维的深刻性和批判性. 例如，空间位置关系、数列、概率模型等内容中有较多的载体可以做实验观察的教学设计；立体几何中的折叠问题是学生学习的一个难点，在教学中可以通过设计数学实验的方式，让学生在动手折叠的实验过程中观察图形从二维平面到三维空间的变化过程，理解空间点、线、面元素的位置、角度、长度等关系的变化，从而提高学生的空间想象能力.

（2）变形发散——设想.

在教学过程中，在分析核心概念的形成过程或切入典型问题的探究时，要进行多方面、多层次、多角度的变化的、灵活的思考和理解，在条件的变形、增加、减少等假设下，以一题多变、多题归一的方式培养和发展学生思维的灵活性. 例如，最值相关问题和三角恒等变换等内容对学生思维的灵活性要求较高.

（3）迁移类比——联想.

联想指一种从已经掌握的原理和方法中得到启发，通过不同对象间的迁移和类比，找到切入和解决新问题的思路和途径，进而得到类似问题的正确结论或解决同构问题的有效方法. 这种迁移联想通常是学生认知的横向发展和纵向升级过程. 例如，二维平面到三维空间、等式到不等式、等差数列到等比数列、向量与复数等内容，都可以通过类比迁移进行学习，以实现方法上可突破、体系上更完整、思维上有创新. 对于联想类比过程中可能出现的负迁移问题，可以通过严谨的逻辑推理给予纠正.

（4）数形结合——构想.

数形结合是理解数学问题最直观有效的方式. 教学过程中要时刻围绕数形结合引导学生从形的角度理解代数问题，或者从代数角度去看待几何问题. 通过数与形的相互转化，能实现对学生思维深刻性、灵活性和敏捷性的有效培养. 例如，研究方程、不等式时构造函数并作出对应图象，研究直线与曲线位置关系时建立平面直角坐标系并作出相应图形，研究空间位置关系时作出直观图、三视图等.

（5）直觉顿悟——奇想.

数学直觉源自活跃的思维活动，是由对数学研究对象的领悟和洞察而产生的一种不包含普通数理逻辑的直觉悟性，这种直觉常表现出思维的跳跃. 在数学教学中，教师可以从数字敏感、结构感知、同构表述等方面创设情境、诱发奇想、产生直觉. 例如，勾股数、单位圆方程、斜率公式、两点间距离公式、两角和与差的三角函数公式、基本不等式等内容都有相应的数据特征和结构特点，审题时可以观察分析条件进行特征匹配，由此培养学生思维的批判性和敏捷性.

（6）民主交流——畅想.

设计课堂互动与交流活动是提高学生课堂教学参与度和教学效率的有效方式. 课堂上，师生、生生之间的相互交流可以促进思维成果的横向扩散或水平流动. 在课堂教学中，教师设计交流活动前期，学生不同的能力水平将导致学生的表述未必准确、成熟，此时教师切忌轻率地否定学生的观点，而是要以鼓励的口吻充分肯定学生思维活动中的合理部分，也鼓励其他学生对此提出完善和补充的建议或不同的想法和做法，由此形成平等民主的交流讨论氛围，为学生思维深刻性、批判性和敏捷性的发展营造良好的环境和土壤. 畅所欲言，方能碰撞出思维的火花.

5. 以综合为载体，做到交叉渗透

在《体系》中，高考以测试学生的数学综合能力为目标之一，对数学试题提出具有学科特点的基础性、综合性、应用性、创新性的“四翼”考查要求. 数学试题的综合性强调的是知识间的交会融合，强调各分支内容和学科之间的交叉渗透. 这种联系可以是数学学科知识的内部联系，也可以是数学与其他学科知识间的紧密结合. 考查中要求学生能根据多个角度的内容、系统的分析方法和综合的思维视角，综合运用数学思想方法解决问题.

试题的综合性常表现在知识的叠加、方法的渗透和工具的运用三个方面. 对于单选类综合题，复习备考中要注重强调多个知识的交叉渗透及多种方法的融会贯通（如求最值、参数范围等）. 对于多选类综合题，学生在学习中要建构知识体系，通过一个共同的载体形成多类元素之间的有效连接，由此形成从点到面的网络系统（如函数的性质、圆锥曲线的性质、空间几何体的位置关系等）. 对于应用类综合题，要尝试以系统的分析方法、转化的归类视角，同时运用通性通法（工具）来解决问题（如向量法、导数法、坐标法等）.

学生的思维唯有在深刻性、灵活性和系统性方面有稳固的基础，面对综合性试题才能驾轻就熟.

6. 以规范为准绳，做到清晰严密

面对高考，学生通过答卷展示其能力水平. 高考数学试卷中也明确了解答题的答题要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 因此，清晰、严密、规范的书写表达能让评卷者更迅速地给出客观且合理的评判.

（1）计算求解类解答题.

此类解答题规范的答题过程一般要求有如下六个步骤：一是写出解题所依据的定理或公式；二是把已知条件的数据代入公式中；三是对表达式进行变形运算和化简；四是得出最简的结果；五是对结果进行检验，去伪存真；六是综述并写出最终结论.

但学生的解题过程往往只体现了步骤二、三、四，甚至只体现步骤二和步骤四. 根据高考的评卷要求，这种跳步表达将会丢失未书写部分对应的分值，这也就是平时常说的“对而不全”的典型问题.

（2）证明类解答题.

证明题重逻辑推理，规范的证明过程一般要按照演绎推理的三段论形式进行表达. 因此，要先写出定理名称（大前提），再逐一列举出具体的条件（小前提），最后得出结论. 演绎三段论的推理过程是一个有机整体，缺少任何一步都会导致推理的逻辑失效. 没有写出大前提，会对证明过程产生堆积条件得出结论的误解；未列举小前提的全部条件，则可以认为推理的条件不足；只列举了条件而没有写出结论，则可以认为未能掌握根据条件进行有效判断的方法.

三个步骤的问题中，又以小前提错误最多，常见的是条件列举不全. 例如，在线面垂直的判定定理中，学生常见的错误是未列举出线在平面内和两条直线相交的辅助条件，从而导致证明过程的规范性不足.

（3）填空题.

填空题属于只需要写出最终答案的题目，因为不需要体现解题过程，所以最终答案必须结果准确、形式最简、书写规范.

确保答案的准确性是解答填空题的最基本要求. 准确性问题一般会出现在计算和表达上. 例如，求直线方程时，若试题没有对直线方程形式进行要求，则写出直线方程的任意形式都是准确的；若试题指定求直线的一般式方程，那么写出的结果是斜截式则不符合准确性要求. 又如，如果求出的函数是分区间单调的，则不能用“∪”连接两个区间. 此外，区间端点的开闭也是需要注意的问题.

在规范性要求上，一是要符合标准. 例如，对数式的书写需要注意底数符号书写的大小和位置，学习对数运算书写符号时，让学生清晰认识到如图5所示的这种“井”字型结构，就不会出现底数与真数大小相同的不标准表达. 二是要符合题意. 例如，要求定义域，则答案必须是區间的形式，不能是不等式的形式. 又如，若题目要求“以数字作答”，则答案必须是具体数字，不能是组合数或排列数形式. 三是不能自创符号. 填空题无解答过程，因此答案中不能出现自定义的符号，以免引起答案指代不清的问题. 例如，求抛物线的准线，有的学生将答案写成[l=-1，] 这就无法辨析这个符号的含义. 四是不能画蛇添足. 例如，求数列的通项公式，有的学生会给出[an=2n+1]这种不规范书写.

作为学生，在平时的解题练习中，要接受标准规范的约束；作为教师，则要以身作则掌握好规范的表达，这样才能在课堂中做出标准的示范，树立优秀的榜样，在讲评中指出学生规范性的不足，在作业或练习的批改中给出学生解题规范性方面的优化建议，进而提高学生书写表达的规范性.

无论是解答题，还是填空题，清晰的思路、严密的推理、规范的表达都充分体现了学生在解题过程中思维的敏捷性和逻辑性，以及对数学的深刻理解，这些都闪耀着学生思维的火花.

高考数学复习备考是一个系统工程，我们应该尽力适应新的要求，坚韧不拔、迎难而上. 学生有信心、不惶恐，需要勇毅接受并面对各种难度试题的挑战；教师态度不消极，认清形势、找准方向，并不断学习更新理念和方法；学校决策不糊涂，为学科教学的协同进步做坚强后盾和有力保障.

参考文献：

［1］教育部教育考试院. 深化高考内容改革  加强教考衔接：2022年高考全国卷命题总体思路［J］. 中国考试，2022（7）：1-6.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］于涵，任子朝，陈昂，等. 新高考数学科考核目标与考查要求研究［J］. 课程·教材·教法，2018，38（6）：21-26.

［4］章建跃. 数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［5］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

作者简介：廖伟君（1980— ），男，中学一级教师，主要从事高中数学教育教学研究.