指向初中数学本质的几何教学探究——以浙教版八下“5.2.1菱形”为例

浙江省衢州市第四实验学校 项志成 邓 达

随着课改的深入，课堂教学的方法、手段变得越来越丰富.既要提升学习兴趣，又要提升学科素养，无不考验着教师的教学智慧[1].章建跃博士指出：“数学课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，要有具体措施，要把数学学科核心素养落实在数学教育的各个环节.”不管我们的教学形式如何变化，都应该坚持一个原则，即注重数学本质的呈现，这是数学教学的立足之本[2].笔者以浙教版八下“5.2.1菱形”为例，结合自身多年的实践探究，提出个人的一些思考.

1 教学目标

(1)通过折纸活动，经历菱形的概念生成和理解的过程.

(2)类比平行四边形的研究方法和内容，经历菱形性质的发现和推理验证的过程.

(3)掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角”，并应用性质定理解决相关的数学问题.

2 教学设计

2.1 折——由“数学实验”到“数学味道”

师生活动：取一张长方形纸片，按下图1-1,1-2所示的方法对折两次，并沿图1-3中的斜线(虚线)剪开，把剪下的Ⅰ这部分展开，平铺在桌面上.

师：剪出的这个图形是平行四边形吗？你是如何判定的？

生1：是平行四边形.由折叠可得两对内错角相等，因此两组对边分别平行.

生2：由折叠可以得到它的一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分.

师：这个平行四边形还有什么特别之处？

生：它的四条边都相等.

师：像这样的平行四边形，我们把它叫做菱形.类比矩形的定义，你能给菱形下定义吗？

生：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

设计意图：折纸是教材中“菱形”第2课时合作学习中的内容，通过合理改编教材，利用数学实验一方面帮助学生回顾平行四边形的相关知识，另一方面让学生经历菱形的概念生成和理解的过程.通过设置问题串，引导学生发现图形中要素之间的内在联系，由“数学实验”转向“数学味道”，激发学生的探索欲望.

2.2 证——由“几何直观”到“逻辑推理”

在数学教学活动中，注重逻辑推理的培养，有利于学生理解一般结论的来龙去脉，形成举一反三的能力，有利于学生提高探究事物本源的能力.

师：由定义可知，菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.它还具有哪些特殊性质呢？

生：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直.

师：你是怎么发现的？

生3：通过观察就能得到.

生4：我觉得可以通过折叠得到.(该生将手中菱形进行折叠.)

师：很好.但观察、实验并不等于证明，你能证明吗？

生：可以.第一个性质利用平行四边形的性质与菱形的定义即可证明.(该生讲授证明过程后，教师板书该性质定理.)

图2

师：很好.接下来请同学们完成第2个性质的证明.

已知：如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.求证：AC⊥BD.

学生自主完成证明过程，教师巡视指导证明的规范书写，师生归纳出两种方法：一是证明三角形全等；二是利用“等腰三角形三线合一”.师生通过比较，一致认为第2种方法更加简洁.

追问1：利用“等腰三角形三线合一”还能得出什么结论？

追问2：你能通过折叠得到上述性质吗？

追问3：菱形具有怎样的对称性呢？

最后由学生从边、角、对角线以及对称性方面对菱形的性质进行系统梳理.

设计意图：通过折纸，引导学生从边、角、对角线三个要素自主探究菱形的性质，明晰研究图形性质的一般路径，同时处理好特殊与一般的关系.通过进一步的证明，加强逻辑推理，体现数学的严谨性.

2.3 用——由“学以致用”到“举一反三”

例题如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O, ∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长.

师生活动：由学生自主完成求解过程，教师指导规范求解过程，并作如下追问.

追问1：得出等边三角形的依据是什么？

追问2：此例题用到了菱形的哪些性质？

设计意图：例题是在前面图形基础上，对内角的特殊化，让学生探究边、角、对角线之间的一些结论，也是对菱形中特殊三角形挖掘的延续.

2.4 变——由“千变万化”到“追本溯源”

练一练如图3，已知菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E,F.求证：AE=CF.

图3

图4

方法1：证△ABE≌△ADF可得AE=CF.

方法2：S菱形ABCD=BC·AE=CD·AF，再由BC=CD可得AE=CF.

变式1如图4，已知菱形ABCD中，E,F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.

求证：∠AEF=∠AFE.

方法1：证△ABE≌△ADF可得AE=AF，再由等腰三角形性质可证得结论.

方法2：连结AC，证CE=CF，再由“等腰三角形三线合一”可得.

图5

变式2如图5，在菱形ABCD中,∠ABC=60°.现将一块含60°的三角尺AMN (其中∠NAM=60°)叠放在菱形上,然后将三角尺绕点A旋转.在旋转过程中,设AM交边BC于点E,AN交边CD于点F,那么BE+DF与AB有怎样的数量关系?

分析：连结AC，证△ABE≌△ACF或△ACE≌△ADF，再由“菱形的四条边都相等”可得.

追问：四边形AECF与菱形ABCD的面积之间有何关系？

设计意图：几何教学应当进行适当的变式练习，体现“万变不离其宗”的数学本质，追本溯源，揭示数学本质.以教材习题为基本素材，通过点E,F在菱形边上的位置变化，进行变式训练，加深学生对菱形性质的理解.

通过“问题驱动”的方式展开小结，从研究内容到研究方法的延伸，将本节课的知识脉络清晰地展现在学生面前，内化整堂课所学内容，由“知识梳理”到“思维提升”的演变，为后续学习做好铺垫.

3 教学反思与感悟

3.1 聚焦数学实验，揭示数学本质

数学实验教学，是让学生通过动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得数学结论，它是让学生内心生长的一种有效途径.在本节课教学中，通过折纸，引导学生类比平行四边形，自主探究菱形的性质.让学生聚焦在折纸这个数学实验上，去发现与经历菱形的概念的形成与理解，有效地撬动学生的思维自然生长，理性思考，有助于在教和学中揭示数学本质.

3.2 挖掘数学内涵，提升学科素养

《义务教育数学课程标准(2011版)》在“课程设计思路”中明确指出：“在数学课程中应注重发展学生的几何直观与逻辑推理能力.”因此，指向数学本质的数学教学不能停留于知识层面，而是让学生经历深度学习的过程，促进思维的自然生长；引领学生去充分挖掘菱形的内涵；同时在教学中渗透转化、类比的数学思想，积极培养学生的逻辑推理能力，进而提升数学学科素养[3].