开展探究式教学 提升整体性认知——以“平行四边形的判定”教学设计为例

深圳市宝安区海乐实验学校 高 宇

广东省深圳市教科院举办的数学教研活动中，笔者有幸执教北师大版八年级下册“平行四边形的判定” 第一课时，现将本节课的教学实录与大家分享.

1 教材分析

学生已经完整地学习了三角形的内容，三角形的研究方法和研究路径为四边形的学习奠定了理论基础，找准了研究方向,同时渗透了类比、转化、化归、分类讨论等数学思想，培养了学生数学推理能力和图形迁移能力.

平行四边形的判定既是对前面所学平行线、三角形和平行四边形等相关知识的运用和深化，也为后面学习特殊平行四边形积累了基本活动经验.

2 学情分析

学生已经有了三角形、平行四边形定义和性质的知识储备，经历了从一般到特殊、从定义到性质到判定再到应用的探究过程.学生在学习等腰三角形、直角三角形中积累了几何图形判定的学习经验，但学生思维的严密性和逻辑性还不够.因此在教学过程中，教师需要做好引导作用，引导学生进行合作学习和自主探究，从而让学生通过实验、猜想、验证发现平行四边形判定定理，进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.

3 教学目标

(1)掌握平行四边形的判定定理，发展学生的数学抽象、空间观念，几何直观；

(2)通过剪、拼的方法探索平行四边形的判定条件，在实践探究活动中将几何直观和简单推理相结合，发展推理能力；

(3)渗透类比、化归、转化、分类讨论等数学思想，提升表达交流能力、分析问题和解决问题的能力，体验成功的喜悦，增强自信心.

4 教学重难点

重点：探索并证明平行四边形判定定理.

难点：平行四边形判定定理的应用.

5 教学过程设计

教科书设计了用细木条拼摆平行四边形的情境，两个判定定理的探究情境虽然都用到了细木条，但不是同一个情境，而且每个情境都只是呈现了判定定理的已知条件，并没有提供由已知条件到结论的思路来源.

实际教学中，很多教师忽略了通过探索发现结论的过程，而是根据定理之间呈现互逆性这一普遍规律，直接带领学生走上了验证平行四边形逆命题的道路，从而将学生的思维限定在性质定理上.

《教师教学用书》也建议创设更现实、更有趣的问题情境，让学生进行自主探索，通过探索发现结论，得出猜想，然后再进行证明，从而让学生体会到证明活动是探索活动的自然延续和必要发展.

5.1 情境导入，自主探究

探究活动1：如图1，首先画出一个平行四边形，沿着对角线把它剪成两个三角形，能否把这两个三角形拼成不同的平行四边形？

图1

教学说明：学生通过剪、拼活动直观感知，平行四边形的研究总是利用到三角形的知识.事实上，平行四边形可以看作是由两个全等三角形的相等边重合在一起构成的，为后续证明平行四边形的判定定理找准路径、提供方法.

学生在动手拼图前，学生因此会联想回顾平行四边形的性质，由平行四边形边的性质寻找两个三角形相等的边.从拼图中自然联想到性质，用学过的知识作为解决问题的引擎，在探究活动中复习以前学过的概念，比直接提问效果更好.

5.2 循序渐进，发现问题

问题1根据研究等腰三角形和直角三角形的经验知道，定义是探索判定的起点，验证判定定理最终都是要回归到定义，这种转化的思想在几何图形的探究中一以贯之.平行四边形的判定要研究的问题是什么？

教学说明：教师启发学生温顾过往学习几何图形的研究路径和经验，“明晰判定定理要探究的问题是一个四边形具备怎样的条件就可以推出它的两组对边分别平行”[1]， 验证平行四边形的判定条件最终都是要回归到平行四边形的定义.

面对图2中两个新四边形，学生自然好奇四边形的边之间的位置关系和数量关系，激发了学生进一步探索的欲望.

图2

5.3 观察分析，提出猜想

问题2从等腰三角形、直角三角形的性质和判定之间的逻辑关系，看性质和判定有怎样的内在联系，平行四边形的判定定理是什么？你能证明吗？

教学说明：在四边形的学习过程中，深化几何图形的基本路径“定义—性质—判定—应用”，利用判定与性质的逻辑关系，通过探索性质定理的逆命题是否成立而得出判定定理.

5.4 逻辑推理，证明猜想

平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

很多学生在推理验证过程中连接四边形ABCD的对角线AC或BD，这样四边形的问题就转化为三角形的问题.在剪拼活动中学生已经有了直观感受，再利用三角形的全等回归到平行四边形的定义，从而判定定理得证.从探究到验证前后一致，借助几何直观，发展了学生推理意识，让学生的在数学课堂中感受行而知之，知行合一.

探究活动2：对于四边形ABCD,给出①AB∥CD，②AD∥CB，③AB=CD，④AD=CB四个条件.其中①和② 构成平行四边形定义的条件组合， ③和④构成判定定理1的条件组合.

问题3回顾两个三角形全等判定定理的探究经验，思考判定一个四边形是平行四边形至少需要几个条件？引导学生写出其他的组合情况.

教学说明：七年级下学期探索三角形全等的条件运用了分类讨论思想，从1个条件逐步增加条件的数量进行分析.学生积累的几何学习经验为探究活动2奠定了基础.判定一个四边形是平行四边形至少需要两个条件，而四个条件共有6种组合形式，除了构成定义和判定定理1的两种组合，剩余4种又可以分为“一组对边平行，另一组对边相等”“一组对边平行且相等”这两类.对于命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形”，引导学生首先尝试举例验证进行直接猜想，容易举出等腰梯形作为命题不成立的反例.而命题“一组对边平行且相等的四边形”，学生无法列举该命题不成立的反例，教师继续引导学生根据之前积累的探究经验，通过证明三角形全等进行验证，从而得到平行四边形的判定定理2.至此，两个判定定理经过实验、猜想、验证的基本几何路径进入运用阶段.

5.5 应用创新，解决问题

例1如图3，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点.

求证：四边形AECF是平行四边形.

图3

变式1如果将例1中“点E，F分别在BC，AD的中点”改为“点E，F分别在边BC，AD上，且BE=DF”，那么结论是否仍然成立？请说明理由.

变式2如果将例1中“点E，F分别在BC，AD的中点”改为“线段AE，FC分别是∠BAD，∠BCD的角平分线”，那么结论是否仍然成立？请说明理由.

教学说明：例1是对平行四边形性质和判定的综合应用.在条件不变的情况下，根据本节课所学的两个判定定理探求一题多解.改变题目条件的情况下，通过渐进式的拓展探求一题多变.一题多解、一题多变有助于培养学生思维的深度和广度.

例2由两个完全相等的三角尺可以拼成几个平行四边形？请说出理由.

设计意图：此题是根据探究活动1改编而成，两个完全相等的三角尺可以看作是由一个平行四边形沿对角线剪出的两个全等三角形，从而让学生在实践活动中提升学科核心素养.

5.6 布置作业.

选取教材相关习题作为本课时作业，略.

6 教学反思

本节课以探究活动的形式呈现，让学生经历“实验—猜想—验证—运用”的几何研究方法.“研究判定，就是在探索‘两组对边分别平行’的等价条件的指引下，利用‘判定’与‘性质’的逻辑关系，通过探索性质定理的逆命题是否成立而得出判定定理.”[1]从研究几何方法和路径来讲，四边形和三角形有着很大的相似性，但是单凭三角形的学习很难让学生建立起对几何图形的整体认知，而四边形的学习实现了三角形和四边形的有效融合，形成了几何思维和能力的迁移.

构建关于几何图形的整体性认知结构，突破平面几何图形的界限，是学生形成和发展系统性思维的“脚手架”，是发展学生几何直观、空间观念、推理能力等核心素养的必经途径.

因此，教师在几何教学中应当引领学生把知识纵向链接起来，形成几何整体性思维的认知框架，为核心素养切实有效的落实提供有力践行渠道.