初中生数字特征理解水平：现状、问题、对策

甘肃兰州 西北师范大学 教师教育学院 张定强 王金燕 申韩丽

1 问题提出

大数据时代要求每一位公民具备从大量的数据中提取信息进行分析处理、推断决策并解决问题的能力，义务教育阶段正是培养数据分析素养的关键时期.初中教材中将中位数、众数、平均数、极差、方差等统称为数字特征，数字特征是利用样本算出的一系列反映样本特征的数，用以刻画同一事物不同方面的性质，以达到认识全局的目的，是数据素养发展的核心内容.《义务教育数学课程标准(2022年版)》学业要求中指出，学生将通过样本数据推断总体特征的方法形成，发展数据观念[1].由此可见，运用数字特征分析数据就成为发展学生数据分析素养的关键.

目前研究者对数字特征的研究主要体现在两个方面.一是对学生的某些数字特征理解水平进行单独研究[2]；二是将数字特征融入数据分析观念系统之中进行分析和研究[3].事实上，作为数据观念以及数据分析素养的形成，一个核心的问题就是要明晰学生数字特征理解的水平现状，探析学生在情境中计算、理解和应用数字特征中存在的问题及成因，寻找应对的策略，为更进一步发展数据分析素养奠定基础.

2 研究设计

2.1 研究对象

研究对象选自山西省太原市某中学的八年级学生，采取整群抽样的方式，共选取4个班170名学生，按期中学业质量等级情况将班级划分成优、良2个层次，其中优班2个、良班2个.最终回收有效试卷155份，占总数的91.18%，其中男生67人，女生88人.

2.2 研究工具

编制“初中生数字特征理解水平测试卷”.通过研究与数字特征相关的习题和中考题，借助SOLO分类法，参考专家和一线教师的修改意见，不断明晰测试题、测试卷维度和测试题水平分析框架(限于篇幅略).经过反复研讨，修订后的测试卷中题目包含数字特征的计算(1,2题)、理解(3,4题)和应用(5,6题)3个维度，每道试题包含四个水平，根据学生的具体作答评定，满分24分.其中，前结构水平为水平一并赋值为1，单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平依此类推.特别地，在测试卷中每道题目下方设置了草稿区和作答区，学生可以在草稿区写出自己的思考过程或解题时停顿的原因，观察学生在每一道试题上的反应，由答题的外显行为推测学生的内在心智特质并估计其水平，再通过统计分析和质性分析发现隐藏在测试数量关系中的学习信息.

3 调研的结果及分析

总体来看，初中生对数字特征的理解水平处于中等水平(M=13.68)，在数字特征的计算维度题目得分较高，但在数字特征的应用维度题目得分偏低.6道题中得分较低的3道题分别是第5题(M=1.54)、第6题(M=1.93)和第3题(M=1.93)，得分差距较大的两道题分别是第6题(SD=1.201)和第3题(SD=1.088)，反映学生在正确认识数字特征的知识储备上存在一定的差异，在相对复杂的情境中选择数字特征，以及正确决策和分析数据的能力也有待提高.

进一步以总得分和每题得分进行差异检验，发现不同学业成绩等级学生存在一些差异，但未构成统计意义上的显著水平.

4 存在的问题及分析

学生对数字特征的掌握主要存在如下4个方面的问题.

4.1 运算过程出错

对于数字特征的计算，学生存在如下问题.一是读取数据有误导致列式出错，如，不能准确读取题1中打分雷达图、题4中射击成绩条形图中的数据.二是单纯计算出错，如，在题1，4，5中求解各数字特征时出错.三是定义不明晰导致基本公式列错，如，题1算产品平均分仅将各项得分相加得到总分，未除项数；题1要求按1∶4∶1∶2∶2计算加权平均值，有学生未分清权和权重、项数和比例而混用公式，错列式为

题4算方差时,将公式错列为

4.2 概念理解不透

初中“统计”中最为核心的概念有中位数、众数、平均数、极差、方差等，其中理解偏差最多的是平均数和方差.

4.2.1 对平均数理解的偏差

对于平均数的理解，学生存在如下问题.一是对平均数中“平均”的理解有误，在内涵上和中位数混淆.如题3(题目中的主要信息是46株独蒜兰种苗的平均鲜重是21.11 g，编号21的独蒜兰种苗鲜重是21.23 g，在46株独蒜兰的鲜重里是中等偏下的，这一情况是否可能)中部分学生回答“不可能，由于21.23 g>21.11 g，因此 21号独蒜兰的鲜重应在中等偏上”，或者画出46条竖线，数到第21条并得到其位置应为中等偏上，这本质上是将分布在两侧的数据平均和分布在两侧的数量相同混为一谈，即混淆了平均分布和均匀分布的意义，后者为中位数代表的含义，前者才是平均数.这一误区在题4中从条形图估计平均数也有体现，部分学生给出估读的理由不是割补法，而是诸如“8环是中间/不大不小的数”“从两边同时划去相同的数得到8”等回答，忽略了此种方法下对称分布的前提.二是对“平均数受极端值的影响”理解不到位，无法结合情境理解题意.如，题3中仅少部分学生回答较为具体，诸如“平均数并不是中间的数”.再如，“有可能后20株鲜重全部在18 g左右降低了平均数”“平均数受极值影响，所以不能单看某个值，要放在总体中判断”等.

4.2.2 对方差理解的偏差

对于方差的理解，学生存在如下问题.一是错误地认为方差越大数据越稳定.二是认为方差不受个别数据的影响，如在题2(题目中的主要信息是给出全校随机抽取了50名同学的测试成绩的不完善统计表)中回答方差与被遮盖的数据无关.三是对“离散”一词的理解不深刻，刻画离散的前提是有相应的标准或参照，如题4中一组数据都要与该参照(即平均值)进行比较，而非学生片面回答的“10次射击成绩中的低分较少，所以方差小”，题5(11名顾客在两家银行的等待时间)中学生分析有更多不满意顾客的银行时，仅通过观察数据的波动程度或是否存在极端值来判断，忽略了平均数对于方差离散的意义.在题4平均数相等的情况下，部分学生比较两组数据的方差时只看数目(出现次数)或纵向数值的落差/变化程度，回答诸如“两人同时有两个一次，一个两次和两个三次，所以方差相等”，忽略了不同高度的柱与平均数间横向的距离关系，未能结合代数式理解离散的几何意义.

4.3 样本总体混淆

调查结果表明，学生学习过程中往往分不清样本数字特征和总体数字特征.题2要求根据随机抽查50名学生的成绩估计全校学生的得分情况，几乎所有学生都能给出正确答案，但从其阐述可以看出，一些学生并未分清样本和总体的关系，无法理解用样本估计总体的思想，只是歪打正着选择了分析样本后得到的数据，如“我认为该校得分最多的成绩是100分，得100分的有13人，其余的人数都小于13人”.题6(给出从下午14：00～17：00每隔相等的时间车在3分钟内车流量的8次统计表)要求根据时段抽查的数据估计该时段的总车流量，部分学生解题时没有目标和思路，不会用样本估计总体的方法解决问题，如，仅仅把抽样结果求和或求均值代替总体得到结论、取抽样结果的均值乘8(抽样次数)或乘3(总时段)等，或者求出平均每分钟通过的车流量，但无法确定总体等，题设要求估计总车流量而非抽查车辆，可以发现学生在分析问题时逻辑不清，原因是未分清总体和样本分别代表什么，将二者互为混淆.

4.4 应用能力不足

运用统计思维观察并思考问题是合理分析数据的前提.结果表明，学生解题时多凭借直观经验作答，欠缺在情境中运用相关知识将问题数学化的能力，得到的结论虽有一定道理，但不够严谨.如题5中有学生认为A银行越往后等待时间越长，因此顾客更不满意；A银行数值不稳定，有极端值，所以更多顾客不满意；A银行有3位顾客等待时间超过了8分钟，所以更多顾客不满意等.相反有人认为B银行只有一个队伍，所以等待时间要更长，不满意的顾客更多；B银行数据波动小，等待时间都在6分钟以上，有较多不满意客户等.可以看到，在求解此类问题时学生大多以经验分析代替了量化分析，没有从统计角度思考问题.

另外，部分学生缺乏在情境中灵活地选择、运用数字特征的能力.如题2中有学生错用中位数而非众数估计总体学生的成绩情况；题5中用众数或极差等来判断顾客对银行等待时间的满意度；题6中用众数或中位数作为8次抽样的代表值.也有学生不能结合多种数字特征全方位地刻画某一事物的本质属性，如题5中有学生求得两家银行等待时间的平均值相同，因此认为不满意的顾客一样多，没有运用其他数字特征进一步刻画；有学生仅通过观察发现A银行等待时间波动大，没有考量其他数字特征指标，得到的结论不够严谨；还有学生算得B银行方差较小，更为稳定，因此认为若只有6分钟等待时间应选择B银行，刻板地套用知识，使作答结果失去价值.

5 应对的基本策略

调研发现,初中生在数字特征方面存在着运算过程出错、概念理解不透、样本总体混淆和应用能力不足等问题，教师需要针对问题产生的原因，采取有效的应对策略以提升学生对数字特征的理解和应用能力.

5.1 强化运算对象解析，注重运算过程分析

学生在基本运算过程中出错的根本原因是没有理解运算对象的含义，很多时候对公式都是机械记忆，不理解其产生的意义，情境变化就不符合原公式，致使对知识的掌握不断惰性化.这就要求教师在运算对象的解析上下功夫，在进行数字特征教学时，对数字特征知识体系中所涉及的诸如平均数、中位数、众数、方差等概念要设计明确的理解和掌握目标，引导学生不论是对集中型或离散型的数字特征，都要在丰富的问题解决环境和变式练习中去感悟，这就需要巧设运算过程，着力易错点的突破.如，权和权重是描述数据重要情况而派生的概念，相同点都与重要程度有关，不同点是所占份数即是权，所占比例即是权重.教师应通过对细节的挖掘引导学生不断地辩错悟真，具象化地运用公式.

5.2 增润统计教学情境，加深核心概念理解

学习数学极为重要的是关于核心概念的掌握和理解.统计中很多概念比较抽象，加之与学生的实际生活经验有点距离，也会影响他们对概念或方法的理解，形成一些直觉性错误[4].为此，教师需要精心选取教学资源，引发学生认知冲突，诸如设计平均数、中位数和众数关系如何、方差的几何意义如何理解等问题的探讨，教师需要抛去讲授的思维套路，提供更多的辩论的时间和空间，合理地引导学生思维转向，促使学生在正面认识概念或错误辨析的同时，再从反面剖析或案例化的解释，以强化学生的理解.由于数字特征在日常生活中的应用越来越广泛，学生需要从多个角度理解，教师要避免单一情境带来的固化思维，提供丰富的情境开阔学生视域，重视情境对概念辨析的促进作用，以促进学生全方位地掌握知识.

5.3 捋清样本总体关系，增强统计推断思维

运用样本数据推断总体的思想方法已成为大数据时代的一种普遍使用且强有力的思维方式.由于描述样本数据的数字特征并不是总体真正的数字特征，而是对总体特征的一个合理估计，这就需要学生在学习中渐次上升到推断性思维上.调查发现，学生在统计推断中分不清样本和总体数字特征的概念，将二者互相混淆，使统计推断的方式方法在实际运用中扁平化、单一化和刻板化.因此，教师要在统计教学中全程渗透推断性思维，捋清样本、总体和数字特征等概念的逻辑关系，让学生在适宜的生活背景中整体地感悟这些概念，直观、清晰地识别和选取信息，以确保在问题解决时能够正确规划步骤、完成样本推断总体数字特征的建构与分析.

5.4 强化问题解决意识，发展统计应用能力

数字特征是分析和推断数据的重要工具和手段，可以直观、清晰地刻画数据所呈现出的一些特点，在实际问题中，统筹运用数字特征的能力就十分关键和重要.调研发现，学生灵活选择和运用数字特征的能力不足，原因在于实践训练不够，数字特征运用意识不强，教师在教学中过多地纠结于点位讲解、局部代入和应用，没有与最接地气的现实问题相扣，导致学生在问题解决中不会将知识带入到情境，过分依靠直觉作答.因此，教学要回归到现实，用更多的实例引导学生运用统计思维去分析与解决迫切的现实问题，在真实和丰富的情境中让知识发挥真正价值，目的是了解数字特征灵活的选用规律和透过表面所展现出的本质属性，以此锻炼结合多种数字特征全方位地认识事物、刻画事物的统计素养.