“双棒”在磁场中运动问题分类剖析

■福建省漳州招商局经济技术开发区海滨学校 周乾坤

“双棒”在磁场中运动问题涉及电磁感应和电路的综合应用,遇到“双棒”在磁场中的运动问题,只要抓住“单棒”切割磁感线产生的感应电动势E=BLv,“双棒”切割磁感线产生的总感应电动势可以同向串联或反向串联,以及闭合电路欧姆定律,即可顺利求解。下面选取常见的两类“双棒”在磁场中的运动问题,探究其求解方法,供同学们参考。

一、“双棒”在水平导轨上运动

两根导体棒与水平导轨组成闭合回路,两根导体棒做切割磁感线运动,产生感应电动势,形成双电源问题。求解这类问题时,分析感应电动势的大小是关键环节,可以先求出初、末二态磁通量的变化量,再运用法拉第电磁感应定律求出总感应电动势;也可以先求出每一根导体棒产生的感应电动势,再根据两感应电流的方向相同,两感应电动势取和,两感应电流的方向相反,两感应电动势取差,求出总感应电动势。

1.“双棒”在水平导轨上同向运动。

例1两根足够长固定平行金属导轨位于同一水平面内,导轨上垂直放置两根导体棒1和2,在整个导轨平面内有竖直向上的匀强磁场,其俯视图如图1 甲所示。已知两导轨间的距离为L,两根导体棒的质量均为m,电阻均为R,回路中其余部分的电阻不计,匀强磁场的磁感应强度为B。两导体棒与导轨接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行,开始时两导体棒均静止,间距为x0。现给导体棒1向右的初速度v0,并开始计时,得到如图1乙所示的Δv-t图像,其中Δt=v1-v2,v1表示导体棒1 的瞬时速度,v2表示导体棒2 的瞬时速度,则下列说法中正确的是( )。

图1

A.在0～t2时间内,回路中产生的焦耳热

B.t1时刻回路中的感应电动势E=BLv0

C.t1时刻导体棒2 的加速度a=

D.t2时刻两导体棒间的距离x=x0+

解析：根据F安=BIL可知,两导体棒所受安培力等大反向,由两导体棒组成的整体不受外力作用,动量守恒。t2时刻Δv=v1-v2=0,说明两导体棒同速,根据动量守恒定律得mv0=(m+m)v,解得,根据能量守恒定律得,解得,选项A 正确。t1时刻Δv=v1-,根据动量守恒定律得mv0=mv1+mv2,解得。t1时刻两导体棒均向右做切割磁感线运动,形成双电源,根据法拉第电磁感应定律得E=BLv1-BLv2,其中,解得,根据闭合电路欧姆定律得,对导体棒2应用牛顿第二定律得BIL=ma,解得a=,选项B错误,C正确。在0～t2时间内,对导体棒2应用动量定理得,即,又有,解得x=,选项D 正确。

答案：ACD

点评:在0～t2时间内,导体棒1向右做初速度为v0的减速运动,导体棒2由静止开始向右做加速运动,根据右手定则判断出两导体棒中的感应电流方向相反,且导体棒1的速度大于导体棒2的速度,导体棒1 切割磁感线产生的感应电动势较大,因此回路中的总感应电动势E=BLv1-BLv2。

2.“双棒”在水平导轨上反向运动。

例2两根足够长固定平行金属导轨位于同一水平面内,导轨上垂直放置两根金属棒,在整个导轨平面内有竖直向下的匀强磁场,其俯视图如图2所示。已知两导轨间的距离d=0.2 m,匀强磁场的磁感应强度B=0.2 T,两根金属棒的电阻均为r=0.25 Ω,回路中其余部分的电阻不计。两根金属棒在平行于导轨的拉力作用下沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小均为v=5 m/s,两根金属棒与导轨接触良好,不计金属棒与导轨之间的摩擦。在两根金属棒的间距增加s=0.4 m 的滑动过程中,下列说法中正确的是( )。

图2

A.每根金属棒切割磁感线产生的感应电动势均为E=0.2 V

B.回路中的感应电流I=0.4 A

C.作用在每根金属棒上的拉力大小F=3.2×10-2N

D.回路中产生的热量Q=2.56×10-2J

解析：两根金属棒同时沿导轨朝相反方向匀速平移,两根金属棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等,方向相同,两根金属棒与导轨构成闭合回路,其等效电路如图3所示。根据法拉第感应定律得每根金属棒切割磁感线产生的感应电动势大小E1=E2=Bdv=0.2 V,根据闭合电路欧姆定律得回路中的感应电流,选项A 正确,B错误。金属棒沿导轨匀速移动,受到的拉力等于安培力,则F=F安=BId=3.2×10-2N,选项C 正确。在两根金属棒的间距增加s=0.4 m 的滑动过程中,回路中产生的热量等于两根金属棒克服安培力做功而转化的电能,也等于外力F做的总功,则Q=,选项D 错误。

图3

答案：AC

点评:两根金属棒沿导轨朝相反方向匀速平移,根据右手定则判断出两根金属棒中的感应电流方向相同,两根金属棒切割磁感线产生的感应电动势之和等于闭合回路的总感应电动势。

注意：在两根金属棒的间距增加s的滑动过程中,每根金属棒的位移均为,而不是s。

二、“双棒”在不同面导轨上运动

两根导体棒与不在同一个平面内的导轨组成闭合回路,不仅要考虑导体棒切割磁感线产生的感应电动势,还要考虑动能、势能、内能之间的转化关系。求解这类问题时,一般情况下需要将两根导体棒视为一个整体,灵活选用动量定理、动量守恒定律、能量守恒定律等物理规律列式求解。

例3如图4所示,半径为r的光滑四分之一圆弧轨道MN、M'N'与足够长的水平光滑金属轨道NP、N'P'平滑连接,两轨道等高且平行,轨道间距为L,电阻不计。电阻为R,质量为m的金属棒cd锁定在水平轨道上距离NN'连线足够远的位置,整个装置放在磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。现在外力作用下使电阻为R,质量为m的金属棒ab从轨道最高端MM'位置开始以大小为v0的速度沿圆弧轨道做匀速圆周运动,金属棒ab在运动过程中始终与轨道垂直且接触良好,重力加速度为g,则( )。

图4

A.金属棒ab刚好运动到NN'连线位置时金属棒cd受到的安培力大小为,方向水平向左

B.金属棒ab从MM'连线位置运动到NN'连线位置时,回路中产生的焦耳热为

C.若金属棒ab运动到NN'连线位置时撤去外力,则金属棒ab沿轨道能够运动的距离为

D.若金属棒ab运动到NN'连线位置时撤去外力并解除金属棒cd的锁定,则从金属棒ab开始运动到最后达到稳定状态的整个过程中,回路中产生的焦耳热为

解析：金属棒ab刚好运动到NN'连线位置时,回路中的瞬时电流,金属棒cd受到的安培力大小,方向水平向左,选项A 正确。金属棒ab从MM'连线位置运动到NN'连线位置的过程中做匀速圆周运动,设金属棒ab运动到圆弧轨道上的某位置时,该位置与圆心连线跟水平方向之间的夹角为θ,根据v0t=rθ可得,感应电动势,因此回路中电流的有效值,又有金属棒ab沿圆弧轨道运动的时间,故回路中产生的焦耳热,选项B 错误。从撤去外力到金属棒ab停止运动的过程中,根据BILt=mv0和,解得x=,选项C 错误。金属棒ab运动到NN'连线位置时撤去外力并解除金属棒cd的锁定,从撤去外力到两金属棒达到稳定状态的过程中,根据动量守恒定律得mv0=2mv,根据能量守恒定律得,解得。因此从金属棒ab开始运动到两金属棒达到稳定状态的过程中,回路中产生的焦耳热Q=Q1+Q2=,选项D 正确。

答案：AD

点评:金属棒ab沿圆弧轨道下滑,金属棒cd锁定时,金属棒ab切割磁感线产生正弦式感应电动势,计算回路中产生的焦耳热应代入感应电流的有效值。金属棒ab运动到NN'连线位置时撤去外力并解除金属棒cd的锁定后,两根金属棒在水平轨道上平动,满足动量守恒定律和能量守恒定律。