浅谈核心素养视角下数学运算教学中高阶思维的培养

叶娟琴

一、 引言

立足国内数学教育场景分析，数学运算被定义为数学教学传授的一项基本技能，各学段都强调运算“又快又好”的学习效果。诚然，数学运算是解决数学书面问题以及利用数学知识解决现实问题的重要途径，但仅仅将其视为一种“技能”是狭隘的认识，因为数学意义上的“运算”不能完全等同于“计算”。对比而言，数学计算只需要结合已知数量大小、关系，按照数学法则得出答案即可，是一种层次较低的思维活动方式，而数学运算则蕴含着复杂的高阶思维，它更重视数学探究过程，需要学生根据已知条件做出推导、归纳、分析、批判、反思等思维活动。在数学运算教学中培养学生的高阶思维，是数学核心素养的明确要求，即《普通高中数学课程标准》中所强调的“通过运算促进数学思维的发展，形成规范化思考问题的品质”。同时，基于数学运算教学展开小学生高阶思维的培养具有针对性，根据《义务教育数学课程标准》对课程内容的划分，数学运算教学主要发生在“数与代数”的知识范畴内，包括数的认识、数的表示、数的估算、方程、不等式等，以培养小学生高阶思维发展为目标的数学教学实践，当然要提高对“数与代数”教材内容的重视程度和利用效度。

二、 核心素养视角下数学运算教学中高阶思维概述

(一)概念内涵

数学核心素养是指数学学科育人价值的总和，在学生不同数学能力维度下，可以划分为数学抽象素养、数学建模素养、数学运算素养、逻辑推理素养、直观想象素养及数据分析素养六种。其中，数学运算素养即“明确运算对象、按照运算法则解决数学问题的素养”。高阶思维是指建立在较高认知层次上的复杂心智活动，与“低阶思维”(如线性思维、因果思维等)相对应，具体到数学活动领域，主要表现批判、质疑、归纳、发散等复杂思维形态。

从这一点出发，有助于区分“数学运算与数学计算”的差异，数学运算实质是一种逻辑推导，在实践过程中涉及“从一般到特殊、由特殊到一般”的思维转变，大部分情况下要考虑定理与逆定理是否相互成立，而数学计算只追求正确的结果，通常会直接给出计算对象、计算法则、计算思路等，不需要过于复杂的思考。因此，在核心素养的视角下，数学运算是形成高阶思维的有效手段之一，而数学计算是数学运算的一个组成部分。

(二)关系分析

简单地说，在数学运算教学中培养小学生的高阶思维能力，本质上就是借助数学运算技能这一途径，推动学生从低阶思维状态向高阶思维发展的过程，这也是核心素养与高阶思维关系的基础。数学核心素养并不唯一，在分析它与高阶思维的关系时，应该将六种核心素养视为一个整体，一方面，六种核心素养都具有数学的共性思维品质特征(如抽象性)；另一方面，每一种核心素养对标一种数学关键能力，而每一种关键能力发展到最高水平，就意味着学生接触到了高阶思维层次。从这个角度说，数学核心素养整体上如同“柴”，数学运算是其中的“一根”，而高阶思维则是代表“水的沸点”，如果数学运算教学过程中只停留在低阶思维状态，那么“这根柴”就处于不完全燃烧的状态，就容易影响“烧水的火力”。

(三)价值解读

第一，提高小学生利用数学知识解决问题的灵活性。无论是书面问题还是现实问题，在具备高级思维能力的状态下，可以让小学生的解决方式不落窠臼、高度灵活，表现出较强的创新性。由此，在相同体量的数学知识传授前提下，能够提高数学知识点的复用性，实现数学运算能力的增值效应。

第二，引导小学生综合、辩证地展开数学实践活动。正如《义务教育数学课程标准》所述，数学在各行各业、生产生活中具有广泛的应用价值，数学教育的目的绝不是培养仅会计算数量、判断大小的人才。学生达成高阶思维之后，一方面可以综合地考量问题本质、全面整合影响要素、深入解析原因所在，确保问题解决得更加妥善。另一方面，能够辩证地看待解决问题的方法、方式，从中撷取最优化的选择，从而保障数学实践活动的实效性。

第三，高阶思维能够引导小学生进入数学深度学习。浅层学习的状态下，学生只能掌握“怎么做”，如遇到四则混合运算的题目，明白“先计算乘除、后计算加减”，而进入深度学习状态，学生能够理解“为什么这样做”。从浅层学习到深入学习是一个质变的过程，高阶思维则是催化“量变到质变”的关键，它能够引导小学生主动反思结果、利用多种手段检验、积极总结运算规律等。

三、 小学数学运算教学过程中培养高阶思维的策略

结合小学阶段数学运算教学内容，高阶思维的具体培养策略如下。

(一)归纳概括：在引导探索中培养学生的高阶思维

归纳概括之所以被纳入高阶思维范畴，是因为归纳过程中需要面对多个特殊性概念，要求学生能够独立地探索、逐一验证运算结论的可靠性，最后将所有结果合并，概括为一般性规律。在小学数学教学活动中，如果学生能够做到这一点，就意味着达到了高阶思维的水平。例如，人教版小学数学“长方形的面积”教学过程中，分别为学生设计如下题目。

题1：一个长方形的周长是80米，如果该长方形的长是宽的4倍，求该长方形的面积。

题2：一个长方形的周长是80米，如果该长方形的长、宽都是5的倍数，求长、宽分别是多少时，该长方形的面积最大？

通过对比题1和题2，虽然都是围绕“长方形的面积”设计的运算题目，但要解答题2，明显需要学生具备高阶思维能力。这是因为，虽然题1中同样没有直接给出长、宽是多少，但建立起了长和宽的数量关系，基于正方形的周长公式，学生可以轻松地得到“长+宽=40”的结论，在此基础上进一步求“5倍的宽是40米”，就不难推算出长和宽各是多少，再利用长方形面积公式求得最终答案，整个运算过程中思维波动较小、复杂度较低。而面对题2，不仅没有给出长和宽的直接关系，并且所求的不是一个确切答案，而是“可能性最大的答案”，这就需要学生先把所有特殊可能性都筛选出来。

解题2：已知长方形的周长为80米，则长和宽的和为40米(筛选条件：1. 长、宽都是5的倍数；2. 长大于宽；3. 正方形是特殊的长方形)。

(1)当宽为5米时，长为35米，条件成立，长方形面积为175平方米。

(2)当宽为10米时，长为30米，条件成立，长方形面积为300平方米。

(3)当宽为15米时，长为25米，条件成立，长方形面积为375平方米。

(4)当宽为20米时，长为20米，条件成立，长方形(正方形)面积为400平方米。

由此，学生可以归纳出所有符合要求的答案，通过对比得出长和宽均为20米时，可以实现长方形的面积最大。这一运算结果的得出，并不代表思维活动的终结，教师还可以进一步引导学生概括规律，得出“长方形周长固定时，长和宽相等的时候，面积最大”，或者“相同周长的情况下，正方形的面积要大于长方形”的结论。

结合以上分析过程，不难看出在培养学生归纳概括高阶思维的过程中，教师应注重对学生的引导、促使其主动探索，而不能强制要求学生按照教师思路“亦步亦趋、一步不落”，否则他们会高度依赖教师归纳概括出的结论，自身的思维能力仍然停留在低阶水平。

(二)演绎推理：借助图表辅助培养学生高阶思维

演绎推理是与归纳概括截然相反的思维过程，即“从一般到特殊”的思维发展，在思维水平上同样处在高阶层次。在小学数学运算教学过程中培养演绎推理思维，一个很重要的前提，就是小学生非常熟练地掌握算理，而所谓“算理”可以直白地理解为“运算过程中的原理、道理”，其本身就是一种思维方式。然而，现实中的小学数学教学，教师大部分精力都会放在算法传授上，这样就导致一些小学生在运算过程中“知其然而不知其所以然”，难以建立起演绎推理的高阶思维。

在培养小学生数学演绎推理高阶思维的过程中，可以通过图表辅助的方式展开，这种方式实际上也涉及了高阶思维转变，即从抽象思维转变为具象思维。例如，在人教版小学数学四年级(上)“两位数减两位数”的知识传授过程中，小学生会发现运算时存在两种情况，一种是被减数的十位、个位都大于减数的十位、个位，这种情况下不涉及退位减法。另一种则是被减数个位小于减数的个位，这样就需要从被减数十位上退位，可将其列为“特殊情况”。如果采取传统教学方法，只传授给学生“特殊情况”下的计算方法，学生并不了解算理，培养演绎推理高阶思维也就无从谈起。据此，可为学生设计如下的问题。

题3：小明的哥哥35岁，哥哥比小明大了十几岁，那么小明可能是几岁？

在以上问题中，“大了十几岁”属于一般性概念，但由此演绎出的所有答案(特殊性)，在条件范围内都是成立的，在运算活动开始之前，教师要引导学生根据问题情境提出假设、依次判断，而在这一过程中，小学生能够实现从算法升级到算理的认知，完成高阶思维的培养。在解题3的过程中，让学生先列出图形(如10个一组的圆圈代表10岁)和表格，把“大十几岁”分解成“10”和“几”，同样将小明哥哥的年龄分解成3个10、1个5，利用图表辅助“35岁减去十几岁”的运算过程就非常直观——小学生可以很轻松地发现，当减去的年龄“大于10岁、小于15岁”的时候，只需要从小明哥哥“5岁”的表格中减少相应的数字(1～4)，同时在“10岁”的表格中去掉一个即可，这种情况下不需要退位减，而当减去的年龄“大于15岁、小于19岁”的时候，除了要从小明哥哥“10岁”的表格中去掉一个外，还涉及退位减法。通过这种方式，可以让小学生增强对算法、算理一致性的认识，并在潜移默化中提升学生的思维水平。

(三)发散思维：算法整合优化培养学生的高阶思维

从核心素养视角出发，数学运算中的高阶思维并不神秘，其基本功能是“进一步发展学生的运算能力”，换句话说，在学生运算具体题目时不能形成惯性思维，理所当然地认为只有一种解法。从现实维度出发，很多小学数学教师在传授算法、解题技巧的过程中，也会主动地为学生提供多种思路和途径，这本质就是“发散思维”。然而，传统小学数学运算教学过程中，所采用的方法并不利于发散思维的培养，如大量的、同质性的习题训练，让小学生机械模仿某一种解题技巧，一旦小学生脱离了熟悉的运算环境，或者同样类型的题目条件、要求发生变化，则前期积累的多种运算能力也难以发挥作用。因此，培养发散思维的过程中，应该注重算法整合与优化，让学生在对比过程中找到最适合自己的一种思维范式。

以人教版小学数学四年级(上)“两位数加两位数”的知识点为例，在运算过程中存在两种情况，其一是两位数个位、十位相加后不用进位(该知识点属于“百以内的加法和减法”范围)，其二是两位数个位相加大于10、需要进位，教师可以列举两种情况，然后分别把所有可用的运算方法列举出来，详细表述所有计算过程。

题4：25+28=。题5：25+23=。题4和题5的运算方法相同，各有三种：

解题4：

1. 竖式计算法

(1)8+5=13 (2)13=10+3

(3)20+20=40 (4)40+10+3=53

2. 先十后个法

(1)20+20=40 (2)8+5=13

(3)40+13=53

3. 整十加个法

(1)25+20=45(或20+28=48)

(2)45+8=53(或48+5=53)

解题5：

1. 竖式计算法

(1)5+3=8 (2)20+20=40

(3)40+8=48

2. 先十后个法

(1)20+20=40 (2)5+3=8

(3)40+8=48

3. 整十加个法

(1)25+20=45(或20+23=43)

(2)45+3=48(或43+5=48)

题4和题5虽然是小学数学运算题目中较为常见、简单的类型，但通过发散思维提出多种类型的计算方法，再通过对比方式，就能够清楚地发现哪一种算法更加优化。例如，题4代表了进位加法的算法，如果利用竖式计算法需要4个步骤才能得出答案，而利用整十加个法只需要2步，显然是更加优秀的计算方法，能够很好地提高计算速度。题5代表了不进位加法的算法，竖式计算法与先十后个法在流程上没有差异，都需要3个步骤才能得到答案，而整十加个法只需要2步。当然，并不是说步骤越少算法就必然优秀，发散思维培养的目的是为小学生提供最适合自身的思维方式，进一步建立起属于自己的规范算法思想。

(四)质疑批判：通过估算训练培养学生高阶思维

基于发散思维进一步分析，所谓“思维发散”的结果实际上包括两种，一种体现在过程方面，如上文中题4和题5分别提出了三种算法，就是针对运算过程运用发散思维形成的。另一种体现在结果上，即小学生在数学运算实践过程中沿着某一个方向持续分散，以至于出现偏离正确运算规则而不自知的情况，最终生成的答案不唯一、不正确。为了规避这种情况，数学运算核心素养视角下的高阶思维培养还要重视质疑和批判，这也是考虑到小学生在数学运算时存在粗心大意、疏于检查的情况。在具体策略建构方面，可通过估算训练的方式展开，即让学生对运算结果进行“大概估计”，进而做出肯定或否定的结论，具体手段包括运算前估算、运算后估算两种，但无论采取哪一种估算方法进行训练，得出正确答案都不是最终目的，而是要强调学生的质疑精神和批判意识。

例如，在人教版小学数学五年级(上)“小数除法”的教学过程中，日常习题的结果都是小数形式，运算过程变得更为复杂，一方面如果按照竖式计算，在作业、考试等环节需要重复列式，不仅操作烦琐且在运算方法、思路固定的情况下，也难以判断出正确与否。另一方面，如果直接借位计算，就要运用短除法，这样一来估算训练就形同虚设、完全没有意义。同时，事先要让学生明白，所谓估算并不是“瞎猜”，它是建立在运算规则、数量关系及逻辑合理的基础上的，例如被除数、除数均大于1而除数大于被除数的情况下，可以估算出所得的结果必然为小数，比如“5÷21=”这道计算题，利用运算前估算的方法，先将除数21转变成两个容易计算的数字，即20和25，那么5÷20=0.25，5÷25=0.2，这样学生可以估算出最终答案应该介于0.2和0.25之间，如果计算结果超过了这一区间，学生就有理由怀疑答案是错误的。运算后估算是逆向过程，同样有助于学生质疑批判思维的形成。

(五)合作探究：立足运算课堂内突破最近发展区

根据著名儿童心理学家维果茨基提出的“最近发展区理论”分析，在小学数学运算课堂教学情境中，立足学生当前解决运算问题的水平，通过一定的知识传授、引导，让学生获取更高运算能力以及开发更多运算能力。但数学教师应该明确的一点是，小学生获得更高运算能力及开发更多的运算潜能，只是突破最近发展区的结果，它对培养小学生数学高阶思维没有意义，关键在于“如何突破最近发展区”，明确了具体的方法，也就抓住了由低阶思维向高阶思维跃迁的关键。

立足小学数学运算课堂情境，最有效的方法是组织学生围绕数学运算问题、展开合作探究活动，并将其作为数学教学工作的一种常态机制。相应的，教师要打造这样一种常态机制，就需要对运算课堂进行系统化建构，将原本松散、随机的合作探究活动，改变为有组织、规范化的合作探究活动。在此基础上，围绕运算问题界定哪些是低阶思维的表现、哪些是高阶思维的表现——就合作探讨行为来说，属于低阶思维的表现，主要是加深记忆、强化理解、侧重应用。例如，教师在为学生讲解“平均分问题”的过程中，所提出的问题无论如何变化(如植树问题、分物问题等)，最终都可以将问题简化为“除法问题”，类似这样的问题，实际上根本不需要进行合作探究——因为学生通过记忆教师的解法、理解直观问题内容，就能够应用之前的经验直接给出答案。因此，立足运算课堂教学情境下的高阶思维培养，可以从分析、评价、创造等角度展开，让学生真正意义上的通过合作、发动集体智慧，探究出问题的本质，而“发现问题”本身就是一种高阶思维生成的表现。例如，在《圆的认识》教学过程中设置情境，传统方法无非是利用多媒体资源、实物教具等，为学生展示大量生活中常见的圆形事物，这有助于增强小学生对“圆”这一抽象概念的理解，随后再进行相关知识点的教学(圆心、半径、直径等)，由此所展示出的顺序思维或线性思维，是难以引导学生突破最近发展区的；从创造性思维出发，教师先提出这样一个问题“文学中有这样的描写：一个人渐行渐远，慢慢地消失在地平线……从这句话当中，同学们可以得出怎样的结论？”对小学生来说，这个问题直观上看，完全可以纳入语文教学的范畴，很容易产生疑惑感，但同时也能够激起他们的好奇心，就此展开合作探讨，才能真正实现对问题的分析、评价，从看似与数学课程毫无关联的描述中，提炼出有用的线索——人、远离、消失、地平线，这些要素综合起来，教师可以制作微课视频，帮助小学生形成代入感，通过画图和想象，学生能够参透“地球是圆的”——通过这种方式，充分调动了小学生已有的“圆的认识”认知能力，进一步向陌生的领域探索，完全符合培养高阶思维的需要。

四、 结语

概括地说，高阶思维的构成非常复杂，不存在一个标准能将所有高阶思维罗列出来，如学术界共识度较高的“教育目标分类理论”提出，高阶思维包括“分析、评价、创造”三种认知能力，而著名认知心理学家罗伯特·斯滕伯格则提出“三元思维”体系，指出高阶思维由分析性思维、创意性思维、实用性思维三种构成。具体到小学数学的高阶思维培养，划分方式更没有统一要求，在具体的教学策略设计与实施方面，也不必局限于某一种，可以根据多元智能理论开发，在教学实践过程中组合运用。同时，通过对比方式，可以建立起一个衡量高阶思维的模板，即相对低阶思维，学生的思考过程至少经历一次转折或跃迁，不能仅从静止、表现的途径去解决问题，必须考虑数学问题中各要素之间的联系。