“强基计划”数学专题讲座(三)——“强基”数学试题中的转化与化归之美赏析

■江苏省无锡市第一中学 钱 铭

■江南大学理学院 谢广喜

转化与化归是解决数学问题的一种重要思维方法,几乎所有数学问题的求解都是不同层次命题之间转化与化归的表现。已故著名的中国数学家华罗庚先生曾经这样说:处理复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。他这里所说的“退”,其实就是转化与化归的一种具体形式。例如我们熟知的消元法、配方法、换元法(注意换元前后问题的等价性)、定义法、参数分离法、调整系数法(常用于处理不等式求最值问题)等,以及其他适当的恒等变换技巧,总而言之,只要是解决相关数学问题所需要的,可以不拘一格,加减乘除总相宜。

当然,不同的人实现数学问题的转化与化归的具体形式,需要结合每个人的具体情况进行具体分析。一般来说,掌握的解决有关数学问题的典型模式越多,知道的数学知识越多,往往实现转化与化归的效率越高。

例1(2022 年上海交大“强基计划”试题改编)已知x,y,z均为正数,则的最小值为_____。

评注:这里的改编指的是“强基”试卷中原题是选择题,在这里被改为填空题而已,并无实质性改变,求解问题的关键在于如何确定我们解题过程中引入待定的调整系数。

例2(2022 年南京大学“强基计划”初试数学第2题)已知,则函数y=sin2θcosθ的最大值是_____。

评注:解题时利用了三个变量的基本不等式。三个变量的基本不等式在解“强基计划”试题时经常用到。当然,本题也可等价化为y=(1-cos2θ)cosθ,再用求导办法求解,解题过程略。

例3(2022 年上海交大“强基计划”数学试题)在△ABC中,M为平面内一点,且

图1

评注:我们这里仅仅是利用了高中数学教材中平面向量的一个基本二级结论:如果A,B,C是平面上相异不共线三点,平面向量(其中λ为任意实数),则P点落在AB连线上(此时P,A,B三点共线)。同学们也可以利用这个结论迅速求解2022年新高考Ⅰ卷第3题(限于篇幅,解题过程略)。

例4(2022 年上海交大“强基计划”数学试题改编)双曲线的焦点分别为A,B,点C在双曲线上,cos∠ACB=,则△ABC的周长为_____。

解析:由对称性,不妨仅考虑|CA|>|CB|这种情况,由题意知8,下面解题的关键在于求出|CA|+|CB|,由定义及前面的假设得|CA|-|CB|=2a=4。①在△ABC中由余弦定理得|AB|2=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB。②

由①可得(|CA|+|CB|)2-4|CA|·|CB|=16。

由②可得64=(|CA|+|CB|)2-两式直接相减得|CA|·|CB|=60,进而得|CA|+|CB|=

故△ABC的周长为24。

评注:本题基于双曲线的基本定义以及余弦定理解题,属于圆锥曲线试题中的基本类型。

有的数学问题表面上看似乎很不容易,但只要我们对原问题稍微加以变换,就很容易揭开那貌似神秘的面纱。从根本上来说,专题二中提到的基于夹逼法解题也是转化与化归的一种具体形式,只是由于情况特殊而单独列出进行了讨论,这里不再重复。

例5(2020年全国高中数学联赛第7题)若a>0,b>0,且关于x的方程恰有三个不同的实数解x1,x2,x3,x1

评注:作为填空题,我们以上解法只利用问题成立的必要条件,也即我们并没有关心当b=16,a=128 时关于x的方程恰有3 个不同的实数解(除非试题本身就有问题),以上解法似乎比参考答案的办法还简捷一些。此处我们利用了一个十分基本的重要结论:函数f(x)无论是奇函数还是偶函数,如果其零点为奇数个,其必要条件为有一个零点是x=0。2017年全国Ⅲ卷理数第11题也可用此法求解,过程略。

例 6(2020 年北京大学)方程的实根个数是( )。

A.1 B.2

C.3 D.以上三个答案都不对

解析:先将每个根号下的部分配方,然后利用绝对值不等式的一个重要结论:

∀x∈R,|x-a|+|x-b|≥|a-b|,a,b∈R。尤其是当a

例7(2022年北京大学“强基计划”数学试题改编)若△ABC的三条边成等差数列,则cosA+cosB+cosC的取值范围为____。

解析:基于对称性,不妨设△ABC的三条边满足a≤b≤c,再由于角度是三角形的相似变换不变量,我们总可以找到一个与△ABC相似的△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。结合△ABC的三条边成等差数列,则△A′B′C′的三条边从小到大也依次成等差数列,而△A′B′C′的三条边可表示为1-d,,其中d的取值范围由三角形中任意两边之和大于第三边得到。

评注:解题的关键在于如何消元,以上解法是从三角形相似变换的不变量入手,快速消元。其实就算想不到这一点也可以解出来,因为三角形的三条边是三个变量,已知条件指出三条边成等差数列提供了一个约束条件,而余弦函数是三条边齐次分式函数,可以再消去一个变量,这样最终表达式可以表达为“一个”字母变量(整体形式上的)的函数,只是表达形式及变化过程稍显复杂而已。

例8(2022 年北京大学“强基计划”试题)已知[x]表示不超过x的最大整数,比如[1.2]=1,[-1.2]=-2,若,则[α12]=( )。

A.321 B.322

C.323 D.以上都不对

解析:由题意知,平方再化简得α2-α-1=0,这是满足的一个一元二次方程。据此,我们先化简α12,由于α12=(α+1)6=(α2+2α+1)3=(3α+2)3=27α3+3·2·(3α)2+3·22·(3α)+8=27α·(α+1)+54(α+1)+36α+8=27(α+1)+27α+54(α+1)+36α+8=144α+89。

评注:以上解法是未参加过高中数学竞赛培训的同学也可以接受的解法。

例9(2022年清华大学TACA“丘成桐班”数学二第1 题改编)设a,b,c是方程x3-3x2-2x+1=0 的全部复根,则

评注:本题是由最近举办的高中数学教师基本功大赛的一道试题简单改编而来,以上解法充分体现了化归思想的应用(将多个变量转化为一个变量,将一个变量的多个三角函数转化为一个三角函数的形式,最后利用我们熟知的基本不等式收尾)。必须指出,在(* *)式中进行放缩2sinBsinC=cos(B-C)+cosA≤1+cosA处理,结果将必然是失败的,因为由已知a+2b=2c得a=2(c-b)>0,故不可能有B=C的情形出现,相应不等式就不可能取得等号。

我们认为,过犹不及,凡事都必须注意一个度,有关问题的具体背景下到底应该如何转化才较为快捷,这个不可一概而论,只有结合具体问题的具体情境,制定机动灵活的战略战术,才是我们克敌制胜的法宝。离开具体问题这个大前提,空洞地谈规则容易成为僵化的教条,形成死板的思维形式,这些都毫无疑问不利于我们进一步前进。

【创新有源泉、经典永流传】

2.(2019年清华大学)若正实数a,b满足ab(a+8b)=20,则a+3b的最小值是____。

简解:用调整系数法创建三元基本不等式的使用情境,实现目标和条件等式的有机联系(关键是不等式能取等号)。引入调整系数λ1,λ2>0(待定),可将条件变为λ1a·λ2b·(a+8b)=20λ1λ2,令λ1a=λ2b=a+8b,且,解出待定系数λ1=5,λ2=10(限于篇幅,待定系数具体求解过程从略)。

从而由ab(a+8b)=20,得5a·10b·(a+8b)=1 000,于是有:

1 000=5a·10b· (a+8b)≤,即2a+6b≥10,所以a+3b的最小值是5,当且仅当a=2,b=1时取得此最小值。

3.(2020 年北京大学)求19x+93y=4xy的整数解组数。

简解:由已知可得16xy-4×19x-4×93y+19×93=19×93,也即为:

评注:破解形如Axy+Bx+Cy+D=0(A,B,C,D∈Z),A≠0,不定方程整数解(正整数解)的关键是将因式分解,即将其化为A2xy+ABx+ACy+BC=BC-DA,也即(Ax+C)(Ay+B)=BC-DA,对右边分解质因数即可。

评注:破解这道题的关键是利用了平面上两点连线的垂直平分线的定义,论证的书写形式就简捷不少,显然,这道题也可以看成是由1992年全国高考数学试卷最后一题简单改编而来。

5.(2018 年北京大学)把正整数数列中的非完全平方数从小到大排成一个数列{an}(n≥1)。例如a1=2,a2=3,a3=5,a4=6,则a2018的值为( )。

A.2 061 B.2 062

C.2 063 D.前三个都不对

简解:我们注意到442=1 936,452=2 025,462=2 116,即小于等于2 018的正整数中有44 个平方数。对于2 018 这个数仅对应新数列中的第2 018-44=1 974项,应从2 019这个数开始向后平移44个自然数,其中仅有一个452=2 025,故a2018=2 018+44+1=2 063,选C。

6.(2020年北京大学)设a,b,c,d是方程x4+2x3+3x2+4x+5=0的四个复根,则的值为( )。

简解:对于这道题,目标表达式不宜直接进行通分化简,而应先做一些简单的恒等变换。

接下来,我们通过对方程进行恒等变换,从而计算减少量。令x+2=t,于是原方程变为(t-2)4+2(t-2)3+3(t-2)2+4(t-2)+5=0,化简得t4-6t3+15t2-16t+9=0,显然t=0不是方程的解。

等式两边同时除以t4,得:

7.(2015 年北大博雅自主招生试题)现在要登上10 级台阶,每次只能登1 级或2级,则不同的登法共有_____种。

简解:本题以斐波那契数列为背景,记满足要求的登台级种数为an(n≥1)。显然有a1=1,a2=2,当n≥3 时有an=an-1+an-2(对于这个等式的理解是:登到n级台阶,有两类办法:一是第一步跨2级,接着后面的问题有an-2种,另一类办法是第一步跨1级,后面对应an-1种,利用乘法原理与加法原理),于是易得出{an}各项依次为1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,第10项是89。答案为89。

显然要满足题意,必要条件是m为偶数,综合前面的信息,故可记m=2k(其中k为正整数),此时a=2k2+1,b=2k2-4k,c=2k2+4k。

于是a2+b2+c2=(2k2+1)2+(2k2-4k)2+(2k2+4k)2=12k4+36k2+1。

由正整数b=2k2-4k≥1知,必须k≥3,于是当k=3时,目标表达式取得最小值1 297。

这是一个正整数背景下的多变量问题,最后转化为二次函数问题(当然情境特殊,较为简单),在实现转化的过程中,如何灵活地处置条件信息“三个连续自然数”尤其重要,它是本题实现三个变量统一表达的关键切入点。