狂犬病动力学模型研究进展

奉佳

（长沙市动植物疫病预防控制中心，湖南 长沙 410000）

狂犬病是一种由狂犬病病毒引起的急性致死性脑炎疾病，家畜和狐狸等野生动物可以发生狂犬病病毒的自然感染与传播，并且能够通过抓伤、咬伤等形式感染人而引起死亡。据世界卫生组织（WHO）数据表明，每年全球约有5.9 万人死亡于狂犬病[1]，非洲和亚洲等发展中国家面临最沉重的人类狂犬病负担。我国是狂犬病危害较为严重的国家之一，将该病列为二类动物疫病[2]。目前，国内外常用的狂犬病风险评估方法主要包括临床诊断、实验室检测、动力学模型等方式。其中，基于人工智能等技术建立的预测模型具有高效、准确、可持续等特点，可以根据暴露风险情况以及防护措施等信息，计算出人或动物的狂犬病感染风险值，为狂犬病预防控制提供决策参考。本文总结国内外狂犬病动力学模型的研究进展，为传染病动力学模型在狂犬病防控中的有效应用提供参考。

1 动力学模型

动力学模型是一种数学模型，用于描述系统随时间发展的规律和变化趋势。在这种模型中，系统被视为由多个组成部分相互作用而形成的整体，每个组成部分可以呈现不同的状态，并且这些状态会随着时间不断变化。通过对系统组成部分之间的相互关系、作用方式和演化规律进行建模，可以预测系统未来的行为，并进一步探索如何影响系统的行为，从而实现控制或优化系统的目标。

动力学模型广泛应用于许多领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。例如，在生物医学领域中，动力学模型可被用于研究疾病传播的机理和控制方法；在制造业中，动力学模型可被用于优化生产流程和提高生产效率；在自然科学领域中，动力学模型可被用于研究物理规律；在社会科学领域中，动力学模型可被用于分析人类社会的行为与演化、群体决策、经济与金融市场等问题。由于其强大的预测和分析能力，动力学模型在各种科学研究和实际应用中扮演着重要角色。

2 传染病动力学模型

传染病动力学模型是一种应用于传染病研究的动力学模型。它通过数学方式描述了传染病在人群中的传播规律和趋势，可以用于预测疫情的发展态势、分析传染病暴发的原因和机制，以及评估不同防控策略的效果。1760 年，Bernoulli[3]首次用微分方程等数学方法研究了天花的传播，并推荐使用天花预防接种来减少死亡率，被认为是传染病动力学模型的雏形之一。1906 年，Hamer[4]使用离散时间的方法对麻疹流行情况进行建模，被认为早期流行病动力学研究中重要里程碑之一。1911 年，Ross[5]使用微分方程研究疟疾传播并发现基本再生数，引起当时流行病学专家和公共卫生工作者广泛关注和重视。1927 年，Kermack[6]和Mckendrick[7]构建黑死病SIR模型；1932 年，他们又提出了SIS 模型以及“阈值理论”，为传染病动力学建模奠定了基础。1987 年，May RM 和Anderson RM[8]引入R0 概念来描述感染力和传播速度。20 世纪80 年代以来，计算机技术和数据可用性逐步得到普及，使得疾病模拟和预测更加精确。21 世纪至今，随着大数据、机器学习等技术的快速发展，传染病动力学建模和预测正逐渐实现自动化和个性化，为防疫干预提供了更多有力工具。当前，根据动物传播的特点和途径，可以分类为SI模型、SIS 模型、SIR 模型、SEIR 模型等多个类型。

2.1 SI 模型

SI 模型只适用于那些只有一个传染源、没有防疫措施和免疫力的简单场景。该模型将人群分为两类：易感者（S）和感染者（I），且所有感染者在疾病治愈后不会获得任何免疫力，仍然处于易感状态。2021 年，Pellis 等[9]提出了时变SI 模型，考虑了检测和隔离等流行病防控措施对模型的影响，特别是在新冠肺炎等传染病的疫情中具有重要意义。研究结果表明，时变SI 模型能够较好地描述疫情的发展和传播过程；同时，检测和隔离等干预措施对减缓疫情的蔓延有着显著作用。但SI 模型本身并不包含免疫力的因素，即所有个体都是易感染状态，且感染后无法恢复到易感状态。因此，在实际研究中需要根据具体问题选用适当的传染病模型来进行分析。

2.2 SIS 模型

SIS 模型只区别两种状态：易感者（S）和感染者（I）。较常见的使用场景是对一些发作周期较短、传播途径较复杂且有群体免疫效应的慢性传染病（如疟疾、淋病、乙型肝炎等）进行分析。

2020 年，Eggo 等[10]利用基于时间的SIS 模型估计了传播异质性，并应用于COVID-19 疫情预测。通过模型的预测和分析，发现COVID-19 的传播呈现出明显的异质性特征，即少数的感染者对疫情的传播起到了主导作用。这项研究揭示了在某些流行病学背景下SIS 模型在传播异质性估计方面的应用价值。对于今后的COVID-19 或其他传染病研究，SIS 模型及其扩展仍然具有重要作用。

2.3 SIR 模型

SIR 模型简单有效，主要考虑三类人群：易感者（S）、感染者（I）和康复者（R）。模型假定，易感者被感染后进入感染者状态，一段时间后又转化为康复者或去世。该模型常用于描述不具备生态学变异的急性传染病(如天花、麻疹、钩端螺旋体病、基本性霍乱等)的流行规律。

2021 年，Bagheri 等[11]提出了一种改进的SIR模型，用于研究COVID-19 等传染病的传播特性。与传统SIR 模型不同的是，该模型考虑了感染风险因素的非对称性，即易感者和感染者之间的交互不同于感染者和康复者之间的交互。此外，该模型还引入了一个时间变量来衡量感染风险的变化，从而能够更精确地预测传染病的传播趋势。

2.4 SEIR 模型

SEIR 模型是在SIR 模型基础上增加了潜伏期（Exposed），即病毒感染后患者被隔离前的、无法传染给他人但仍存在病毒生命期的阶段。该模型在研究对策和疾病控制方面更具有实际意义。

2021 年，Wu 等人的文献[12]利用SEIR 模型估计了COVID-19 在早期时期的基本再生数和流行规模。通过模型的预测和分析，发现COVID-19 在早期时期的基本再生数为3.57，即每一个感染者平均可以传染3.57 个人。这项研究说明了SEIR 模型在COVID-19 流行病学研究方面的重要性，并揭示了早期防控措施对疫情发展的重要作用。

3 狂犬病动力学模型

狂犬病的动力学模型通常采用SIR（易感者感染者—康复者）或SEIR（易感者—潜伏期感染者—传染性感染者—康复者）模型来描述人群中狂犬病病毒的传播和流行。

3.1 SIR 模型

2002 年，Cleaveland 等[13]利用SIR 模型分析了在撒哈拉以南非洲农村社区实施的狂犬病疫苗接种计划对狂犬病传播和人犬咬伤伤害发生率的影响。研究发现，狂犬病疫苗接种广泛普及后，疫苗覆盖率从零上升到了约70%，明显改变了人犬接触的模式，并大幅降低了狂犬病的发生率，为类似的狂犬病干预措施提供了重要的理论和实践意义。2007年，Liang 等[14]基于SIR 模型的狂犬病传播模型考虑到狂犬病在感染者死亡时会导致其潜伏期中的感染物质进入环境中，从而增加了狂犬病的扩散风险。还考虑了人类接种疫苗对狂犬病传播的影响，并通过稳定性分析和敏感性分析探讨了不同参数对模型行为的影响，为基于SIR 模型的狂犬病传播模型提供了一个有用的框架，以进一步探索和理解狂犬病的流行规律和防治策略。2012 年，Zhuojun Li等[15]基于随机SIRS 模型的狂犬病传播模型来研究中国地区狂犬病的流行情况。该模型考虑到人类和动物之间的相互作用，同时考虑了疫苗接种率等因素。研究表明，该模型可以较好地拟合中国地区狂犬病的传播趋势，包括不同年份、地区的流行病学特征等。同时，该模型还在估算动物疫苗覆盖率、人类疫苗接种率等方面具有重要意义。2014 年，Jing An 和Yongzheng Sun[16]建立了一个基于SIR 模型的狂犬病传播模型，并考虑了人类接种疫苗、动物控制等防治策略。该模型包括两个不同的传播途径：一是狂犬病在野生动物群体之间的传播，另一个则是狂犬病在家庭宠物和人类之间的传播。通过数学分析，推导出了该模型的解析解和参数敏感性分析，以探讨不同因素对狂犬病传播过程的影响。2019 年，Keita 等[17]考虑到了狂犬病在家犬群体中的传播方式，并根据巴马科的实际狂犬病疫情数据建立SIR 模型。该模型通过参数敏感性分析和不同防治措施的模拟结果来预测和评估狂犬病的疫情变化规律及其影响因素，为更好地掌握和预测狂犬病在兽医学和公共卫生方面的流行趋势提供了重要的理论和实践基础。

3.2 SEIR 模型

2012 年，Allen 等[18]使用了一个基于SEIR 模型的实时应急分析系统来对中国某地区发生的狂犬病疫情进行分析和预测。采用卡尔曼滤波和概率传染病建模技术，快速获取现场数据、计算估计值、识别风险因素，并实施实时干预措施，以达到及时评估、抑制和消除疾病扩散的目的。2015 年，Jia Li 等[19]建立基于SEIR 模型的狂犬病传播模型，考虑到了中国地理空间和人口不均匀分布等特点。采用空间扩散函数对不同地区之间的流动进行描述，并使用贝叶斯方法来校正模型参数和预测疾病传播趋势。2018 年，Trindade 等[20]利用SEIR 模型模拟了巴西北部地区狂犬病的流行和传播情况，并对疫苗接种和调控措施进行了评估和优化。研究证实了SEIR 模型在揭示狂犬病流行规律和评估防治措施方面的应用潜力。2020 年，Tian 等[21]基于SEIR 模型，对中国农村地区家犬种群中狂犬病的传播动力学进行了建模和分析，同时考虑了人口迁移、动物死亡等复杂性因素。使用近20 年的监测数据和现场调查结果来评估模型，通过参数敏感性分析和模拟实验，探讨了不同控制措施对疫情传播的影响。为了解中国农村地区狂犬病传播动力学提供了重要依据，同时也为制定和实施有效的防治措施提供了科学依据。

4 结论

狂犬病是一种由病毒引起的致死性传染病，对人和动物造成威胁。许多学者利用数学模型探究其传播规律和防治策略，狂犬病动力学模型得到不断发展。利用动力学系统研究狂犬病模型，有助于理解狂犬病的传播机理、认识其内在规律。这些模型能够通过刻画狂犬病的传播机理来反映相关狂犬病的传播过程，使人们清晰地领悟到狂犬病传播中基本规律。通过分析模型的状态来研究疾病的传染路径和特性，能够为干预措施的选择提供理论依据，进而在模型的基础上通过模拟可以探索出狂犬病的变化发展趋势，揭示狂犬病流行的规律。最后通过对比分析，提出有效的预防和控制手段，从而做好相关的防护措施。总之，动力学模型为我们提供了狂犬病传播规律和防治策略的参考，但在实际中应根据具体情况选择适当的模型并结合其他防疫手段。